浙大高等传热学肋片分析.doc

高等传热学导热理论第第 三三 讲讲 肋片导热分析肋片导热分析肋片肋片 (伸（延、扩）展面、伸（延、扩）展面、 )：从壁面扩展出的换热面从壁面扩展出的换热面肋片的作用：肋片的作用：增加传热面积，改变换热条件和增加表面传热系数增加传热面积，改变换热条件和增加表面传热系数目的：强化传热，调整温度，减小体积及流阻，减轻重量目的：强化传热，调整温度，减小体积及流阻，减轻重量肋的种类：直肋，环肋，异形肋等：肋的种类：直肋，环肋，异形肋等：一维肋片的条件（假定）：一维肋片的条件（假定）：（（ 1）） 稳定导热，无内热源稳定导热，无内热源 2）） 连续均质，各向同性连续均质，各向同性 3）） 表面传热系数表面传热系数 h 为常量 4）） 环境换热温度环境换热温度 tf不变 5）） 导热系数导热系数 λλ 为常量为常量（（ 6）） 肋基温度均匀肋基温度均匀 7）） δ《H ，温度变化与宽度无，温度变化与宽度无关 8）） 肋基与壁面间无接触热阻肋基与壁面间无接触热阻（无温差）（无温差）3.1 一维对称直肋传热的通用微分方程：一维对称直肋传热的通用微分方程：对沿对沿 x 方向一维传热，设传热面积方向一维传热，设传热面积 A，由，由 Fourier 定律和热力学第一定律定律和热力学第一定律 ,应用微元分析法，当应用微元分析法，当 λ= 常量时，常量时， 有：有： -dΦ-hU (t-tf)dx＝＝ 0d(λAdt/dx)-hU(t-tf)dx = (λAd2t/dx)+λ(dA/dx)dt-hU(t-tf)dx=0λAd 2t/dx2+λ(dA/dx)dt/dx-hU(t-tf)=0导热面导热面 A 矩形时矩形时 A=2ly, U=2(l+2y),取取 l=1,2y<

等截面肋n=0 y=δδ /2(x/H)，， 三角形肋三角形肋n=1/3 y=δ/2(x/H)1/2 ,凸抛物线凸抛物线n=∞ ，， y=δδ /2(x/H)2 ,凹抛物线凹抛物线边界条件边界条件 ：：x=0,肋端：(1)1stB.C：t=t f 2) 2ndB.C 中 绝热边界条件绝热边界条件： dt/dx=03) 3rdB.C：-λ dt/dx=h(t-tf)x=H,肋基：肋基： t=t03.2 等截面直肋的导热分析等截面直肋的导热分析上式中：上式中： n=1/2，， y=δ/2 =const,等截面肋换一下坐标得：等截面肋换一下坐标得：d2t/dx2 –hU/(λA)(t-tf)=0令：令： θθ ＝＝ t-tf 过余温度过余温度d2θ/dx 2 –m2θ=0m2= hU/(λA)边界条件：边界条件：x=H,肋端：(1)1stB.C： θθ=0 2) 2ndB.C 中 绝热边界条件解绝热边界条件解： dθ/dx=0 3) 3rdB.C：-λ dθθ /dx=h2θθx=0,肋基肋基 ：： θθ =θθ 0通解通解 ：： θθ ＝＝ c1e-mx+c2emx 3.2.1 1stB.C 解：c1e-mH+c2emH=0c1 +c2＝＝ θθ 0 c1=θ 0 emH /( emH-e-mH)c2=-θ 0e-mH /( emH-e-mH)θθ ＝＝ θθ 0sh(m(H-x))/sh(mH)整个肋片散热量：整个肋片散热量：ΦΦ ＝＝-λA dθ/dx」 x=0＝＝λA mθ 0 ch(mH)/sh(mH)＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf) ch(mH)/sh(mH)特例：特例： H→∞θθ ＝＝ θθ 0e-mx θθ H=0→t H=tf整个肋片散热量：整个肋片散热量：ΦΦ ＝＝-λA dθ/dx」 x=0＝＝λA mθ 0 ＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf) 3.2.2 2ndB.C 中 绝热边界条件绝热边界条件解：-c1e-mH+c2emH=0c1 +c2＝＝ θθ 0 c1=θ 0 emH /( emH+e-mH)c2=θ 0e-mH /( emH+e-mH)θθ ＝＝ θθ 0ch(m(H-x))/ch(mH)整个肋片散热量：整个肋片散热量：ΦΦ ＝＝-λA dθ/dx」 x=0＝＝λA mθ 0 sh(mH)/ch(mH)＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf) th(mH)特例：特例： H→∞θθ ＝＝ θθ 0e-mx θθ H=0→t H=tf整个肋片散热量：整个肋片散热量：ΦΦ ＝＝-λA dθ/dx」 x=0＝＝λA mθ 0 ＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf) 结果与结果与 1stB.C 解 相同。

