立体几何总复习总结课件.ppt

第一节第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图第九单元第九单元 立体几何立体几何基础梳理基础梳理1. 多面体(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台.2. 旋转(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥.(3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.3. 三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方.(3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法：①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴相交于O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),用它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.典例分析典例分析题型一题型一 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.分析分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.解解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱.(2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1 图2 图3学后反思学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.举一反三举一反三1. 观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主要结构特征.解析解析 (1)是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶点,16条棱.(2)是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.题型二题型二 柱、锥、台中的计算问题柱、锥、台中的计算问题【例2】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.分析分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角三角形,解决问题.解解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 、O, 和BC的中点分别是 和E,连接 、 、 、OB、 、OE,则四边形 和 都是直角梯形.∵ =4 cm,AB=16 cm,∴ =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,∴=19 cm,∴棱台的侧棱长为19 cm,斜高为 cm.学后反思学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法.（2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.举一反三举一反三2. （2009·上海）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_____.解析解析 如图，等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥.V= S·h= π ·h= π× ×2= .答案答案 流连染紫旳悯〆看，熟悉旳风景ヽら用生命回忆从前聆听ゝ尔伈钢琴上的芭蕾流连染紫旳悯〆看，熟悉旳风景ヽら用生命回忆从前聆听ゝ尔伈钢琴上的芭蕾 *烛光里的愿思念幻化成海。

化思念为星纯纯的记忆微笑的、侧脸蒲公英的梦想烛光里的愿思念幻化成海化思念为星纯纯的记忆微笑的、侧脸蒲公英的梦想 Φ-我在地狱仰望天堂花开ヽ似水￠破晓我在地狱仰望天堂花开ヽ似水￠破晓←前身居梦海前身居梦海°▽▽倒流时光倒流时光 往返流年往返流年△ △半半颗心的暖下一个转角颗心的暖下一个转角★★左拐地平线、无际落日夕阳左拐地平线、无际落日夕阳╰╰╰╰つ一个人丶听歌つ一个人丶听歌c≯ ≯半盏半盏流年如花的旋律微光倾城丅流年如花的旋律微光倾城丅①①站站_恋爱黎明前的う安静ら天空内抹蓝ミ漫步云海恋爱黎明前的う安静ら天空内抹蓝ミ漫步云海涧遥望地平线尽头春日夕后那涧遥望地平线尽头春日夕后那—缕艳阳月色下肆无忌惮的浅谈ゞ寂寞嘚街道美缕艳阳月色下肆无忌惮的浅谈ゞ寂寞嘚街道美得得⒋⒋5℃℃倾斜﹏゛定格那瞬间倾斜﹏゛定格那瞬间‖╭ ╭ァ月、很美一米阳光安静的照耀っ潮起潮落最后ァ月、很美一米阳光安静的照耀っ潮起潮落最后一抹阳光阳光温暖空屋仰望丶那一缕微光紫风铃、摇曳着回忆草尖上的花泪阳光一抹阳光阳光温暖空屋仰望丶那一缕微光紫风铃、摇曳着回忆草尖上的花泪阳光透过窗台゛温存　︿一曲女人花栺简哋悇烟透过窗台゛温存　︿一曲女人花栺简哋悇烟----影子海消失后鱼死了影子海消失后鱼死了”彩虹彩虹╭ ╭指间指间de嗳嗳╮ ╮时光在唱歌约好的以后。

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(2008·广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为 ( )解析解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED⊥底面EFD,则侧视图必为直角梯形,且线段BE在梯形内部.答案答案 A题型四几何体的直观图题型四几何体的直观图【例4】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.分析分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则:(1)坐标系中∠x′O′y′=45°;(2)横线相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;(3)竖线是原来的 ,即O′E′= OE.画法画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,…………………………………………………………..3′画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°……….5′(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′= OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD……………10′(3)连接B′C′、D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图2……………………………..12′ 图1 图2 学后反思学后反思 在原图形中要建立适当的直角坐标系，一般取图形中的某一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直的直线为坐标轴，原点可建在图形的某一顶点或对称中心、 中点等.坐标系建得不同，但画法规则不变，关键是画出平面图形中相对应的顶点.举一反三举一反三4. 如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6 cm，O′C′=2 cm，则原图形是 （）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四边形解析解析 ∵在直观图中，平行于x轴的边的长度不变，平行于y轴的边的长度变为原来的 ，∴原图中，OA=6 cm,OD=4 cm，∴OC=6 cm,BC=AB=6 cm，∴原图形为菱形.答案答案 C易错警示易错警示【例】画出如图1所示零件的三视图.错解错解 图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图2. 