λ-矩阵与标准形.doc

第第 5 5 讲讲 - -矩阵与标准形矩阵与标准形内容内容：：1.1. 矩阵的矩阵的 JordanJordan 标准形标准形2.2. 矩阵的最小多项式矩阵的最小多项式3.3. - -矩阵与矩阵与 SmithSmith 标准型标准型4.4. 多项式矩阵的互质性与既约性多项式矩阵的互质性与既约性5.5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解有理式矩阵的标准形及仿分式分解- -矩阵矩阵又称又称多项式矩阵多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用线性控制系统理论中有着重要的应用. . 本讲讨论本讲讨论 - -矩阵和矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的数字矩阵的相似标准形、矩阵的 JordanJordan 标准形、矩阵的最标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. . §1§1 矩阵的矩阵的 JordanJordan 标准形标准形1.11.1 矩阵相似矩阵相似定义定义 1.11.1 设设 和和 是矩阵，是矩阵， 和和是非奇异矩阵，若是非奇异矩阵，若ABCD, ,则称则称 和和 相抵相抵；若；若, ,则称则称 和和 相合相合（或合（或合DACB ABACCBTAB同）同） ；若；若, ,则称则称 和和 相似相似，即若，即若，存在，存在ACCB1ABnnCBA,, ,使得使得，则称，则称 与与 相似相似，并称，并称 为把为把 变成变成nn nCPBAPP1ABPA的的相似变换矩阵相似变换矩阵. .特别，当特别，当, ,称称 与与 酉相似酉相似，当，当B1 PPHAB, ,称称 与与 正交相似正交相似. .1 PPTAB相似是矩阵之间的一种重要的关系相似是矩阵之间的一种重要的关系. . 相似矩阵具有以下相似矩阵具有以下性质：性质：定理定理 1.11.1 设设, , 是一个多项式，则是一个多项式，则nnCBCA,,)(f（（1 1））反身性：反身性： 与与 相似；相似；AA（（2 2））对称性：若对称性：若 与与 相似，则相似，则 与与 也相似；也相似；ABBA（（3 3））传递性：若传递性：若 相似于相似于 ，， 相似于相似于 ，则，则 与与 相似；相似；ABBCAC（（4 4））若若 与与 相似，则相似，则, ,；；ABBAdetdetrankBrankA （（5 5））若若 与与 相似，则相似，则与与相似；相似；AB)(Af)(Bf（（6 6））若若 与与 相似，则相似，则, ,即即 与与 有相有相AB)det()det(BIAIAB同的同的特征多项式特征多项式，从而，从而特征值特征值相同相同. .对角矩阵对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便幂、逆矩阵和特征值等都比较方便. .问题：问题：方阵方阵 能否相似能否相似A于一个对角矩阵？于一个对角矩阵？定义定义 1.21.2 设设，若，若 相似于一个对角矩阵，则称相似于一个对角矩阵，则称nnCAA可对角化可对角化. .A定理定理 1.21.2 设设，则，则 可对角化的可对角化的充要条件充要条件是是 有有nnCAAA个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .n证明证明 充分性充分性. .设设, ,其中其中),,,(211 ndiagAPPL，则由，则由得得, , ，可，可),,,(21npppPL PAPiiipAp),, 2 , 1(niL见见是是 的特征值，的特征值， 的列向量的列向量是对应特征值是对应特征值的特征向的特征向iAPipi量，再由量，再由 可逆知可逆知线性无关线性无关. .Pnppp,,,21L必要性必要性. . 如果如果 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，，Annppp,,,21L即有即有, ,，记，记，则，则 可逆，且有可逆，且有iiipAp),, 2 , 1(niL),,,(21npppPLP),,,(),,,(221121nnnpppApApApAPLL, ,),,,(),,,(),,,(212121nnnPdiagdiagpppLLL即有即有，故，故 可对角化可对角化. .),,,(211 ndiagAPPLA推论推论 1.11.1 若若 阶方阵阶方阵 有有 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 可对可对nAnA角化角化. .推论推论 1.21.2 设设是是 阶方阵阶方阵 的所有互不相同的特的所有互不相同的特s,,,21LnA征值，其重数分别为征值，其重数分别为. .若对应若对应 重特征值重特征值有有 个线性个线性srrr,,,21Liriir无关的特征向量无关的特征向量，则，则 可对角化可对角化. .),, 2 , 1(siLA例例 1.11.1 研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似：研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似：1 1）），， 2 2）），，3 3））  6116100010 A  1221212221A 284014013 A解解 1 1）因）因 的特征多项式为的特征多项式为，因而，因而A)3)(2)(1(AI有三个不同的特征值：有三个不同的特征值：. .