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第一章 管道声学第一章 管道声学 汽车进排气系统是由管道和消音元件组成声音沿著管道的轴向传播，轴向尺寸远远大于另两个方向的尺寸，因此通常可以用一维声学来分析进排气管中声音的传播特性第一节 管道波动方程与驻波 在汽车进排气管道所考虑的频率范围内，声波的波长远远大于这些管道的直径，因此在管道中，声波被认为以平面波的形式传播声波在管道中传播，当到达管道顶端的时候，一部分声波会透过管道继续传播，而另一部分声波则被反射回去，形成反射波如图1.1所示图1.1 管道中的声波 在管道中，波动方程简化为一维波动方程，表达如下： (1.1) 管道中任何一点的声波是由入射波和反射波组成入射波的声压和声速分别为： (1.2) (1.3)式中，和分别是入射声波声压幅值和速度幅值，k和分别是声波的波数和频率 反射波的声压和速度分别为： (1.4) (1.5)式中，和分别是反射声波声压幅值和速度幅值 管道中任何一点的声压是入射波声压和反射波声压的合成，或者说是方程(1.1)的解，，可以写成如下形式： (1.6) 式中第一部分表示入射波，第二部分表示反射波反射波的速度方向与入射波声速度的方向相反，所以合成声速为： (1.7) 声压和速度之间存在下列关系： (1.8)式中，z是声阻抗率。

对自由声场的平面波，声阻抗率就变成了特性阻抗声阻抗率与媒体的密度和声传播的速度有关将公式(1.8)分别代入入射声速(1.3)和反射声速(1.5)之中，然后将其结果代入到公式(1.7)中，得到： (1.9) 假设入射波的声压幅值与反射波的声压幅值相等，即，方程(1.6)可以写成： (1.10) 上式的实部可以写成： (1.11) 声压是时间和空间的函数公式(1.11)可以画成图1.2，它表示一个驻波的声波幅值在不同位子随时间变化的图图中有些点的声压始终是零，这些点被称为节点而那些声压幅值最大的点则被称为反节点图1.2 管道中的驻波图 从公式(1.11)知道，当时，声压为零，即节点发生在一些下面的特定位子： (1.12) 当时，声压幅值达到最大，反节点的位子是： (1.13) 驻波是由频率相同的向右传播的入射波和向左传播的反射波迭加而成驻波并不是运动的波，而是静止的，这是“驻”波名称的由来驻波表示管道中的声音的模态对於长度一定的管道来说，由於有许多频率的波，因此也就有很多驻波这里所提到的驻波是假设管壁刚硬，所有声波遇到管壁时全部被反射回来可是实际上，管端壁不是完全刚性，因此反射波的声压不完全等於入射波声压，因此在节点处，入射波和反射波不可能完全抵消。

但是这些点处的声压大部分被抵消，声压最低第二节 管道声阻抗 阻抗是指当对媒质受到压力或者推动力时，媒质会对传播产生阻碍管道中的声学阻抗，Z，定义声压与质点体积速度的比值，即： (1.14)式中，u，U和S分别是管道中的速度，体积速度和截面积体积速度与质点速度的关系为：U=Su声音在管道内传播，当管道的截面积发生变化的时候，声阻抗也发生变化图1.3是截面积变化的管道，在变截面的地方，由於阻抗发生变化，一部分入射波就会被发射回原来的管道，而另一部分入射波会在新的截面管道中继续传播抗性消音器的工作原理就是基于这种阻抗的变化声波从发动机出来并在进气或者排气系统中传播，当遇到消音元件或者截面积变化时，入射声波被反射回发动机声源，从而抑制声音的传播进排气系统中声阻抗不匹配的情况主要有截面积变化，主管道中插入了其他管道(如旁支消音器等)，管道开口通往大气等等图1.3 截面积变化的管道 进排气系统中管道的长度都是有限的图1.4表示一个长度为L的管道假设管道两端的声阻抗分别已知，即在处，声阻抗为，在处，声阻抗为由公式(1.6)和(1.9)，可以得到管道中任一点的声阻抗为： (1.15)图1.4 长度为L的管道 将代入公式(1.15)中，得到该处的声阻抗为： (1.16) 将代入公式(1.15)中，得到该处的声阻抗： (1.17) 公式(17)可以重新写成下面的形式： (1.18) 将方程(1.16)代入到方程(1.18)中，消除和，就得到输入声阻抗和输出声阻抗的关系，如下： (1.19) (1.20)第三节 管口封闭与管口敞开 声波从管道入口端发射出来，传播到尾端。

管道尾端通常有两种情况，一种是开口的，如进气管口，排气尾管口；另一种是封口的，如四分之一波长管下面就来分析这两种尾端的声学特征1．开口-封闭管道 图1.5表示管道尾端封闭状况声音在管道里向右传播，当声波碰到刚性的封闭端时，声波被全部反弹回来，再向左传播图1.5 开口-封闭管道 对一个刚性的封闭口来说，其声阻抗为无穷大，即，根据公式(1.19)，得到： (1.21) 声阻抗可以写成下面的形式： (1.22) 式中R和X分别是阻抗的实部和虚部，R称为声阻，X称为声抗声阻取决于结构的材料特性，而声抗则取决于结构的几何特性当声抗为零的时候，结构就发生共振公式(1.21)中的声阻抗也可以写成公式(1.22)那样的形式，为： (1.23) 上式如果满足下面的条件： (1.24) 即：，那么这个开口-封闭管道就发生共振，其固有频率为： (1.25) 当n=1，2，3，...，时，分别对应著管道第一阶、第二阶、第三阶，...，等阶次频率图1.6是管道声波的第一阶和第二阶模态这个声波在封闭端时，声压达大最大值，然后发射到入口处，使得入口端的声压为零，即在开口端形成驻波节点。