图1 图2错解分析错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线.正解正解考点演练考点演练10. （2010·潍坊模拟）如图，已知正四棱台ABCD- 的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段 的长是_____.解析解析 连接上底面对角线 的中点 和下底面BD的中点O，得棱台的高 ，过点 作 的平行线交BD于点E，连接CE.在△BCE中，由BC=2，BE= ,∠CBE=45°，利用余弦定理可得CE= ，故在Rt△ 中易得答案答案 11. 圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm,求截面面积.解析解析 如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF, ，EF, ,OA,则 为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,在直角梯形 中, （cm），在Rt△ 中，∴ （cm）,同理, （cm）,12. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 ,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解析解析 圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm.延长 交 的延长线于S,在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°,∴SO=AO=3x, =x，∴ =2x,又 ,∴x=7.故圆台的高 =14 cm,母线长 = =14 cm,两底面半径分别为7 cm,21 cm.第二节第二节 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积基础梳理基础梳理1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积4. 柱、锥、台体的体积这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成: 5. 球的体积及球的表面积设球的半径为R, 典例分析典例分析题型一题型一 几何体的表面积问题几何体的表面积问题【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.分析分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需的几何元素.解解 如图所示,正三棱台ABC- 中,O、 分别为两底面中心,D、 分别为BC和 中点,则 为棱台的斜高.设 =20,AB=30,则OD=5 , = ,由 ,得∴在直角梯形 中,∴棱台的高为4 cm.学后反思学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三举一反三1. 圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径与两底面面积之和.解析解析 如图,设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,∠ASO=30°,在Rt△SO′A′中, =sin 30°,∴SA′=2r.在Rt△SOA中, =sin 30°,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a.∴∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为 .题型二题型二 几何体的体积问题几何体的体积问题【例2】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，求它的侧面积和体积.分析分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.解解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则△PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 ,则PE⊥BC, E为侧面等腰梯形的高,作PO⊥底面ABCD交上底面于点 ,连接 、OE.在△P 和△PBC中,∴ , 为PB的中点, 为PE的中点.在Rt△PEB中,在Rt△POE中,学后反思学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”.（2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.举一反三举一反三2. 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 .解析解析 如图,分别过A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH,易求得EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,答案答案 题型三题型三 组合体的体积和表面积问题组合体的体积和表面积问题【例3】(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥的外接球的体积.分析分析 易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体,欲求外接球的体积，求其外接球半径即可.解解 由已知条件知,在平面图形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1……………………………….1′所以折叠后得到一个正四面体.方法一:如图，作AF⊥面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中心…………3′取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH⊥面AEC,则垂足H为△AEC的中心…………………….5′∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.∵AG= ,∴AH= AG= ，∴AF= ,………… 7′在△AFG和△AHO中,根据三角形相似可知, …………...10′∴外接球体积为 …………….12′方法二:如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就是正方体的外接球…………………………..4′∵正四面体棱长为1,∴正方体棱长为 ,………………………….6′∴外接球直径2R= ,…………………10′∴R= ,∴体积为 ………………12′学后反思学后反思 (1)折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较.一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化;不变量可结合原图形求证，变化量应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题.（2）由方法二可知，有关柱、锥、台、球的组合体，经常是把正方体、长方体、球作为载体，去求某些量.解决这类问题，首先要把这些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练，把问题进行转化，使运算和推理变得更简单，体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法.举一反三举一反三3. 已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为 a.求它的外接球的体积.解析解析 设外接球的半径为R,球心为O,则OA=OC=OS,所以O为△SAC的外心,即△SAC的外接圆半径就是外接球的半径,∵AB=BC=a,∴AC= a,∵SA=SC=AC= a,∴△SAC为正三角形.