《集合与函数》PPT课件.ppt

高等院校非数学类本科数学课程—— 一元微积分学 大 学 数 学（（一一））第一讲第一讲第一讲第一讲 集合与函数集合与函数集合与函数集合与函数第一章 集合与函数本章学习要求：§正确理解函数概念，了解反函数和复合函数的概念 §了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形一、集合的基本概念 集合论是现代数学的基础集合论的创始人是丹麦人康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一名数学家他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬而未决的问题，奠定了现代数学基础但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的康托尔将集合定义为： 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果1. 集合集合关于集合的几点注意：v 集合的元素是确切定义的，不能含糊不清v 集合中的元素互不相同v 当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合 中的 元素一律平等。

2. 集合的表示法集合的表示法(1)列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 (2) 花括号括上表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现3. 有界集有界集 A≠Ф，若存在M >0,  x∈A，均有|x|≤M，则称A为有界集有界集； 若对A中的任何元素x，有x≤M,则称A为有上界有上界； 若对A中的任何元素有x≥－M，则称A为有下界有下界4. 映射映射 对于映射f：A→B ，若 x1,x2∈A，x1≠x2推出f(x1)≠f(x2)，则是单射； 典型的单射：单调函数，不是单射的函数：偶函数 对于对于B中任意一个元素都有原像与之对应，即是满射 也就是说每一个元素都有原像一旦规定了是函数，他肯定是一个满射 单射：满射：双射单射但非满射满射但非单射非满射但非单射U( x0 ,  ) = { x | | x  x0 | <  , x R ,  > 0 }x0+()x0  x0x U( x0 ,  ) | x  x0 | <  5.5.邻邻 域域U( x0 ,  ) = { x | 0 < | x  x0 | <  , x R ,  > 0 }x0 + ()x0  x0x U( x0 ,  ) 0 < | x  x0 | <  点 的某邻域， 记为 U(x0) .点 的某去心邻域， 记为 Û (x0) . U ( 3, 0.1 ) = ( 3  0.1, 3 + 0.1 ) 点 x0 = 3 的  邻域为点 x0 = 3 的去心  邻域为Û ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, 3 ) ( 3, 3.1 )= ( 2.9, 3.1 )例例9 9二、函数的基本概念1. 函数的定义2. 函数的表示法解 析 法表 格 法图 示 法 自己看书！3. 求函数定义域举例 数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。

通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域综上所述,该函数的定义域为 D = ( 1, 2 ) 由负数不能开偶次方, 得由对数函数的定义域, 得由分母不能为零, 得例例1 1解解该函数为分段函数,它的定义域为求函数的定义域例例2 2解解 分段函数是一个在自变量的不同取值范 围内具有不同的对应关系的函数, 即在定义 域的一些不相重叠的真子集上, 用不同的表 达式表示的函数.该函数称为符号函数,其定义域为 1xyO1y = sgn x例例3 3解解求的定义域也称为克朗涅哥函数也称为克朗涅哥函数将 x 表示为:函数y = [ x ] = “整数”称为取整函数，它是一个分段函数例例4 4“整数” + + “正的小数” 或 “零”想想取整函数的图形是什么样子？例例5 5解解故 定义域与对应规则均相同的两个函数相同 如何判断两个函数是否相同?4. 判断函数相同例例6 6解解例例7 7解解5.函数的图形称为函数 f ( x ) 的图形在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形？例例8 8狄利克雷函数就不能作出几何图形. Dirichlet1805—1859 狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。

单调性有界性奇偶性周期性三、函数的基本性质1.单调性 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加, 记为  在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少, 记为  函数的单调性是一个局部性的性质, 它与所讨论的区间I 有关.  画画图就一目了然.例例9 9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性2. 有界性 有界性 有 界 有上界 有下界设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义若存在实数 A , B , 使对一切 x  I 恒有A  f ( x )  B则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界函数有界性的定义函数有界性的定义y = f ( x )xxyyAABBOOy = f ( x )函数有界示意图 函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界成立，则称函数 y = f ( x )在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界。

设函数 y = f ( x ) 在区间I 上有定义 若存在实数 M (可正，可负)，对一切 x  I 恒有y = f ( x )f ( x )≤ M f ( x )≥m在区间 I 上是下方有界的, 简称有下界设函数 y = f ( x )在区间 I 上有定义若存在实数 m (可正，可负), 对一切 x  I 恒有 成立，则称函数 y = f ( x )y = f ( x ) 函数 y = f ( x ) 有界f ( x ) 既有上界又有下界.在区间 I 上:xyABO无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间 I 上有下界，则必有若函数 间 I 上的下确界，记为无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区在区间 I 上有上界，则必有若函数间 I 上的上确界，记为有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？可以证明：有上(下)界的函数必有上(下)确界.如何证明或判断函数无界？提一个问题：证明或判断无界，通常依据:函数 y = f (x) 在区间 I 上无界，则不论 M > 0 的值取得多么大， 总使得 | f ( x0 ) | > M 成立易知：例例1010解解在其定义域内是无界的。

