3.4带间间接光跃迁.doc

3.4 带间间接光跃迁前面讨论了晶体中的电子体系与辐射场间相互作用最主要的一项 导致的带间跃迁这样的跃迁元过程的结果1IH是，辐射场的光子数增加或减少 1，相应地电子体系中有一个电子从某个能带中的某个能态变到另一能带的一个状态除了能量守恒 ，电子自旋守恒，跃迁还vcfiEk遵循准动量守恒 或 ，也即跃迁在 空间为fifikk竖直跃迁这样的跃迁只涉及电子体系与辐射场间的相互作用，称之为直接跃迁下面我们要讨论另一种情形，例如间接能带半导体（如 Si, Ge等）的情形，它们的导带底与价带顶处在 空间中的不同位置，导k带底与价带顶之间的（直接）光跃迁，由于准动量守恒定则的限制，是被禁戒的然而，实验上这样的跃迁的确被观察到了当光子能量大于帶隙，但小于直接（竖直）跃迁所需的能量时，就可观察到光吸收现象，尽管较弱这时发生的过程只能对应于电子从价带顶跃迁到导带底，对这样的跃迁，电子准动量显然不守恒，在能带图上表现为非竖直的跃迁这种波矢空间能带图上非竖直的跃迁是由于跃迁中有声子参与，跃迁中不但光子数改变，同时还有声子数的改变，动量守恒就是由声子动量的变化来达到的这种有声子参与的非竖直跃迁称之为间接跃迁。

图 3.4-1 间接跃迁示意图最简单的情形：过程中只涉及一个声子，动量守恒就变成（3.4-1）fikqk声子波矢 前的正负号相应于过程中湮灭和产生一个声子q当然，整个过程应遵循能量守恒，即：（3.4-2）vcf i qEkEk其中， 为过程中涉及的声子的能量，它前面的正负号意义同前q声子会参与到光跃迁过程中来，是由于存在电声子相互作用如我们在第二章中，讨论绝热近似时强调的，把晶体的问题，分为电子和原子实两个子系统的问题，是一种近似电子系的运动与原子实的运动（振动）实际上是有关联的，两个子系统间存在相互作用，称之为电声子相互作用由于电子系在与辐射场相互作用的同时，还与 声子系（即晶格振动）相互作用 → 发生的光跃迁过程有声子参与3.4.1 间接跃迁的量子理论现在要讨论的问题涉及光子，电子和声子三个子系统设 为描述电子运动与晶格振动之间的电子-声子相互作epH用哈密顿量， 为电子与辐射场间相互作用哈密顿量，eR整个系统的微扰哈密顿量包括上述两部分：（3.4-3）eRepHH我们的问题就是在这样的微扰作用下，找出电子在带间的间接跃迁的速率这里将先用一个简化模型对电子与晶格间的相互作用做一介绍。

为简单起见，假定晶体是简单布拉菲结构，即每个原胞中只有一个原子在绝热近似中，电子体系总的波函数表示为：（3.4-, ,XψRrRr4）其中因子 描述给定核构型下的电子波函数，是下列薛定格方程的解,22,,, ,inennnie VEm RrrRRr（3.4-5 ）式中电子所受到的势场为 eeeLV在能带近似中，认为所有原子（实）都处在各自的平衡位置： ，每个电子都处在由所有原子实产生00IIR的势场和所有其它电子产生的平均势场合成的一个具有给定晶体对称性的势场 中当原子振动，偏离平衡位置Vr时， ，这一势场也就相应地有了改变0IIIR* 作 近似： 认为，势场变化0,,,eeeVVVrRrr主要来自原子实势场（ ）的变化考虑到电子与eL原子实的相互作用是它们间距的函数，即 2, ,0,4IeL iIiI iIiIZeVRr VrRrR （3.4-6 ）对晶体中每个电子（3.4-7）0 00 0ˆ , ,ePeLIIeLIII IIHVRrVRrr  为第 个原子实偏离其平衡位置 的振动位移。

IR 0IR对小振动，将上式对 展开，只取到一次项，IR（3.4-8）0ˆePIrIIHV* 晶格振动可以看成是各种模式的叠加，也即振动位移可以按晶格振动正则模对应的正则坐标展开IR的量子力学算符形式如（2.4-13）式所示：I12†(),12()1ˆˆ() exp()ˆe().jni jji njj jji njjst aiNMihc    qR为简单起见，下面讨论简单布拉菲晶体，且只涉及一个声子模（波矢 ，频率 ）的情形这时，电声子相互q作用哈密顿量（3.4-8）变为：012 0ˆ ˆ .2ˆ(,).IiqRep qrIIpHaeVRhcMaVrhc      （3.4-9 ）其中 为原子振动单位矢量， 为晶体总质量qe NM算符 为声子湮灭算符，相应的产生算符为 ˆa †ˆqa引进 ， （3.4- 012 120, ,IiqRp rI pIq qVqreVRDrMM     11）电声子相互作用哈密顿量改写为（3.4-12）ˆˆ,.epqpHaVrhc前一项相应吸收声子的过程（声子湮灭） ，后一项相应发射声子的过程。