由正弦定理,得易错警示易错警示涉及组合体问题，关键是正确地作出截面图形，把立体几何问题转化为平面问题进行解决，解此类问题时往往因不能正确地作出截面图形而导致错误.【例】已知球的内接正方体的体积为V，求球的表面积.错解分析错解分析 过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面，得到一个矩形，矩形的对角线长为 x，不是 x.错解错解 如图所示，作圆的内接正方形表示正方体的截面，设正方体的棱长为x，球半径为R，则有 =V, x=2R，解得正解正解 如图所示，过正方体的对角面作球的大圆截面，设正方体的棱长为x，球半径为R,则有 =V, x=2R，解得考点演练考点演练10. （2009·辽宁）设某几何体的三视图如下（长度单位为m）：求该几何体的体积.解析解析 三视图所对应的立体图形如图所示.由题意可得平面PAC⊥平面ABC，V= ×4×3×2=4( ).11. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 =8.若侧面 水平放置时，液面恰好过AC、BC、 、 的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？解析解析 当侧面 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形，设△ABC的面积为S，则 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有 =Sh，∴6S=Sh,∴h=6.故当底面ABC水平放置时，液面高为6.12. （2009·广东改编）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积. 图1 图2 图3 解析解析 （1）侧视图同正视图，如图2所示.（2）该安全标识墩的体积为第三节第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理基础梳理1. 平面的基本性质名称 图形 文字语言 符号语言公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 公理2经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面 A、B、C不共线A、B、C∈平面α且α是唯一的 公理3如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线 若P∈α,P∈β,则α∩β=a,且P∈a 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 若a∥b,b∥c,则a∥c 公理2的推论 推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面 若点A直线a,则A和a确定一个平面α 推论2两条相交直线确定一个平面 a∩b=P 有且只有一个平面α,使aα,bα 推论3两条平行直线确定一个平面 a∥b 有且只有一个平面α,使aα,bα2. 空间直线与直线的位置关系(1)位置关系 相交 共面 ①共面与否 平行 异面 一个公共点:相交②公共点个数 平行 无公共点 异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.（4）异面直线的夹角①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.②范围：θ∈（0, ].特别地，如果两异面直线所成的角是 ，我们就称这两条直线垂直，记作a⊥b.3. 空间中的直线与平面的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点 直线与平面相交——有且只有一个公共点 直线在平面外 直线与平面平行——无公共点4. 平面与平面的位置关系平行——无公共点相交——有且只有一条公共直线典例分析典例分析题型一题型一 点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系【例1】下列命题:①空间不同三点确定一个平面;②有三个公共点的两个平面必重合;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;⑥垂直于同一直线的两直线平行;⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是_______.分析分析 根据公理及推论作判断.解解 由公理2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①、②均错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;④正确;⑤中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑥错;AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,所以⑦错;四边形AD′B′C中,AD′=D′B′=B′C=CA,但它不是平行四边形,所以⑧也错.学后反思学后反思 平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.举一反三举一反三1. 给出下列命题：①如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点;②经过空间任意三点的平面有且只有一个;③如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面;④不平行的两直线必相交.其中正确命题的序号为______.解析解析 由公理3知，①错;由公理2知，②错;③对;不平行的两直线可能异面，故④错.答案答案 ③题型二题型二 证明三点共线证明三点共线【例2】已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.分析分析 要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在△ABC所在的平面和平面α的交线上即可.证明证明 由已知条件易知,平面α与平面ABC相交.设交线为 ,即 =α∩面ABC.∵P∈AB,∴P∈面ABC.又P∈AB∩α,∴P∈α,即P为平面α与面ABC的公共点,∴P∈ .同理可证,点R和Q也在交线 上.故P、Q、R三点共线于 .学后反思学后反思 证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.举一反三举一反三2. 如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,如图所示.求证:点B、D、P在同一条直线上.证明证明 由于直线EF和GH交于点P,∴P∈EF,又∵EF平面ABD,∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.题型三题型三 证明点线共面证明点线共面【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.分析分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明.要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.证明证明 (1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面α,由O∈平面α,A∈平面α,O∈直线a,A∈直线a,知直线a平面α.同理b平面α,c平面α,故直线a,b,c,d共面于α.(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线a∩b=M,知直线a和b确定平面α.由a∩c=N,b∩c=Q,知点N、Q都在平面α内,故cα.同理可证dα,故直线a,b,c,d共面于α.由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.