2007年数一真题试题+答案.doc

120072007 年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：一、选择题：1 1～～1010 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 4040 分分, ,下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中, ,只有一个选项符合只有一个选项符合 题目要求题目要求, ,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)当时,与等价的无穷小量是( ) 0xx(A) . (B) . (C) . (D) . 1xe1ln1x x 11x1 cosx答案：答案： (B)(B).(2) 曲线渐近线的条数为( )1ln(1)xyex(A) . (B) . (C) . (D) . 0123 答案：答案： (D)(D).(3)如图,连续函数在区间上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在( )yf x3, 2 , 2,3区间上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周,设则下列结论正2,0 , 0,2 0( )( ) ,xF xf t dt确的是( )(A) . (B) .(3)F3( 2)4F (3)F5(2)4F(C) . (D) . ( 3)F 3(2)4F( 3)F 5( 2)4F 答案：答案： (C)(C).(4)设函数在处连续,则下列命题错误的是( )( )f x0x (A) 若存在,则. (B) 若存在,则. 0( )lim xf x x(0)0f 0( )()lim xf xfx x(0)0f(C) 若存在,则存在. (D) 若存在,则存在. 0( )lim xf x x(0)f 0( )()lim xf xfx x(0)f 答案：答案： (D)(D).(5)设函数在上具有二阶导数,且,令 ,则下列结论正( )f x(0,)( )0fx( )nuf n(1,2,)n 确的是( )(A) 若,则必收敛. (B) 若,则必发散.12uu nu12uu nu(C) 若,则必收敛. (D) 若,则必发散.12uu nu12uu nu答案：答案： (D)(D).(6)设曲线(具有一阶连:( , )1L f x y ( , )f x y2续偏导数),过第Ⅱ象限内的点和第Ⅳ象限内的点,为上从点到点的一段弧,则MNLMN 下列积分小于零的是( )(A) . (B) .( , )f x y dx ( , )f x y dy (C) . (D) .( , )f x y ds ( , )( , )xyfx y dxfx y dy 答案：答案： (B)(B).(7)设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是( )123,,  (A) . (B) .122331,, 122331,, (C) . (D) .1223312,2,2  1223312,2,2  答案：答案： (A)(A).(8)设矩阵,,则与( )211 121 112A   100 010 000B  AB(A) 合同,且相似. (B) 合同,但不相似. (C) 不合同,但相似. (D) 既不合同,也不相似. 答案：答案： (B)(B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第 4 次射击(01)pp恰好第 2 次命中目标的概率为( )(A) . (B) . (C) . (D) . 23 (1)pp26 (1)pp223(1)pp226(1)pp答案：答案： (C)(C).(10)设随机变量服从二维正态分布,且与不相关,分别表示的概率(, )X YXY( ),( )XYfxfy,X Y密度,则在条件下,的条件概率密度为( )YyX()X Yfx y(A) . (B) . (C) . (D) . ( )Xfx( )Yfy( )( )XYfx fy( ) ( )XYfx fy答案：答案： (A)(A). 二、填空题：二、填空题：1111～～1616 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上. .(11) .12311xe dxx3答案：答案： .2e(12)设为二元可微函数,则 .( , )f u v(,),yxzf xyz x答案：答案：z x1 12(,)(,)lnyxyyxxf xyyxfxyyy.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 .2432xyyyey 答案：答案：非齐次线性微分方程的通解为.32 122xxxyC eC ee(14)设曲面,则 .:1xyz()xy dS A答案：答案：.14()4 3333xy dSydSAA(15)设距阵则的秩为 .0 1 0 0 0 0 1 0,0 0 0 1 0 0 0 0A  3A答案：答案： 31.r A(16)在区间中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于的概率为 .