故函数在任何一个有限区间内有界3. 奇偶性若 x  Df , 有f ( x ) = f ( x )成立，则称 f ( x )为偶函数偶函数的图形 关于 y 轴对称若 x  Df , 有f ( x ) =  f ( x )成立，则称 f ( x )为奇函数奇函数的图形 关于坐标原点对称 设函数 y = f ( x ) 的定义域 Df 关于坐标原点对称哪些是奇函数,哪些是偶函数:指出下列函数在其定义域内1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 4) 既不是奇函数又不是偶函数例例1111定理在关于坐标原点对称的区间 I 内：两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数定理的形式在关于坐标原点对称的区间 I 内有定义的任何一个函数 f ( x )，均可表示为区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和4. 周期性则称 f ( x )为周期函数， 称为函数 f ( x ) 设函数 y = f ( x ) , x  (, ) 。

若存在   0 , 对一切 x  (, ) 恒有 y = f ( x   ) = f ( x ) , 的一个周期如果一个周期函数有最小正周期存在, 记为则称 T 为周期函数的周期T = min {  } ,  > 0 通常所说的周期是故称正弦函数 y = sinx 的周期为2  = 2k ( k Z 且 k  0) 均为函数y = sin x 的周期, 而它的最小正周期为T = min{ 2k }= 2 kZ+例例1212截尾周期函数（最终周期函数）的定义：截尾周期函数（最终周期函数）的定义：请自己看书！请自己看书！请自己看书！请自己看书！四、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！以下六种简单函数称为基本初等函数1. 常值函数 y = C ( C 为常数 )2. 幂函数 y = x  (   R 为常数 )3. 指数函数 y = a x ( a > 0, a  1 )4. 对数函数 y = loga x ( a > 0, a  1 ) 5. 三角函数 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x 6. 反三角函数 y = arcsin x y = arccos y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x详详 情情 见见 书书 四、复合函数、反函数·····？如何描述1 1.复合函数设有映射及的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f (u) 的定义域 Df ，如果对于映射的定义域 ( 或定义域的一部分 )中那么， 将代入消去 u 后, 就有其中，u 称为中间变量。

与称之为函数复合而成的复合函数由函数可构成复合函数函数复合后一般应重新验证它的定义域例例1313函数复合而成 ?它是由以下几个函数复合而成:例例1414解解复合函数分解到什么时候为止 ？ 以上过程称为 对复合函数的分解 分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.例例1515解解自由落体运动中,位移与时间的关系是选时间 t 为自变量:选位移 s 为自变量:直接函数反函数习惯上称2. 反函数是一一对应 (即映射 f 是一一对应), 称 f 的 f 的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数.与互为反函数. 反函数的定义反函数的定义 自己画一下草图例例1616反函数的图形 将函数 y = f (x) 的反函数写成 x = f 1(y) 时，函数与其反函数的图形相同. 将函数 y = f (x) 的反函数记为 y = f 1(x) 时，函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于第Ⅰ、Ⅲ 象限的角平分线 y = x 对称 反函数的图形例例1616得由由得由得解解综上所述，所求反函数为故所求反函数为求分段函数的反函数是： 先求出各段上函数的反函数， 然后综合起来，得出原分段函数的反函数。

增加的.定理减少减少六、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数, 称为初等函数例如 都是初等函数.  一般说来, 分段函数不是初等函数. 但有个别分段函数例外，例如因为它可以改写为初等函数的形式.幂指函数是否为初等函数？它是由与构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数.例例1818解解六、双曲函数反双曲函数 学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处1. 双曲函数的定义及性质 双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割双曲正弦、双曲余弦的图形悬链线双曲正弦函数的定义域为(, )双曲正弦函数在其定义域内是单调增加的 双曲正弦函数是奇函数双曲余弦函数的定义域为(, )双曲余弦函数在(, 0)内单调减少在[0, )内单调增加双曲余弦函数是偶函数双曲正切、双曲余切的图形y = cth xy = th x双曲正切函数定义域为(, )双曲正切函数是单调增加的且有界| th x |  1双曲正切函数是奇函数 2. 常用的公式 与三角函数的公式进行比较(1) 反双曲正弦函数习惯上写成x  (, )。

双曲正弦函数 y = sh x 是 (, ) 到(, ) 的一一对应, 故它的反函数存在,通过初等的代数运算可得3. 反双曲函数 (2) 反双曲余弦函数 y  [1, )双曲余弦函数是到上的映射, 但不是一一对应由解得双曲余弦的反函数这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为y[1, ) 通常取y[1, )习惯上记为x[1, )并称该支反函数为反双曲余弦的主支通常所说的反双曲余弦函数即指此主支的反函数, 记为类似于上面的作法, 可以得到arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.。