学后反思学后反思 证多线共面的方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内.（2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.举一反三举一反三3. 在正方体ABCD- 中,E是AB的中点,F是 的中点.求证:E、F、 、C四点共面.证明证明 如图，连接 ,EF, .∵E是AB的中点,F是 的中点,∴EF∥ .∵ ∥ ,∴EF∥ .故E、F、 、C四点共面.题型四题型四 异面直线及其所成角的问题异面直线及其所成角的问题【例4】(2008·全国Ⅱ)已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为 （）A. B. C. D. 分析分析 通过作平行线找到AE与SD所成的角，再利用三角形求解.解解 如图，连接AC、BD交于点O，连接OE.因为OE∥SD，所以∠AEO为所求.设侧棱长与底面边长都等于2，则在△AEO中，OE=1，AO= ，AE= ，于是cos∠AEO= .故选C.学后反思学后反思 求异面直线所成的角的方法：（1）根据平行线定义，作出异面直线所成的角.（2）证明作出的角是异面直线所成的角.（3）在三角形内求得直线所成角的某个三角函数值.举一反三举一反三4. 在四面体A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60°，点M，N分别是BC，AD的中点.求直线AB与MN所成的角的大小.解析解析 如图，取BD中点E，连接NE，EM，则EN AB,EM CD,故△EMN为等腰三角形，由条件∠MEN=60°，∴△EMN为等边三角形，且∠ENM即为AB与MN所成的角，∴∠ENM=60°.题型五题型五 证明三线共点证明三线共点【例5】(12分)已知四面体A-BCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且 .求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.分析分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.证明∵E、F分别是AB、AD的中点,∴EF∥BD且EF= BD………………….2′又∵ ,∴GH∥BD且GH= BD,∴EF∥GH且EF>GH,……………………4′∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P,……………………………..6′∵EG平面ABC,FH平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD…………..8′又∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,…………10′故直线EG、FH、AC相交于同一点P………………12′学后反思学后反思 证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.举一反三举一反三5. 如图所示,已知空间四边形ABCD,点E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点.求证:三线段EG,FH,MN交于一点,且被该点平分.证明证明 如图所示,连接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.∵E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,∴EF∥GH,EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.设EG∩FH=O,则O平分EG,FH.同理,四边形MFNH是平行四边形.设MN∩FH=O′,则O′平分MN,FH.∵点O,O′都平分线段FH,∴O与O′两点重合，∴MN过EG和FH的交点,即三线段共点且被该点平分.易错警示易错警示【例】过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.错解错解 ∵P、A、B三点不共线,∴P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.∵A、B、C、D均在直线a上,∴PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.错解分析错解分析 错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,通过A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.正解正解 过直线a及点P作一平面α,∵A、B、C、D均在a上,∴A、B、C、D均在α内.∵直线PA、PB、PC、PD上各有两点在α内,∴由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面α内,即四直线共面.考点连接考点连接10. 已知a、b为异面直线，则①经过直线a,存在唯一平面α，使b∥α；②经过直线a，若存在平面α使b⊥a,则α唯一；③经过直线a、b外任意一点，存在平面α，使a∥α且b∥α.上述命题中，真命题是________.（写出真命题的序号）解析解析 ①平移b到b′，使b′、a交于点O，则a与b′确定平面为α，b∥α，α唯一，故①正确.②a、b为异面直线，故无法确定a是否垂直于b.③如图，a平移到a′，b平移到b′，a′、b′交于点O，则a′、b′确定的平面α唯一.答案答案 ①③11. （2010·滨州质检）已知正方体ABCD- 的棱长为a，求异面直线 和 所成的角.解析解析 如图所示，连接 , ∴异面直线 和 所成角为90°.12. 已知直线a∥b∥c,直线 ∩a=A, ∩b=B, ∩c=C.求证:a、b、c、 共面.证明证明 如图，∵a∥b,∴a、b可以确定一个平面α.又∵ ∩a=A, ∩b=B,∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α,ABα;又A∈ ,B∈ ,∴ α.另一方面,∵b∥c,∴b、c可以确定一个平面β.同理可证, β.∵平面α、β均经过直线b、,且b和 是两条相交直线,它们确定的平面是唯一的,∴平面α与β是同一个平面,∴a、b、c、共面.第四节第四节 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质1. 平行直线(1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.(4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.(5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行.2. 直线与平面平行(1)定义:直线a和平面α没有公共点,叫做直线与平面平行.(2)线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.基础梳理基础梳理(3)面面平行的性质:如果两平面互相平行,那么一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 3. 平面与平面平行(1)定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面.(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(3)判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.(4)线面垂直的性质:如果两平面垂直于同一直线,则这两个平面平行.(5)平行公理:如果两平面平行于同一平面,则这两个平面平行.典例分析典例分析题型一题型一 线线平行线线平行【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析分析 若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可. 证明证明 如图,连接BD.