中考数学一轮复习第三讲反比例函数（解析版）.pdf

模 块 三 函 数第三讲反比例函数知 识 梳 理 夯 实 基 础知识点1:反比例函数的概念定义：一般地，函数y=A (左是常数，肚0)叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写X成 =左/或 移=左的形式.自变量X的取值范围是X H O的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.知识点2:反比例函数的图象与性质(1)图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限.由于反比例函数中自变量；#0,函 数/0,所以，它的图象与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.(2)性质：当Q0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.当N0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.表达式y=-(左是常数，物0)kk0R 0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性L反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x；2.反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点.反比例函数比例系数闷越大，图象离原点越远。

注意：(1)画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点.(2)随着国的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数y=-中存0且月0.（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况.当左0时，在每一象限（第一、三象限）内y 随x 的增大而减小，但不能笼统地说当左0时，y 随x 的增大而减小.同样，当N 0 时，也不能笼统地说丁随x 的增大而增大.知 识 点 3:反 比 例 函 数 解 析 式 的 确 定1.待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y=（中，只有一个待定系数，因X此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出左的值，从而确定其解析式.2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为y=-（后0）；X（2）把已知一对x,y 的值代入解析式，得到一个关于待定系数左的方程;（3）解这个方程求出待定系数左；（4）将所求得的待定系数上的值代回所设的函数解析式.知 识 点 4：反 比 例 函 数 中|k|的 几 何 意 义1.反比例函数图象中有关图形的面积2.涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解.（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图，SA B C=2SAA CO=k-,（2）如图，已知一次函数与反比例函数y=&交 于 A、3 两点，且一次函数与x 轴交于X点 C,则 SAOB=SAOC+SBOC=OC-yA +-OC-yB|=0c （|%|+1%I）；（3）如图，已知反比例函数y=七的图象上的两点，其坐标分别为（5，），x（乙，力），C 为 A B 延长线与 x 轴的交点，则 S OB=SY O C-SABOC=1 9 C-|yJ -|OC|yB|=OC-（yA-yB）.知 识 点 5:反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 综 合1 .涉及自变量取值范围型当一次函数%=%x +6 与反比例函数%=占相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后X求出交点坐标.针对时自变量X的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的X的范围.例如，如下图，当%时，X的 取 值 范 围 为 或XB X Q.同理，当为 为时，X的取值范围为0 x%4 或X 0时，y 随尤的增大而增大.则这个函数表达式可能是（）A.y=x B.y=C.y x2 D.y=-【答案】D【解析】【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可.【详解】解：A对于y=x,当尤=-1时，1,故函数图像经过点（1,1）；函数图象经过二、四象限；当x 0时，y 随x 的增大而减小.故选项A不符合题意；8.对于y=1,当尤=-1时，y-l,故函数图像不经过点（一1,1）;函数图象分布在一、三象限；当 0时，y随 x 的增大而减小.故选项8不符合题意；C.对于y=%2,当时，y=l,故函数图像经过点（一1,1）；函数图象分布在一、二象限；当x 0时，y随 x 的增大而增大.故选项C不符合题意；。

对于y=，当X=-1时，y=l,故函数图像经过点（1,1）；函数图象经过二、四象限；当x0时，y随尤 的 增 大 而 增 大.故 选 项符合题意；故 选：D【点 睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键.3.己知点尸（2,m）在 反 比 例 函 数 的 图 象 上，则点尸关于原点对称的点的坐标是（）A.（-2,1）B.（1,-2）C.（2,-1）D.（2,1）【答 案】A【解 析】【分 析】把尸（2,而 代 入 =-；,求出尸（2,-1）,进而即可求解.【详 解】9解：团点P（2,祖）在反 比 例 函 数y=-的 图 象上，2 0m=1,20 P（2,-1）,回点户关于原点对称的点的坐标是（-2,1）,故 选A.【点 睛】本题主要考查反比例函数图形和性质以及点的坐标，掌握反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键.4.（2023 山 西 中 考）已知反比例函数 则 下 列 描 述 不 正 确 的 是（）XA.图象位于第一，第三象限 B.图象必经过点（4,|C.图象不可能与坐标轴相交 D.随x的增大而减小【答 案】D【分 析】根据反比例函数图像的性质判断即可.【详 解】解：A、反比例函数y=g,k X）,经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；XB、将点口1 弋 入y=，中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；故选：D.【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键.5.（2023 天津中考）若点4（-5,%）1（1,%），。