四分之一波长管就是应用这个原理来工作的AB图1.6 管道声波的第一阶模态(A)和第二阶模态(B) 公式(1.25)可以转变为管道长度与波长的关系，表达如下： (1.26)当 n = 1时，管道的长度是波长的四分之一，即：所以这种开口-封闭的管道通常叫著四分之一波长管2．开口-开口管道 图1.7为一个尾端开口的管子声波从入口端向右传播进入开口端时，声音与大气产生声耦合大气的辐射声阻抗会将一部分声波返回图1.7 开口-开口管道 声波在尾端的声阻抗为周围环境的声阻抗，也就是说这个声阻抗不为零为了使问题简化起见，我们先假设这个阻抗为零，然后再对所得到的结构进行修正如果在x=L处的声阻抗为零，那么由公式(1.19)可以得到下式： (1.27) 同样，当这个声阻抗中的声抗为零的时候，管道就发生共振，这时必须满足： (1.28) 即： (1.29) 这时，开口-开口管道的共振频率为： (1.30) 当n=1，2，3，...，时，分别对应著管道第一阶、第二阶、第三阶，...，等阶次频率图1.8是开口-开口管道声波的第一阶和第二阶模态图1.8 开口-开口管道的第一阶模态(A)和第二阶模态(B) 公式(1.30)可以转变为管道长度与波长的关系，表达如下： (1.31)3．开口管道的修正 在推导尾端开口公式时，我们假设了出口周围环境的声阻抗为零，但是实际上这个阻抗不为零，因此必须对公式(1.27-1.31)的结论做修正。

对图1.9这样的开口终端，被称为自由-自由开口该开口处的声阻抗为： (1.32)图1.9 自由开口-开口修正管道 由於管道的直径非常小，因此和都远远小于1由公式(1.27)和(1.32)得到： (1.33) 这样，管道内的频率为： (1.34) 管道长度与波长的关系为： (1.35) 这样管道的长度比声阻抗为零的时候要短些，也就是说好像有一根等效的延长管与原来的管道相连接管道的计算长度就是实际管子长度L加上等效延长管长度，即： (1.36) 有时候，在出口管处还会加类似与法兰的结构，如图1.10所示这时，有效延长管的长度为： (1.37) 实际管子的长度为： (1.38)式中是管子的计算长度图1.10 法兰开口-开口修正管道第四节 四端网络分析 进气系统或者排气系统都是有很多管道和消音元件组成分析整个系统往往是非常复杂的，但是如果将系统分解到一些小的段落，那么分析起来就相对容易些得到了每个段落或者是每个部件的分析结果，然后将之合成起来就得到了整个系统的结果四端网络分析就是这种分析方法，在管道声学分析中得到了广泛的应用 对於管道中一小段质量(如图1.11)来说，动力方程可以写成如下： (1.39) 式中，S是管道的截面积，是这个小质量段的长度，和分别是质量端两边的压力。

图1.11 管道中一小段质量的受力分析 公式(1.39)可以表达为： (1.40) 对这一小段质量来说，假设两边的速度是相等的，即 (1.41) 将这公式(1.40)和(1.41)写成矩阵形式，得到： (1.42) 公式(1.42)建立起这段小质量块两边的压力和速度的关系管道中小段质量块后端的压力和速度可以用它前端的压力和速度来表示也就是说质量块后端与前端之间建立起来一种传递关系 同样对一个长度为L的管道(如图1.4所示)也可以得到管道两端的传递关系在处的压力和速度可以通过公式(1.6)和(1.9)分别求得： (1.43) (1.44) 由以上两式可以得到和，如下： (1.45) (1.46) 根据公式(6)和(9)，在处的压力和速度分别为： (1.47) (1.48) 将公式(1.45)和(1.46)中和的表达式代入公式(1.47)和(1.48)之中，就得到管道入口与出口之间声压和速度之间的关系，为： (1.49) (1.50) 将公式(1.49)和(1.50)写成如下的矩阵形式： (1.51) 这样就得到了管道两边的压力和速度的传递关系公式(1.51)可以简单地写成如下形式： (1.52)式中，被称为传递矩阵。

如果管道的传递矩阵知道，那么只要知道管道一端的压力和速度，就可以通过传递矩阵算出另一端的压力和速度在传递矩阵两边分别是两个输入参数和两个输出参数这四个参数的关系由传递矩阵来确定，因此这种表达方式称为四端网络法 上面介绍了一小段质量和长度为L的管道的传递矩阵表达方法这种方法可以推广到任何一个声学元件，其输入端和输出端的声压和速度都可以用四端网络来表示图1.12代表某个声学元件i图1.12 一个管道元件的四端网络图 这个元件两边的压力和速度关系为： (1.53)式中是传递矩阵，是传递矩阵系数 汽车的进气系统包括进气管道、空气过滤器、赫耳姆兹消音器、四分之一波长管等排气系统包括排气多支管、催化器、谐振器、消音器和管道等一个系统如果由N个元件组成而且每个元件的传递矩阵都知道，那。