∵EH是△ABD的中位线,∴EH∥BD,EH= BD.又∵FG是△CBD的中位线,∴FG∥BD,FG= BD.∴FG∥EH,且FG=EH,∴四边形EFGH是平行四边形.学后反思学后反思 若证明四边形EFGH是平行四边形,可有两条途径：一是证明两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等.举一反三举一反三1. 已知E、 分别是正方体ABCD- 的棱AD、 的中点.求证:∠BEC=∠ .证明证明 如图,连接 .∵ ,E分别为 ,AD的中点,∴∴四边形 为平行四边形，∴四边形 是平行四边形，∴ ∥EB.同理 ∥EC.又∵∠ 与∠CEB方向相同，∴∠ =∠CEB.题型二题型二 线面平行线面平行【例2】如图,正方体ABCD- 中,侧面对角线 上分别有两点E,F,且 .求证:EF∥平面ABCD.分析分析 要证EF∥平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.证明证明 方法一:过E作EM⊥AB于M,过F作FN⊥BC于N,连接MN(如图)，则EM∥ ,FN∥ ,∴EM∥FN.∵ ∴AE=BF,∴EM=FN,∴四边形EMNF是平行四边形,∴EF∥MN.又∵EF平面ABCD,MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法二:连接 ,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图). ∽△PFB,又∵EF平面ABCD,AP平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法三:过点E作EH⊥ 于点H,连接FH(如图)，则EH∥AB,∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD.∵EF平面EFH,∴EF∥平面ABCD.学后反思学后反思 判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(aα,bα,a∥ba∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,aαa∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,aα,aβ,a∥αa∥β).举一反三举一反三2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,E为PC中点.求证:PA∥平面EDB.证明证明 如图，连接AC交BD于O,连接EO.∵四边形ABCD为正方形,∴O为AC中点.∵E为PC中点,∴OE为△PAC的中位线,故EO∥PA.又∵EO平面EDB,PA平面EDB,∴PA∥平面EDB.题型三题型三 面面平行面面平行【例3】如图,正方体ABCD- 的棱长为1.求证:平面 ∥平面分析分析 要证明平面 ∥平面 ,根据面面平行的判定定理或推论，只要证明AC∥平面 ， ∥平面 ,且AC∩ =A即可.证明证明 方法一: 四边形 为平行四边形方法二:易知 和确定一个 平面 ,于是,学后反思学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有:(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.举一反三举一反三3. 在正方体ABCD- 中,M、N、E、F分别是棱的中点.求证:平面AMN∥平面EFDB.证明证明 如图，连接MF,∵M、F分别是 的中点,且四边形 为正方形,又∴四边形ADFM为平行四边形,∴AM∥DF.又∵AM平面EFDB,DF平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.同理可证AN∥平面EFDB.∵AM,AN平面AMN,AM∩AN=A,∴平面AMN∥平面EFDB.题型四题型四 平行的探究问题平行的探究问题【例4】（2009·银川模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2 ，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点.(1)求证：CD⊥平面SAE；(2)侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论.分析分析 （1）先利用勾股定理和线面垂直判定定理证明直线SA⊥底面ABCD，再证明直线SA⊥CD，证明直线与平面垂直时，必须证明直线与平面内的两条相交直线垂直.（2）先回答问题，再证明充分条件.探究的点往往是特殊点（中点）.证明证明 （1）∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AC=AD=2,∴△ACD为正三角形.又E为CD的中点，∴CD⊥AE.∵SA=AB=AD=2,SB=SD=2 ,则有∴SA⊥AB,SA⊥AD.又∵AB∩AD=A,∴SA⊥底面ABCD,∴SA⊥CD.由CD⊥AE,SA⊥CD,AE∩SA=A,∴CD⊥平面SAE. (2)侧棱SB上存在点F，当F为SB的中点时，使得CF∥平面SAE.证明证明 假设侧棱SB上存在点F，使得CF∥平面SAE.不妨取SA的中点N，连接EN，过点N作NF∥AB,交SB于F点，连接CF.则作图知NF AB,点F为SB的中点.又∵CE AB，∴NF CE，∴四边形CENF为平行四边形,∴CF∥EN.又∵EN平面SAE，CF平面SAE，∴CF∥平面SAE.即当F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE.学后反思学后反思 定理、定义是做题的依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要通过题设和图形的结构特征、性质去寻求，增添辅助线是解决问题的关键.举一反三举一反三4. 长方体ABCD-A′B′C′D′，点P∈BB′（不与B、B′重合），PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求证：MN∥平面AC.证明证明 如图，连接A′C′,AC,∵ABCD-A′B′C′D′为长方体，∴AC∥A′C′.∵AC平面A′C′B,A′C′平面A′C′B,∴AC∥平面A′C′B.又∵平面PAC过AC与平面A′C′B交于MN，∴MN∥AC.∵MN平面AC，AC平面AC，∴MN∥平面AC.题型五题型五 平行关系的综合应用平行关系的综合应用【例5】(12分)求证:若一条直线分别和两个相交平面平行,则这条直线必与它们的交线平行.分析分析 此题可先过直线作平面分别与已知两平面相交,由线面平行的性质定理及公理4,可证得两交线平行,从而进一步证得一条交线与另一平面平行,进而可证得结论.证明证明 ∥α, ∥β,α∩β=a.过 作平面γ交α于b,过 作平面δ交β于c,……………………………………………………..3′∵ ∥α, γ,α∩γ=b,∴ ∥b.(线面平行的性质定理)同理 ∥c……………………………………………….5′∴b∥c………………………………………………….6′又∵cβ,bβ,∴b∥β.(线面平行的判定定理)……………..8′又∵bα,α∩β=a,∴b∥a.(线面平行的性质定理)10′∴ ∥a.(公理4)…………………………………………………..12′学后反思学后反思 把文字语言转化成符号语言和图形语言，过 作平面γ和δ与α、β得到两条交线，利用线面平行的性质定理及公理4可证得交线平行，从而进一步证明一条交线与另一个平面平行，进而可证得结论.举一反三举一反三5. 如图所示,在四面体A-BCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD.试问:截面在什么位置时,截面的面积最大?解析解析 ∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH,∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH.同理可证,EF∥GH.∴四边形EFGH是平行四边形.