利用基本不等式求最值的技巧.doc

运用基本不等式求最值的技巧 　 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提:“一正”、“二定”、“三相等”.所谓“一正”是指“正数”,“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件. 　 　 在运用基本不等式与或其变式解题时，要注意如下技巧1:配系数【例1】已知，求的最大值．2:添加项【例2】已知,求的最小值.3:分拆项【例3】已知,求的最小值．4：巧用”１”代换【例4】已知正数满足,求的最小值．一般地有,,其中都是正数.这里巧妙地运用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.【例5】已知正数满足,求的最小值．5:换元【例6】已知,求的最小值．【例7】已知,求的最大值.6:运用对称性【例８】已知正数满足,求的最大值.【分析】由于条件式与结论式都是有关正数轮换对称的,故最大值必然是当时取到,这时,从而得到下面证明思路与方向【解】运用基本不等式得,，,以上三式同向相加得,因此化简得,因此当且仅当时取到最大值.一般地,如果条件式与结论式都是有关各个元素轮换对称的,则最值必然是在各个元素相等时取到.运用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.7:直接运用化为其他【例９】已知正数满足，求的取值范畴．含参不等式的解法举例当在一种不等式中具有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可以从如下两个方面来影响不等式的求解，一方面是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响,另一方面是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过度类讨论才可解决上述两个问题，同步还要注意是参数的选用拟定了不等式的解,而不是不等式的解来辨别参数的讨论解参数不等式始终是高考所考察的重点内容,也是同窗们在学习中常常遇到但又难以顺利解决的问题下面举例阐明,以供同窗们学习一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解有关的x不等式分析：当m＋1=０时,它是一种有关x的一元一次不等式;当m＋11时，还需对m＋１＞０及ｍ＋1＜０来分类讨论，并结合鉴别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当ｍ<－1时，⊿=4（３-m）>0,图象开口向下,与x轴有两个不同交点,不等式的解集取两边⑵当－1<ｍ＜3时,⊿=4(3-ｍ)>0, 图象开口向上,与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间⑶当m＝3时,⊿＝４（3-m)＝0,图象开口向上，与x轴只有一种公共点,不等式的解为方程的根⑷当m>3时,⊿＝4（3－m）<0,图象开口向上所有在x轴的上方，不等式的解集为解：当m=3时,原不等式的解集为；当m>3时, 原不等式的解集为小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对鉴别式分类讨论⑵运用函数图象必须明确：①图象开口方向,②鉴别式拟定解的存在范畴，③两根大小。

⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响牛刀小试：解有关x的不等式思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集具体解答请同窗们自己完毕二、含参数的分式不等式的解法：例２：解有关ｘ的不等式分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的ａ进行分类讨论求解,还需用到序轴标根法解:原不等式等价于当=0时，原不等式等价于解得,此时原不等式得解集为{x|};当>0时, 原不等式等价于，则：当原不等式的解集为;当0＜原不等式的解集为;当原不等式的解集为;当<0时,　原不等式等价于，则当时,　原不等式的解集为；当时,　原不等式的解集为;当时, 原不等式的解集为;小结：⑴本题在分类讨论中容易忽视=0的状况以及对,－１和２的大小进行比较再结合系轴标根法写出多种状况下的解集⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范畴,二要用同一原则对参数进行划分,做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的体现式是拟定的⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段,把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决牛刀小试：解有关x的不等式思路点拨:将此不等式转化为整式不等式后需对参数分两级讨论：先按>１和＜1分为两类，再在<1的状况下，又要按两根与2的大小关系分为三种状况。

有诸多同窗找不到分类的根据,缺少分类讨论的意识,通过练习也许会有所启示具体解答请同窗们自己完毕三、含参数的绝对值不等式的解法：例３:解有关ｘ的不等式分析:解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形,一方面将原不等式化为不含绝对值符号的不等式,然后就、两个参数间的大小关系分类讨论求解解：当时,此时原不等式的解集为；当时,由，此时原不等式的解集为；当时,此时此时原不等式的解集为；综上所述，当时，原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为小结：去掉绝对值符号的措施有①定义法:②平措施:③运用同解变形:;牛刀小试:（辽宁省高考题)解有关ｘ的不等式思路点拨：⑴将原不等式化为然后对进行分类讨论求解⑵要注意空集；⑶抓住绝对值的意义，在解题过程中谨防发生非等价变形导致的错误具体解答请同窗们自己完毕。