小学奥数教程之-三角形等高模型与鸟头模型(47)(含答案).pdf

4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库page 1 of 10板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积= 底 高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3 倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12:SSa b=s2s1baDCBA夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS=；反之，如果ACDBCDSS=，则可知直线AB平行于CD等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 (或 D 在 BA的延长线上，E 在 AC 上)，则:(): ()ABCADESSABACADAE=EDCBADECBA图图【例 1】如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5ADAB =，:4:7AE AC =，16ADES=平例题精讲 4-3-2. 三角形等高模型与鸟头模型4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库page 2 of 10方厘米，求ABC的面积EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答【解析】 连接 BE ，:2:5(24): (54)ADEABESSADAB=，:4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC=，所以:(24) :(75)ADEABCSS=，设8ADES=份，则35ABCS=份，16ADES=平方厘米，所以1份是 2 平方厘米，35 份就是 70 平方厘米，ABC的面积是 70 平方厘米 由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比【答案】 70 【巩固】如图，三角形ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答【解析】 连接 BE 3ECAE=3ABCABESS=又5ABAD=515ADEABEABCSSS= =，1515ABCADESS=【答案】 15 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲 (阴影部分 )、乙两部分，4BDDC=，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答【解析】 连接 AD 3BE =，6AE =3ABBE=，3ABDBDESS=又4BDDC=，2ABCABDSS=，6ABCBDESS=，5SS=乙甲【答案】 5 【例 2】如图在ABC中， D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，且:5:2AB AD =，:3: 2AE EC =，12ADES=平方厘米，求ABC的面积4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库page 3 of 10EDCBAEDCBA【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答【解析】 连接 BE ，:2:5(23): (53)ADEABESSADAB=:3: (32)(35) : (32)5ABEABCSSAEAC=+=+，所以:(32) : 5(32)6 :25ADEABCSS=+=，设6ADES=份，则25ABCS=份，12ADES=平方厘米，所以 1份是 2 平方厘米，25份就是 50 平方厘米，ABC的面积是 50 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】 50 【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中， E 为 AB 的中点，2AFCF=，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答【解析】 连接 FB三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的 2 倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的 2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326=（）倍因此，平行四边形的面积为8648 =(平方厘米 )【答案】 48 【例 4】已知DEF的面积为 7 平方厘米，,2,3BECE ADBD CFAF=，求ABC的面积FEDCBA【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答【解析】:() :()(1 1):(23)1: 6BDEABCSSBDBEBABC=，:() :()(13):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA=:() : ()(21): (34)1: 6ADFABCSSADAFABAC=设24ABCS=份，则4BDES=份，4ADFS=份，9CEFS=份，244497DEFS-份，恰好是 7平方厘米，所以24ABCS=平方厘米【答案】 24 【例 5】如图 16-4，已知 AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少 ? 4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库page 4 of 10【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9 题【解析】 如下图，连接AD ，BE，CF. 有ABE ， ABC 的高相等， 面积比为底的比， 则有ABEABCSS=AEAC， 所以ABES=AEACABCS=15ABCS同理有AEFS=AFABABES,即=AEFS=1556ABCS=16ABCS. 类似的还可以得到CDES=1445ABCS=15ABCS，BDFS=1613ABCS=18ABCS所以有DEFS=ABCS-(AEFS+CDES+BDFS)=(1-16-15-18)ABCS=61120ABCS即DEFABC三角形的面积三角形的面积为61120【答案】61120【例 6】如图，三角形ABC 的面积为3 平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3: 2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？DCEBA【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 2 星【题型】解答【解析】 由于180ABCDBE+ =，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:() :()(23): (55)6: 25ABCBDESSABBCBEBD=，设6ABCS=份，恰好是 3平方厘米，所以1份是 0.5 平方厘米， 25 份就是 250.512.5=平方厘米，三角形 BDE 的面积是 12.5平方厘米【答案】 12.5 【例 7】如图所示，正方形ABCD 边长为 6 厘米，13AEAC=，13CFBC=三角形 DEF 的面积为 _平方厘米【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库page 5 of 10【关键词】 走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AEAC=、13CFBC=，可得23CEAC=根据 ” 共角定理 ” 可得，():() :()12 : (33)2:9CEFABCSSCFCECBAC=；而66218ABCS= =；所以4CEFS=；同理得，:2: 3CDEACDSS=;，183212CDES ，6CDFS=故412610DEFCEFDECDFCSSSS=+-=+-=(平方厘米 )【答案】 10 【例 8】如图，已知三角形ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BDAB=；延长 BC 至 E ，使2CEBC=；延长CA至F，使3AFAC=，求三角形DEF的面积FEDCBAABCDEF【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 3 星【题型】解答【解析】(法 1)本题是性质的反复使用连接 AE 、 CD 11ABCDBCSS=，1ABCS=， S1DBC=同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=(法 2 )用共角定理 在ABC 和CFE 中，ACB与FCE互补，1 11428ABCFCESACBCSFCCE?=?又1ABCS=，所以8FCES=同理可得6ADFS=，3BDES=所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSS=+=+=【答案】 18 【例 9】如图，把四边形ABCD 的各边都延长2 倍，得到一个新四边形EFGH 如果 ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米? 【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 4 星【题型】解答【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED，BG，有EAD 、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABDEASSSAB=同理36EAHEADEADABDAHSSSSAD=4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库page 6 of 10类似的，还可得6FCGBCDSS=，有()66EAHFCGABDBCDABCDSSSSS+=+=30 平方厘米连接 AC ，AF， HC，还可得6EFBABCSS=，6DHGACDSS=，有()66EFBDHGABCACDABCDSSSSS+=+=30 平方厘米 . 有四边形EFGH 的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65( 平方厘米 .) 方法二 ：连接 BD，有EAH 、 ABD 中EAD+ BAD=180 又夹成两角的边EA、AH ，AB、 AD 的乘积比，EAAHABAD=23=6 ，所以EAHS=6ABDS类似的，还可得FCGS=6BCDS，有EAHS+FCGS=6（ABDS+BCDS)=6ABCDS=30 平方厘米连接 AC，还可得EFBS=6ABCS，DHGS=6ACDS，有EFBS+DHGS=6（ABCS+ACDS）=6ABCDS=30 平方厘米有四边形EFGH 的面积为 EAH ， FCG，EFB， DHG，ABCD 的面积和，即为 30+30+5=65 平方厘米【答案】 65 【例 10】 如图，平行四边形ABCD ， BEAB=，2CFCB=，3GDDC=，4HAAD=，平行四边形ABCD 的面积是 2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比HGABCDEFHGABCDEF【考点】 三角形的鸟头模型【难度】 4 星【题型】解答【解析】 连接 AC 、 BD 根据共角定理在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，1 11133ABCFBESAB BCSBE BF?=?又1ABCS=，所以3FBES=同理可得8GCFS=，15DHGS=，8AEHS=所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS=+=+=所以213618ABCDEFGHSS=4- 3- 2 三角形等高模型与鸟头模型题库page 7 of 10【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是 66 平方米， EAAB=， CBBF=， DCCG=， HDDA=，求四边形ABCD 的面积HG。