设AB=a,CD=b,∠FGH=α(a、b、α均为定值,其中α为异面直线AB与CD所成的角),又设FG=x,GH=y,由平面几何知识,得两式相加,得 ,即∵x>0,a-x>0,且x+(a-x)=a(定值)，∴当且仅当x=a-x,即x= 时,故当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时,截面面积最大.易错警示易错警示【例】如图所示，平面α∥平面β，点A∈α,C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.求证：EF∥β.错解错解 ∵α∥β，∴AC∥BD.又AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD.又EFβ，BDβ，∴EF∥β.错解分析错解分析 上述解法的错误在于未讨论AB与CD是否共面，而直接把AB、CD作为共面处理，忽视异面的情况.本题中对AB、CD位置关系的讨论具有一定的代表性，可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现.正解正解 ①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC=AC，β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD,∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,又EFβ，BDβ，∴EF∥β.②当AB与CD异面时，如右图所示，设平面ACD∩β=DH，且DH=AC.∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD,EG∥BH，又EG∩GF=G，BH平面β，DH平面β，∴平面EFG∥平面β.∵EF平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β.考点演练考点演练10. 如图,下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是——.(写出所有符合要求的图形序号)解析解析①图中,∵MN∥AD,NP∥AC,∴平面MNP∥平面AB，∴AB∥平面MNP.②图中,AB不平行于平面MNP(反证法).连接BE,分别交CD、MP于R、Q,若AB∥平面MNP,则AB∥NQ.又由N为AE中点,R为BE中点，得AB∥NR.在平面ABE中过点N有两条直线平行于AB,与平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.③图中,∵AD BC,∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.又∵MP∥CD,∴AB∥MP，故AB∥平面MNP.④图中,AB不平行于面MNP(反证法).若AB∥平面MNP,则AB∥DM.又由AD BC,得四边形ABCD是平行四边形,故AB∥CD.在平面ABCD中过点D有两条直线平行于AB,与平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.答案答案 ①③11. 已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面ACD′∥平面A′BC′.证明证明 ∵正方体ABCD-A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥A′B,又∵AD′∩CD′=D′,BC′∩A′B=B,∴平面ACD′∥平面A′BC′.12. （2009·扬州模拟）如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明证明 连接AC，交OB于O，连接MO.∵OC=OA,CM=MP,∴OM∥AP.∵AP平面DBM，OM平面DBM，∴AP∥平面DMB,∵AP平面APGH，平面APGH∩平面DMB=GH，∴AP∥GH. 第五节第五节 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质基础梳理基础梳理1. 直线与平面垂直(1)定义:如果直线 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平面α互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做点到平面的距离.(2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.(3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.(4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.(5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.2. 平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就称这两个平面互相垂直.(2)判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.(3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.典例分析典例分析题型一题型一 线线垂直线线垂直【例1】如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,求证:CD⊥AB.分析分析 要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可.证明证明 ∵α∩β=CD,∴CDα,CDβ.又∵EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD,同理EB⊥CD.∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E,∴CD⊥平面EAB.∵AB平面EAB,∴AB⊥CD.学后反思学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.举一反三举一反三1. 如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证:AE⊥SB,AG⊥SD.证明证明 ∵SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∵AE平面SAB,∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AEFG,AE平面AEFG,∴SC⊥AE.又∵BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.题型二题型二 线面垂直线面垂直【例2】如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥平面AEF.分析分析 要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可.证明证明 (1)PA⊥平面ABCPA⊥BC AB⊥BC BC⊥平面PAB. PA∩AB=A (2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BC AE⊥PB AE⊥平面PBC. PB∩BC=B (3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AE PC⊥AF PC⊥平面AEF. AE∩AF=A学后反思学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线线垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用,由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明所需要的转化.举一反三举一反三2. 如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证:OQ⊥平面PBC.证明证明 如图，连接AO并延长交BC于E,连接PE.∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.又∵O是△ABC的垂心,∴BC⊥AE.∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAE,∴BC⊥PE,∴PE必过Q点，∴OQ平面PAE,∴OQ⊥BC.连接BO并延长交AC于F.∵PA⊥平面ABC,BF平面ABC,∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC,∴BF⊥平面PAC.∵PC平面PAC,∴BF⊥PC.连接BQ并延长交PC于M,连接MF.∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,∴PC⊥平面BFM.∵OQ平面BFM,∴OQ⊥PC.∵PC∩BC=C,∴OQ⊥平面PBC.题型三题型三 面面垂直面面垂直【例3】如图所示,在斜三棱柱 -ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 ⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥ ;(2)过侧面 的对角线 的平面交侧棱于M,若AM= ,求证:截面 ⊥侧面分析分析 （1）要证明AD⊥ ,只要证明AD垂直于 所在的平面 即可.显然由AD⊥BC和面面垂直的性质定理即可得证.（2）要证明截面 ⊥侧面 ，只要证明截面 经过侧面 的一条垂线即可.证明证明 (1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥侧面∴AD⊥侧面 ，∴AD⊥ .(2)延长 与BM的延长线交于点N,连接 .学后反思学后反思 本题中平面ABC⊥平面 的应用是关键,一般地，有两个平面垂直时要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.举一反三举一反三3. 如图，在直三棱柱ABC- 中，AC=BC，点D是AB的中点.（1）求证： ∥平面 ；（2）求证：平面 ⊥平面证明证明 （1）如图，连接 交 于E，连接DE，∵ 为矩形，则E为 的中点.又∵D是AB的中点，∴在△ 中，DE∥ .又∵DE平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 .（2）∵AC=BC,D为AB的中点，∴在△ABC中，AB⊥CD.又∵ ⊥平面ABC，CD平面ABC，∴ ⊥CD. 又 ∩AB=A，∴CD⊥平面 .又∵CD平面 ，∴平面 ⊥平面题型四题型四 垂直问题的探究垂直问题的探究【例4】（12分）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD.(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论;(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM;(3)若在BC边上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.分析分析 （1）本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件,即BD垂直于平面PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知ABCD为正方形.（2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知，M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DM⊥AM.解解 (1)当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC,………2′又∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴BD⊥PA,又∵PA∩AC=A,…………………………………….3′∴BD⊥平面PAC.故当a=2时,BD⊥平面PAC……………………….4′ (2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、MN……..5′∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,…………………………………..6′∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………………………..7′即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………………………………………..9′故当a=4时,BC边的中点M使PM⊥DM.(3)设M是BC边上符合题设的点M,∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………………………………………11′因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD≥2AB,即a≥4为所求…………….12′学后反思学后反思 无论是线面垂直还是面面垂直,都源自于线线垂直.在处理实际问题的过程中,可以先从题设条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论入手分析所要证明的垂直关系,从而架起已知与未知之间的桥梁.举一反三举一反三4. （2007·海南、宁夏）如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC= ，等边三角形ADB以AB为轴转动.（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD?证明你的结论.解析解析 （1）取AB的中点E，连接DE、CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知得DE= ，EC=1.在Rt△DEC中，（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C、D都段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD；②当D不在平面ABC内时，由（1）知AB⊥DE.又因为AC=BC，所以AB⊥CE.又DE、CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.易错警示易错警示【例】设平面α与平面β的交线为 ,直线AB在平面α内,且AB⊥ ,垂足为B,直线CD垂直于平面β,且CD∥平面α.求证:AB⊥平面β.错解错解 如图1所示,∵CD⊥平面β,且CD∥平面α,而AB⊥ ,∴AB∥CD,∴AB⊥平面β.错解分析错解分析 错解仅将已知条件复述一遍,就直接从CD∥平面α,得出CD∥AB,这是没有根据的,犯了论据不足的错误.正解正解 如图2所示,过CD及平面α内任一异于AB的点P作平面γ,设平面α与平面γ的交线为EF.∵CD∥平面α,∴EF∥CD.∵CD⊥平面β,∴EF⊥平面β,EF⊥ .∵EF、AB均在平面α内,且EF、AB均与 垂直，∴AB∥EF,而EF⊥平面β,∴AB⊥平面β.考点演练考点演练10. E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF、BD相交于点O，以EF为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD=——.解析解析 设正方形边长为2，BD= ， ，所以θ=120°.答案答案 120°11. （创新题）如右图所示，在直三棱柱ABC- 中，AB=BC= ，D为AC的中点.（1）求证： ∥平面 ；（2）若 ⊥平面 ，求证： ⊥平面 ；（3）在（2）的条件下，设AB=1，求三棱锥B- 的体积.解析解析 （1）证明：如图，连接 交 于E，连接ED.∵ABC- 是直三棱柱，且AB= ，∴侧面 是正方形，∴E是 的中点.又已知D为AC的中点，∴在△ 中，ED是中位线，∴ ∥ED，∴ ∥平面 .