相同3.2.3 3rdB.C 解：-c1e-mH+c2emH= h2θ/(λm)c1 +c2＝＝ θθ 0 θθ ＝＝ θθ 0{[ch(m(H-x))+h2/(λm)sh(m(H-x))]/ [ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)]}整个肋片散热量：整个肋片散热量：ΦΦ ＝＝-λA dθ/dx」 x=0＝＝λA mθ 0{[sh(mH)+h2/(λm)ch(mH)]/[ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)]}＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf) {[th(mH)+h2/(λm)]/[1+h 2/(λm)th(mH)]}特例：特例：h2=h,可得可得h2=0，可得绝热边界条件解可得绝热边界条件解h2=∞ ，可得，可得 1st 边界条件解边界条件解H→∞？？ θθ ＝＝ θθ 0e-mx 整个肋片散热量：整个肋片散热量：？？ ΦΦ ＝＝-λA dθ/dx」 x=0＝＝λA mθ 0 ＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf) 3.2.4 三种肋效率三种肋效率由上分析：温度场变化特点：由上分析：温度场变化特点：a.过余温度为指数（双曲）曲线，肋基与换热流体温差大，肋端温差小。

过余温度为指数（双曲）曲线，肋基与换热流体温差大，肋端温差小肋各处换热量不同，肋基处换热量最大，肋端处换热量最小肋各处换热量不同，肋基处换热量最大，肋端处换热量最小b.当肋高趋向无穷大时，温度分布和换热量有下列趋势：当肋高趋向无穷大时，温度分布和换热量有下列趋势：θθ ＝＝ θθ 0e-mx ΦΦ ＝＝-λA dθ/dx」 x=0＝＝λA mθ 0 ＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf)由特点由特点 a 定义第一类肋效率定义第一类肋效率 (肋片有效度肋片有效度 )：：ηη 1＝实际传热量＝实际传热量 /以肋基导热面积为基准的最大传热量以肋基导热面积为基准的最大传热量 (未装肋时肋基传热量未装肋时肋基传热量 )对绝热边界条件：对绝热边界条件：ηη 1＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf) th(mH)/(hA(t0-tf))= th(mH)/(m(A/U))由特点由特点 a 定义第二类肋效率（工程上常用）：定义第二类肋效率（工程上常用）：ηη 2＝＝ ηη f＝实际传热量＝实际传热量 /以肋对流面积为基准的最大传热量以肋对流面积为基准的最大传热量 (肋片温度等于肋肋片温度等于肋基温度时的传热量基温度时的传热量 )。