由于由于 的的 3 3 个特个特A3, 2, 1321A征值互不相同，故征值互不相同，故 能对角化能对角化. . 又求得相应的三个特征向量又求得相应的三个特征向量A为：为：, ,, ,, ,它们是线性无关的它们是线性无关的. .取取Tx) 1 , 1, 1 (1Tx)4 , 2, 1 (2Tx)9 , 3, 1 (3，则，则. .   941321111 P  3211APP2 2）特征多项式为）特征多项式为. .故特征值为故特征值为)5() 1(2AI（二重根）（二重根） ，，. .特征值为特征值为的两个线性无关的的两个线性无关的121531特征向量为特征向量为, ,，而特征值，而特征值对应的一对应的一Tx) 1, 0 , 1 (1Tx) 1, 1 , 0(235个特征向量为：个特征向量为：，取，取，则，则Tx) 1 , 1 , 1 (3  111110101P. .   5111APP3 3）） 的特征多项式为，的特征多项式为，，特征值为，特征值为A)2() 1(2AI，，. .而对应于特征值而对应于特征值 1 1 的一切特征向量为的一切特征向量为12123，，. .又对应于特征值又对应于特征值的一切特征向量为，的一切特征向量为，Tkx)20, 6, 3( 0k2，，. . 不存在三个线性无关的特征向量，所以不存在三个线性无关的特征向量，所以Tky) 1 , 0 , 0(101k不能与对角形矩阵相似不能与对角形矩阵相似. .A例例 1.21.2 设设，求，求 的相似对角矩阵及的相似对角矩阵及. .  163053064 AA100A解解 由由，得，得，，（二重根）（二重根）. .则则)2() 1(2AI2112对应于对应于的一个特征向量的一个特征向量及对应于二重根及对应于二重根21Tx) 1 , 1 , 1(1的两个线性无关特征向量为的两个线性无关特征向量为，，. .取取12Tx)0 , 1 , 2(2Tx) 1 , 0 , 0(3，则，则，故，故   101011021 P  1210110211P1121APP（（1.11.1）） 注意注意，若取，若取，则，则，可见，可见   0111012011P 11211 1APP不是唯一的不是唯一的. .P现在计算现在计算. .由式（由式（1.11.1）有）有，因此易，因此易100A1112PPA知知    12101102111)2(1010110211121001100100PPA. . 1221201212022221011001011001011001.21.2 特征矩阵特征矩阵设设，称，称为为 的的特征矩阵特征矩阵. .nn ijCaA)(AIA)(A定义定义 1.31.3 称称中所有中所有非零非零的的 级子式的级子式的首项（最高首项（最高)(Ak次项）系数为次项）系数为 1 1 的的最大公因式最大公因式为为的一个的一个 级行列式级行列式)(kD)(Ak因子因子，，. .. .nk,, 2 , 1L10由由定义定义 1.31.3 可知：可知：. .又因又因能能整除整除每个每个AEDn)()(1kD级子式，从而可整除每个级子式，从而可整除每个 级子式（将级子式（将 级子式按一行或级子式按一行或1kkk一列展开即知）一列展开即知） ，因此，因此能整除能整除，并记为，并记为，，)(1kD)(kD)()(1kkDD. .nk,, 2 , 1L定义定义 1.41.4 称下列称下列 个多项式个多项式n, ,,)()()(),()(12 211DDdDd)()()(,,)()()(,11nn n kk kDDdDDdLL为为的的不变因式不变因式. . 把每个次数大于零的不变因式分解为互把每个次数大于零的不变因式分解为互)(A不相同的不相同的一次因式一次因式的的方幂方幂的的乘积乘积，所有这些一次因式的方，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算）幂（相同的必须按出现次数计算） ，称为，称为的的初级因子初级因子. .)(A因因完全由完全由 决定，决定， 的不变因式及初级因的不变因式及初级因AEA)(A)(A子也常称为子也常称为矩阵矩阵 的的不变因式不变因式及及初级因子初级因子. .A例例 1.31.3 求矩阵求矩阵的不变因式及初级因子的不变因式及初级因子. . 2121A解解 因因 的特征矩阵为的特征矩阵为A, , 的行列式因子：的行列式因子：2121)(AEA)(A, ,, ,, ,. .)4)(1()(22 4AED1)(3D1)(2D1)(1D不变因式：不变因式：, ,. .1)()(, 1)()(3211ddDd)4)(1()()()(22 344DDd初级因子式：初级因子式：. .2, 2, 1, 11.31.3 矩阵矩阵 的标准形的标准形A定义定义 1.51.5 设矩阵设矩阵的全部的全部初级因子初级因子为：为：nn ijCaA)(，，，，sk skk)( ,,)( ,)(21 21Lnksii 1其中其中可能有相同的，指数可能有相同的，指数也可能有相同的也可能有相同的. .s,,,21Lskkk,,,21L对每个初级因子对每个初级因子构作一个构作一个 阶矩阵，称形如阶矩阵，称形如。