现在的问题中，微扰哈密顿包含了电子与光子，电子与声子的相互作用ˆˆˆeRepHH由此可以来讨论声子参与的光跃迁，即跃迁同时涉及电子，光子和声子态的改变考虑一个元过程：跃迁初态为：（3.4-iaksqi qinaksn13）其中第一个因子表示电子态，第二个因子为光子态，第三个因子描述声子态在上述状态的简化表示中，只列出了跃迁中有变化的单电子态和相关模式中的光子或声子数假定跃迁中吸收一个光子 ，电子态变为 ，同时吸收fbks或放出一个波矢为 的声子，也即，跃迁末态为：q（3.4-11fbksqf qfnbksn14）跃迁前后的能量和动量守恒，即：和 , ,i qfEakEbk i fkqk（3.4-15）对于这样的跃迁过程，在前面几节讨论直接跃迁时用的一级近似下是 禁戒的：微扰哈密顿在初末态之间的矩阵元 包括两部分，+er epfHifHifHi其中前一项 为电子与辐射场相互作用的贡献，它erfi与晶格振动无关，这一相互作用 不会改变其振动状态，er而现在初末态的声子态不同，因而该部分矩阵元 恒为零类似的，第二项电声子相互作用 与光辐射场无关，epfHi相应的 矩阵元 也 恒为零 。

epfHi这时就需要考虑二阶微扰项对跃迁速率的贡献：（3.4-16）22if fiif iP EE 其中 为所有可能的状态二阶微扰公式中有两个矩阵元因子，可以形式地理解成，过程包含两步，第一步从初态 到中间态 ，第二步从中间态i到末态 f跃迁速率涉及所有可能的中间态但实际上只需要考虑少数中间态有贡献的中间态 应该：* 首先，很显然，只有使矩阵元不恒为零的中间态才有贡献→ 要矩阵元 不为+erepiHiiiHi零→ 要其中两项不同时为零→ 22if fiifHiP EE 涉及的中间态 相对初态和末态，不能光子态和声子态都不同(理由与上面讨论一级微扰贡献为零的相类似)* 其次，类似于 3.1 中的讨论，可以得出 每个矩阵元 要满足“动量守恒”才可能不为零 最后，求和中各中间态的贡献，与其能量距初态的远近（各项的分母）有关，实际问题中往往考虑与初态最靠近的带就够了下面以间接带 材料 价带顶到导带底的吸收跃迁作为例子1） 先考虑吸收一个光子和声子的情形即，跃迁末态为 11fbksqf qfnbksn重要的中间态有下面两类：1.中间态 1i qbksn相应的跃迁过程： 11iqi qf qaksnbksnbksn，晶体吸收一个光子，同时电子态变为 ， ibks而声子态不变。

第二步 ，吸收一个声子f跃迁涉及的各状态的能量为：初态 （3.4-17）,ii qakEn末态 （3.4-18）, 11if bkqn 中间态 （3.4-19）,i qbkEn中间态与初态间的能量差为：（3.4-20）i iii ii akbkbkak gkEE 其中 为波矢 时，两带间的能量间隔igkEi对这一中间态， 通常不是很大，因而对跃迁速率有明显贡献i接下来要考虑式（3.4-16）中的矩阵元的性质对矩阵元 （过程第一步） ，因为 与光子态无关，Hi epH而中间态与初态的光子态不同，因而相应的的矩阵元为零情形 2)情形 1) fkkikkba图 3.4-2 通过中间态的间接跃迁→能使矩阵元 不为零的只能是 的贡献 Hi erH即 erii对过程的的第二步， ，可以类似地得到fepfHfH于是，这一中间态对跃迁几率的贡献就可表示为：（3.4-21）2222if fiieperfiifHiP EEf i 其中，因子 与前面讨论的直接跃迁情形类似，而多出的一个因子，2erHi2,1,ifqepiqepi gkbnHbnfEE 由于微扰矩阵元是个小量，因而间接跃迁通常要比直接跃迁弱得多。

这也是为什么在直接跃迁允许的情形，不需考虑间接跃迁的贡献只有当直接跃迁禁戒时，才需要考虑它的贡献由 的表示式（3.4-11，12） ，epH12ˆˆ,.ˆ ,.2epqpq pqHaVrhcDqrhcM它前后两项的矩阵元，相应于吸收和放出一个声子，可进一步表示成：（3.4-22）2221,1, ,1,2f qepi fpiq qnbknHbknMDkM其中， 为晶体总质量 ， 为所涉及的声子模中的声子数Vqn矩阵元公式（3.4-22）中最后一个因子是表示，跃迁过程中吸收声子的情形取列在上面的值 ，释放声子时取下面的值 qn 1qn它们分别来自 中两项的因子 和 在声子态间的矩阵epHˆjqa†,jq元由于声子达到热平衡的速率很快，在讨论光跃迁问题时，可以认为跃迁是在声子热平衡的条件下发生的上式中的声子数就可用其热平衡值： (2.4-15)1/qBkTq rne利用上述结果，对这里讨论的吸收一个光子和一个声子的过程，跃迁速率表示式成为：  212 22 120,,iifpiqieriif bfai qgkfpiqiibfai qe gkbkVqrbnHakP EkkEkrbpA kEkm         （3.4-23）（2）另一种可能的过程为，电子“先”从 变到,fiakq，同时吸收一个光子， 然后，第二步，,fibkq处在 态的电子变到 ，同时吸收一个声子 。

iafak q这种情形初末态涉及两个单电子态，我们把相关状态表示为：， 能量ifqiakn ifi qakakEn，能量1fffb1fff kakEn， 能量ifqn 1if qakbkEnn 由相应的能量分母ff ff fi akbkbkakgkEEE  （3.4-24 ）及相关的矩阵元： 120,,,1,,fqepiqferffpi f fefHi。