对绝热边界条件：对绝热边界条件：ηη 2＝＝ ηη f=0.5x2h/λ=0.5δ(x/H) 2 (hUλA)1/2 (t0-tf) th(mH)/(hUH(t0-tf))= th(mH)/(mH)由特点由特点 b 定义第三类肋效率（肋片高度因子）：定义第三类肋效率（肋片高度因子）：ηη 3=实际传热量实际传热量 /肋片无限高时的传热量肋片无限高时的传热量 = th(mH)对绝热边界条件：对绝热边界条件：ηη 3＝＝ (hUλA)1/2 (t0-tf) th(mH)/((hUλA)1/2(t0-tf))= th(mH)计算热量公式：计算热量公式：ΦΦ ＝＝ ηη 1 hA(t0-tf)＝＝ ηη 2hUH(t0-tf)=η 3(hUλA)1/2(t0-tf)大家注意，对肋片，无量纲数大家注意，对肋片，无量纲数 mH 非常重要，它决定了肋的温度分布和换热非常重要，它决定了肋的温度分布和换热量大小三种肋效率间的关系：三种肋效率间的关系： ηη 2/η 1＝＝ A/HUηη 2/η 3＝＝ 1/mHηη 1/η 3＝＝ U/mA3.2 适用肋片强化传热的条件：适用肋片强化传热的条件：问题：加上肋片是否一定能够达到强化传热的目的？问题：加上肋片是否一定能够达到强化传热的目的？回答：不一定，即存在弱化传热的可能。

回答：不一定，即存在弱化传热的可能问题：满足什么条件，才能强化传热？我们这样分析：问题：满足什么条件，才能强化传热？我们这样分析：加肋片相当与增加肋高只要求得肋片传热量随肋高的变化规律，就可以加肋片相当与增加肋高只要求得肋片传热量随肋高的变化规律，就可以得到答案得到答案作为例子，我们以等截面肋为对象，引入作为例子，我们以等截面肋为对象，引入 3rdB.C 结果：结果：dΦ/dH=λm2{[ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)]2- [sh(mH)+h2/(λm)ch(mH)]2} /[ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)]2=λm2[ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)+ sh(mH)+h2/(λm)ch(mH)][ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)- sh(mH)-h2/(λm)ch(mH)] /[ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)]2=λm2[ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)+ sh(mH)+h2/(λm)ch(mH)][1-h2/(λm)][ch(mH)-sh(mH)]/[ch(mH)+h2/(λm)sh(mH)]2≥01-h2/(λm) ＜＜ 0 →→ dΦ/dH＜＜ 0 增高肋片，弱化传热增高肋片，弱化传热1-h2/(λm) ＝＝ 0 →→ dΦ/dH＝＝ 0 增高肋片，对传热无影响增高肋片，对传热无影响1-h2/(λm) ＞＞ 0 →→ dΦ/dH＞＞ 0 增高肋片，强化传热增高肋片，强化传热1-h2/(λm)=1-A0.5h2/(λhU)0.5=1-[hA/(λU)]0.5h2/h＞＞ 0(h/h2)2＞＞ hA/(λλ U)h2=h 时有：时有： BiA/U＝＝ hA/(λU) ＜＜ 1。

对矩形：对矩形： 1/h＞＞ δ/(2λ) ：外部热阻要大：外部热阻要大于内部热阻，加肋才能起作用于内部热阻，加肋才能起作用工程上，有意义的加肋应满足要求：工程上，有意义的加肋应满足要求： BiA/U＜＜ 1/4，显然，在，显然，在 h 较小和较小和 λλ 较较大时，用肋容易达到要求结论：气气对流换热时用肋效果好大时，用肋容易达到要求结论：气气对流换热时用肋效果好3.3 肋形状肋形状 y 的优化：的优化：问题：肋型线问题：肋型线 y 取什么曲线好？取什么曲线好？什么叫做什么叫做 “好好 ”？给定传热量下要求具有最小体积或最小质量或给定体积？给定传热量下要求具有最小体积或最小质量或给定体积（质量）下要求具有最大传热量质量）下要求具有最大传热量 （对偶优化问题）（对偶优化问题）Schmidt 假定：如要得到在给定传热量下要求具有最小体积或最小质量的肋假定：如要得到在给定传热量下要求具有最小体积或最小质量的肋的形状和尺寸，肋片任一导热截面的热流密度都应相等的形状和尺寸，肋片任一导热截面的热流密度都应相等1928 年，年， Schmidt 等提出了一维肋片换热优化理论：设导热系数为常数，等提出了一维肋片换热优化理论：设导热系数为常数，沿肋高的温度分布应为一条直线。