(0,1)1 2答案：答案： 3.4 三、解答题：三、解答题：1717～～2424 小题小题, ,共共 8686 分分. .请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上. .解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .(17) ( (本题满分本题满分 1111 分分) )求函数在区域上的最大值和最小值.2222( , )2,f x yxyx y22( , )4,0Dx y xyy答案：答案：函数在上的最大值为,最小值为.D(0,2)8f(0,0)0f(18) ( (本题满分本题满分 1010 分分) )计算曲面积分 其中为曲面的上侧.23,Ixzdydzzydzdxxydxdy2 21(01)4yzxz 答案：答案： .I4(19) ( (本题满分本题满分 1111 分分) )设函数,在上连续,在内二阶可导且存在相等的最大值,又＝( )f x( )g x, a b( , )a b( )f a,＝,证明：存在使得( )g a( )f b( )g b( , ),a b''( )''( ).fg证明：证明：设,由题设存在相等的最大值,设, ( )( )( )xf xg x( ), ( )f x g x1( , )xa b使.2( , )xa b12[ . ][ . ]()max( )()max ( ) a ba bf xf xg xg x若,即与在同一点取得最大值,此时,取,有；12xx( )f x( )g x1x( )( )fg若,不妨设,则,,且12xx12xx111()()()0xf xg x222()()()0xf xg x在上连续,则由零点定理得存在使得,即；( )x, a b( , ),a b( )0 ( )( )fg由题设＝,＝,则,结合,且在( )f a( )g a( )f b( )g b( )0( )ab( )0 ( )x上连续,在内二阶可导,应用两次使用罗尔定理知：, a b( , )a b存在使得.12( , ),( , ),ab 12( )()0  ＝0,在再由罗尔定理,存在使.即.12[ ,] 12( ,) ，( )0 ( )( )fg(20) ( (本题满分本题满分 1010 分分) )设幂级数在内收敛,其和函数满足.0n n na x(,) ( )y x240,yxyy(0)0,y(0)1y(I) 证明.22,1,2,1nnaa nn(II) 求的表达式.( )y x答案：答案： (I) 证明证明：对,求一阶和二阶导数,得0n n nya x1212,(1),nn nn nnyna xyn na x 代入,得.240yxyy21210(1)240nnn nnn nnnn na xxna xa x 5即 .2 010(1)(2)240nnn nnn nnnnnaxna xa x 于是从而202240(1)20,nnaanaa 1,2,,n 22,1,2,.1nnaa nn(II).2xyxe(21) ( (本题满分本题满分 1111 分分) )设线性方程组 与 方程 有公共解,求得1231232 12302040xxxxxaxxxa x  (1)12321xxxa(2)a值及所有公共解.答案：答案：当时,,所以方程组的通解为,为任意常数,此即1a ()A b 11100100 0000 0000    (1,0, 1)Tkk为方程组(1)与(2)的公共解.当时,,此时方程组有唯一解,此即为方程组(1)与2a ()A b 1110 0110 0011 0000    (0,1, 1)T(2)的公共解.(22) ( (本题满分本题满分 1111 分分) )设阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个3A12311,2,2,(1, 1,1)T A1特征向量.记,其中为 3 阶单位矩阵.534BAAEE(I) 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值与特征向量；1BB(II) 求矩阵.B 答案：答案：(I)由,可得 ,是正整数,则11A11 1111()kkkAAAAk,53 11(4)BAAE53 1114AAE111142 于是是矩阵的属于特征值特征向量.1B12 所以的所有的特征向量为：对应于B6的全体特征向量为,其中是非零任意常数,对应于的全体特征向量为12 11k1k231,其中是不同时为零的任意常数.2233kk23,k k(II) .1200 010 001BPP  0111011 10  (23)( (本题满分本题满分 1111 分分) )设二维随机变量的概率密度为 (, )X Y2,01,01, ( , )0,xyxy f x y 其他,(I) 求；2P XY(II)求的概率密度.ZXY( )Zfz答案：答案： (I).112 002(2)xP XYdxxy dy1205()8xxdx7 24(II) 222,01,( )44,12,0,Zzzzfz。