（2）证明：∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ .又∵侧面 是正方形，∴ ⊥ ，∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ .又∵ABC- 是直三棱柱，∴∴ ⊥平面 . (3)∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 ，∴BD就是三棱锥B- 的高，由（2）知 ⊥平面 ，∴BC⊥平面 .∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形.又∵AB=BC=1,∴BD= ，∴AC= ∴三棱锥B- 的体积12. (2009·潍坊模拟)如图,正三棱柱ABC- 中,AB=2, =1,D是BC的中点,点P在平面 内, (1)求证: ⊥BC;(2)求证: ∥平面 ;(3)求证: ⊥平面证明证明 (1)如图，取 的中点Q,连接 ,PQ,∵△ 和△ 是等腰三角形,∴ ⊥ , ⊥PQ,∴ ⊥平面 ,∴ ⊥ .∵BC∥ ,∴BC⊥ (2)连接BQ,在△ 中, , =2,Q为 中点,∴PQ=1,∴ =PQ.又∵ ⊥ ,PQ⊥ ,且 , ,PQ在同一平面内.∴ ∥PQ,∴四边形 为平行四边形,∴ ∥BQ.∵BD ,四边形 为平行四边形,∴BQ∥ ,∴又∵ 面 ,∴ ∥平面 (3)在矩形 中,BC=2, =1,D为BC的中点,∴∠ =90°,即∵平面ABC⊥平面 ,AD⊥BC,∴AD⊥平面∵ 平面∴AD⊥ ,∴ ⊥平面第六节第六节 空间直角坐标系空间直角坐标系基础梳理基础梳理1. 空间直角坐标系的概念如图,OABC-D′A′B′C′是单位正方体,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.2. 空间两点间距离公式设 则|AB|=AB的中点坐标为典例分析典例分析题型一题型一 空间中点的坐标的确定空间中点的坐标的确定【例1】设正四棱锥S- 的所有棱长均为a,建立适当的坐标系,求点S、 和 的直角坐标.分析分析 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.解解 正四棱锥S- 如图所示,其中O为底面正方形的中心, ⊥Oy轴, ⊥Ox轴,SO在Oz轴上.∵d( )=a,而 均在xOy平面上,∴在面xOy内， 与 关于原点O对称. 与 关于原点O对称，∴又∵d(S, )=a,d(O, )=∴在Rt△ 中,d(S,O)=∴S（0,0, ）.学后反思学后反思 （1）建立适当的空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，如底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个顶点为原点建系;底面是菱形的直四棱柱，以对角线的交点为原点建系.本例是正四棱锥，以底面中心为原点建系.（2）要尽量把空间点建在坐标轴上，或某一个坐标平面内，使其坐标书写简单、方便，便于运算.举一反三举一反三1. 如图,长方体ABCD- 的棱长|AB|=3,|AD|=4,| |=5,以A为坐标原点,以射线AB、AD、 依次为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正半轴建立空间直角坐标系,分别写出长方体各顶点的坐标.解析解析 A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,4,0),D(0,4,0), (0,0,5), (3,0,5), (3,4,5), (0,4,5).题型二题型二 空间中点的对称问题空间中点的对称问题【例2】已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求顶点D的坐标. 分析分析 本题考查空间中点坐标的计算公式.解解 ∵平行四边形对角线互相平分,∴AC的中点即为BD的中点.设D(x,y,z),又∵AC的中点O（ ,4,-1）,则 ，∴x=5,y=13,z=-3，故D(5,13,-3).学后反思学后反思 注意分清线段的端点与中点.举一反三举一反三2. 已知点C为线段AB的中点,且A(1,0,-1),C(2,2,-3).求点B的坐标.解析解析 设B(x,y,z),则∴x=3,y=4,z=-5,∴B(3,4,-5).题型三题型三 空间中两点的距离公式空间中两点的距离公式【例3】(1)给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点 (4,1,2)的距离为 ;(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使M到点N(6,5,1)的距离最小.分析分析 由坐标轴上坐标的特点设出所求点的坐标，然后由两点间的距离公式，列出方程求解.解解 (1)设点P的坐标是(x,0,0),由题意,得即解得x=9或x=-1.所以点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).(2)设点M(x,1-x,0),则当x=1时所以点M坐标为(1,0,0).学后反思学后反思 求最值时,可建立函数模型,利用函数求最值的方法求解.举一反三举一反三3. 空间坐标系中,A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),求|AB|的最小值.解析解析即|AB|的最小值为题型四题型四 动点的距离问题动点的距离问题【例4】（12分）已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，CM=BN=a(0＜a＜ ).求：（1）MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小.分析分析 由已知条件可得出AB、BE、BC两两垂直，可建立空间直角坐标系表示出M、N两点的坐标，再由两点距离公式求解.解解 （1）∵面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，AB⊥BE，∴BE⊥面ABC，∴AB、BC、BE两两垂直……………..2′以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系…………………………………...4′则 ……………………6′ ……………………………8′ (2)∵|MN|= ,∴当a= 时， ……………………12′ 学后反思学后反思 对该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行的方法.举一反三举一反三4.以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，5.点P在体对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点，求|PQ|的最小值.解析解析 如图，过P作PE⊥OA于E，则PE⊥面xOy，设点P的x坐标为x,由正方体性质得点P的y坐标为x,取正方体棱长为1，则AE= （1-x）.∴P点坐标为（x,x,1-x）.又∵Q（0，1， ），当x= 时， ，此时，点P的坐标为（ ， ， ）即P为AB中点时|PQ|最小.考点演练考点演练10. （2009·潍坊模拟）若A、B两点的坐标分别是A(3cosθ,3sinθ,1)，B（2cosα,2sinα,1），则|AB|的取值范围是——.解析解析 方法一：∵|cos(θ-α)|≤1,∴ ∈［1,25］,即|AB|∈［1,5］.方法二：点A、B在同一平面内，且可以看作分别是有共同圆心（0，0）和半径分别为3和2的圆的圆心，故答案答案 ［1，5］11. 在空间直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(-1,2,3),B(2, -2,3),C( , ,3).求证:△ABC为直角三角形.证明证明 即△ABC为直角三角形.12. 如图,正方体边长为1,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.解析解析 由题意知,点P的坐标为( , , )设Q的坐标为(0,1,z),其中0≤z≤1,则所以当z= 时, 有最小值 ,从而|PQ|有最小值 .。