(教师)常用逻辑命题.doc

1知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如 p,q,r,m,n 等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“ ”的真假判定方式：① 若要判断命题“ ”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断如： 一定推出 .② 若要判断命题“ ”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“ 不一定等于 3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p 或 q；②p 且 q；③非 p（即命题 p 的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假①当 p、q 同时为假时，“p 或 q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当 p、q 同时为真时，“p 且 q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非 p”与 p 的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或 q”为例：一是 p 成立且 q 不成立，二是 p 不成立但 q 成立，三是 p 成立且 q 也成立可以类比于集合中“ 或 ”.（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p 或 q”的否定是“ p 且 q”； “p 且 q” 的否定是“ p 或 q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用 p 和 q 分别表示 p 和 q 的否定，则四种命题的形式为：2原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q； 逆否命题：若 q 则 p.2. 四种命题的关系①原命题 逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题 否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且” 、 “或” 、 “非”恰好分别对应集合的“交” 、 “并” 、 “补” ，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。

知识点三：充分条件与必要条件1. 定义：对于“若 p 则 q”形式的命题：①若 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；②若 p q，但 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；③若既有 p q，又有 q p，记作 p q，则 p 是 q 的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与 ； 与 ； 与 的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断，比如 A B 可判断为 A B；A=B 可判断为 A B，且B A，即 A B.如图：3“ ” “ ，且 ” 是 的充分不必要条件.“ ” “ ” 是 的充分必要条件.知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ”表示，读作“对任意”含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题“对 M 中任意一个 x，有p(x)成立”可表示为“ ”，其中 M 为给定的集合，p(x)是关于 x 的命题.（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“ ”表示，读作“存在”含有存在量词的命题，叫做特称命题　特称命题“存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立”可表示为“ ”，其中 M 为给定的集合，p(x)是关于 x 的命题.2. 对含有一个量词的命题进行否定（I）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题 p： ，他的否定 ： 全称命题的否定是特称命题II）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题 p： ，他的否定 ： 特称命题的否定是全称命题注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）2）一些常见的词的否定：正面词 等于 大于 小于 是 都是 一定是 至少一个 至多一个否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 一定不是 一个也没有 至少两个总结升华：1. 判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；4②判断其中简单命题 p 和 q 的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“ 或 ”是“或”的关系，否定时要注意.【典例精析】 1.四种命题的关系关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；例 1（2009 重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A． “若一个数是负数，则它的平方不是正数” B． “若一个数的平方是正数，则它是负数” C． “若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D． “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数” 例 2(07 重庆)命题：“若 12x，则 1x”的逆否命题是（ ）A.若 12x，则 ， 或 B.若 ，则 12xC.若 ， 或 ，则 2x D.若 x， 或 ，则 答案:D.例 3（2005 年江苏卷）命题“若 ba，则 12ba”的否命题为__________.答案 若 a≤b，则 2a≤2 b-1点评: 否命题不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论.2 命题真假的判断例 4(08 广东理)已知命题 :p所有有理数都是实数，命题 :q正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）A． ()pqB． qC． ()pD． ()pq5【解析】不难判断命题 p为真命题，命题 q为假命题，从而上述叙述中只有 ()pq 为真命题.点评: 真假判断（真值表）可概括为 : p 或 q：同假为假，一真为真； p 且 q：同真为真，一假为假；非 p： 真假相反，真假假真例 5（2009 江西卷文）下列命题是真命题的为A．若 1xy,则 B．若 21x,则 C．若 ,则 D．若 y,则 2y答案：A解析 由 1xy得 ,而由 21x得 ,由 xy, 不一定有意义,而y得不到 2 故选 A. 2.全称命题和特称命题的否定全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是特称命题.但同一个特称或全称命题由于语言环境的不同,可有不同的表述方法,在实际应用中要灵活选择.例 6（2009 天津卷理）命题“存在 0xR， 02x0”的否定是 A. 不存在 0xR, 02x>0 B. 存在 R, 00 C. 对任意的 R, 0 D. 对任意的 xR, x>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题解析：由题否定即“不存在 Rx0，使 02x”，故选择 D。

例 7（07 宁夏）已知命题 p： 1sin,，则（ ） A. 1sin,:xRp B. 1sin,:xRpC.  D.  答案:C.例 8(07 山东)命题“对任意的 01,23xR”的否定是（ ）A.不存在 01,23xR B.存在 ,236C.存在 01,23xR D. 对任意的 01,23xR答案:C.3 充要条件的判断例 9（2009 安徽 4）下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是（A）p: ac＞b+d , q: a＞b 且 c＞d （B）p:a＞1,b>1 q: ()(01)xfa， 且 的图像不过第二象限（C）p: x=1, q: 2（D）p:a＞1, q: ()log()afx， 且 在 (0,)上为增函数例 10． （2009 北京 5） “ 26kZ”是“ 1cs2”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当 2()6kZ时， 1cos24cos32k， 反之，当 1cos时，有 6kZ，或 236kkZ，故应选 A.例 11(湖南文)“ 1x”是“ x”的( )A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由 21x得 3x，所以易知选 A.点评:不等式解集问题可类比集合间的包含关系判断,大范围推出小范围.[专题训练]1.知真假性求参数例已知 p： 012mx有两个不等的负根， q： 01)2(4xmx无实根．若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，求 m 的取值范围．7分析：由 p 或 q 为真，知 p、 q 必有其一为真，由 p 且 q 为假，知 p、 q 必有一个为假，所以，“p 假且 q 真”或“ p 真且 q 假”.可先求出命题 p 及命题 q 为真的条件，再分类讨论．解： p： 012mx有两个不等的负根．241q： 01)(2xmx无实根． 3612m因为 p 或 q 为真， p 且 q 为假，所以 p 与 q 的真值相反．(ⅰ) 当 p 真且 q 假时，有 312m或；(ⅱ) 当 p 假且 q 真时，有 3．综合，得 m的取值范围是{ 21m或 }．2.充要条件的证明例 1 已知抛物线 C: 2yx和点 A（3，0） ，B(0,3).求证：抛物线 C 与线段 AB 有两个不同的交点的充要条件是 103解：（1）必要性：由已知得，线段 AB 的方程为 y=-x+3（ 03x）由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点，所以方程组213(0)yxm（*）有两个不同的实数解消元得： 2()4（ 3x）设 ()fx1x则有20()4391032mf解得。