5，%）都在反比例函数y=-+的图象上，则%,%，%的大小关 系 是（）A.B.C.D.%【答案】B【解析】【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出、为、%的值，即可比较得出答案.【详解】分别将A、3、C三点坐标代入反比例函数解析式得：5 1 5.5.%=一 石=1、%=_,=_ 5、y3=-=-1-则%M.故 选B.【点睛】本题考查比较反比例函数值.掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键.6.（2023 大庆中考）己知反比例函数y=：,当x 0,再利用一次函数的图象与性质即可求解.【详 解】解：回反比例函数y=B，当x 0,团y=-履 +k的图像经过第一，二,四象限,故 选:B.【点 睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键.7.（2023 自贡中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电 流/（单位：A）与 电 阻E（单位：Q）是反比例函数关系，它 的 图 象 如 图 所 示.下 列 说 法 正 确 的 是（C.当/3.6QB.蓄 电 池 的 电 压 是18VD.当 H=6O时，/=4A【答 案】C【分 析】将 将（4,9）代入/求出U的值，即 可 判 断A,B,D,利用反比例函数的增减性可判断C.R【详 解】解：设，=工，将（4 代 入 可 得/=*,故A错误;K K回蓄电池的电压是3 6 V,故B错误;当/4 1 0 A时，7?3.6Q,该项正确;当 当R=6O时，/=6 A,故D错误,故 选：C.【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.k8.（2023 荆门中考）在同一直角坐标系中，函数 =区-与 =（左 W0）的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据k 的取值范围，分别讨论k 0和k 0 时，一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，函数的 =看（4 片。

0）的图象在一、二象限，故选项的图象符合要求.当 k =由（左 力0）的图象经过三、四象限，故选项的图象符合要求.故选：B.【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的左值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y 轴的交点与一次函数的常数项相关.k9.（2023 温州中考）如图，点A,6 在反比例函数y=（左 0,x 0）的图象上，轴于点C,x2或）_Lx轴于点O,BELL）轴于点E,连结若 OE=1,O C =-O D,A C =A E,则左的值为（）【答案】B【解析】【分析】2 2 3设 0加，贝!J 0 0 机，设 A C=几，根据一根 =m x l求得力=5,在放及4所 中，运用勾股定理可求出加二3 3 2近,故可得到结论.2【详解】解：如图，O C=-O D320C=m团轴于点r),B E L y轴于点E,回四边形8EO是矩形SBD=OE=1aB(m,1)设反比例函数解析式为y=V,Xk=mxl=m设4 九团A C _L x轴2团A(m,n)32 3 3 m*n=k=mf 解得，n=,即 AC二 3 2 2AC=AE3AE=22 3 1在放AEF中，EF =O C =-m,A F =A C-F C =1=-3 2 2由勾股定理得，(|)2=(|m)2+(1)2解得，利=述(负值舍去)2回 人=迪2故选：B【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.k10.(2023长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点A、2在函数丫=人(左0,x0)的图象上，尤过点A作Xk无轴的垂线，与函数y=(x0)的图象交于点C,连结B C交x轴于点O.若点A的横坐标为1,xB C =3 B D,则点B的横坐标为()2-2 一【答案】B【解析】【分析】首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出C E的长度，过点8作8尸垂直了轴，证明V C E D.V B F D,由题目条件3 0 =38。

得出相似比，代换出点8的纵坐标，即可求出8的横坐标.【详解】设点A的坐标为(1,%),设A C与x轴的交点为E,过点3作B R H r轴，垂足为凡 如图：k0点C在函数y=(x 0)的图象上，且4面 轴，X13c的坐标为(1,-幻，BEC=k,团3周 轴，C石取轴，VCED:NBFD,BF BD团-=-,CE CD又 团 BC=3BD,BD 1团-=一,CD 2BF 1 BF团-，CE 2 k即B方二-kf21 ”团点8的纵坐标为彳左，代入反比例函数解析式：y=-2 xIY二-二 2当 尸 整 时，5，点的横坐标是2,故 选:B.【点睛】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标.1 1.如图，点 A 在双曲线y=上，点 B 在双曲线y=3 上，且人8*轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】过点A 作 AE鸵轴于点E,利用反比例函数系数k 的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4,四边形BEOC的面积为1 2,即可得到矩形ABCD的面积.【详解】过点A 作 AE团 y 轴于点E,团点A 在双曲线y=：上，团四边形AEOD的面积为4,回点B 在双曲线y=?上，且 ABx 轴，国四边形BEOC的面积为12,团矩形ABCD的面积为12-4=8,故选：C.【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟 记k的几何意义并灵活运用其解题是关键.12.（2023 无锡中考）一次函数y=久+n的图象与x轴交于点2,与反比例函数y=?（爪 0）的图象交于点且A 4 0 8的面积为1,则机的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先求出2的。