《数学史》古希腊数学(3)解读课件.ppt

梅内赫莫斯梅内赫莫斯（Menaechmus）约公元前约公元前380-前前320，古希腊时代，古希腊时代,属于属于柏拉图学柏拉图学派为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线圆锥曲线的第一个人圆锥曲线的第一个人他是古希腊数学家，为欧多克斯（他是古希腊数学家，为欧多克斯（Eudoxus）的学生，）的学生，又是柏拉图学园中的成员他是系统地研究圆锥曲线又是柏拉图学园中的成员他是系统地研究圆锥曲线的第一个人，建立最早圆锥取线的概念，并分为三类的第一个人，建立最早圆锥取线的概念，并分为三类来研究它，所以后来的学者称为来研究它，所以后来的学者称为梅内赫莫斯梅内赫莫斯（Menaechmus）三曲线 梅内赫莫斯梅内赫莫斯从从倍立方问题倍立方问题的研究中受到启发他的研究中受到启发他取三种圆锥（即取三种圆锥（即圆锥顶角为圆锥顶角为直角、锐角和钝角的直角、锐角和钝角的圆锥），用圆锥），用垂直于锥面一母线的平面垂直于锥面一母线的平面截每种锥面，截每种锥面，分别得到了分别得到了拋物线拋物线、椭圆和双曲线的一支椭圆和双曲线的一支见课本第（见课本第43面）面） 梅内赫莫斯梅内赫莫斯曾当过当时曾当过当时亚历山大大帝亚历山大大帝的老的老师，师，亚历山大亚历山大问问梅内赫莫斯梅内赫莫斯，是否可以专门为他，是否可以专门为他把几何搞得简单一些。

把几何搞得简单一些 梅内赫莫斯梅内赫莫斯则回答说：则回答说：在大王的国家里有在大王的国家里有老百姓走的小路，也有国王您走的大道，然而在老百姓走的小路，也有国王您走的大道，然而在几何里却只有一条道路几何里却只有一条道路这个广为流传的故事这个广为流传的故事出自古希腊晚期作家出自古希腊晚期作家斯托比亚斯斯托比亚斯的著作之中的著作之中 故事故事2.2.3 2.2.3 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯（ApolloniusApollonius，公元前，公元前262262前前190190）生于小亚细亚的）生于小亚细亚的珀尔加珀尔加，就学于亚历山大，就学于亚历山大城后在PergamumPergamum创建大学及图书馆后返回亚历山大城执教他所写数学创建大学及图书馆后返回亚历山大城执教他所写数学专著极为丰富，至今有专著极为丰富，至今有圆锥曲线圆锥曲线、相切相切、轨迹轨迹、斜线斜线等七等七部书传世部书传世人们将欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯为人们将欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯为亚历山大数学三大师亚历山大数学三大师, ,时间约时间约当公元前当公元前300300年到前年到前200200年，这是希腊数学的全盛时期或年，这是希腊数学的全盛时期或“黄金时代黄金时代” 阿波罗尼奥斯（约公元前阿波罗尼奥斯（约公元前262262前前190190） 阿波罗尼奥斯的贡献涉及阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学几何学和和天文学天文学，但他最，但他最重要的数学成就是在前人的基础上创立了相当完美的圆锥重要的数学成就是在前人的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。

曲线理论圆锥曲线论圆锥曲线论就是这方面的系统总结这部就是这方面的系统总结这部以欧几里得严谨风格以欧几里得严谨风格(至今仍用来教至今仍用来教不会的初学者不会的初学者的风格的风格)写成的巨著，对圆锥曲线研究所达到的高度，直到写成的巨著，对圆锥曲线研究所达到的高度，直到17世世纪笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越纪笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越 圆锥概念圆锥概念: : 从与圆不在同一平面上的一点作与圆相交的直从与圆不在同一平面上的一点作与圆相交的直线，如果该点固定，把所作直线沿圆周旋转，线，如果该点固定，把所作直线沿圆周旋转，那么生成的曲面是一圆锥面，固定点是顶点，顶，那么生成的曲面是一圆锥面，固定点是顶点，顶点到圆心的直线是轴，圆称作圆锥的底点到圆心的直线是轴，圆称作圆锥的底圆锥曲线圆锥曲线ABC圆锥曲线论圆锥曲线论圆锥曲线论是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步直到水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步直到17世纪的世纪的B.帕斯卡和帕斯卡和R.笛卡儿才有新的突破笛卡儿才有新的突破 。

此书集前人之大成，且提出很多新的性质他推广了此书集前人之大成，且提出很多新的性质他推广了梅内赫莫斯梅内赫莫斯（公（公元前元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称双曲线、正焦弦等名称书中已有坐标制思想他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂书中已有坐标制思想他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发他在解释线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发他在解释太太阳系阳系内内5大行星的运动时，大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地地心说心说提供了工具提供了工具 在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶锥导出圆锥曲线阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶锥得到所有的圆锥曲线（只要用一个平面曲截对顶锥即得到所有的圆锥曲线（只要用一个平面曲截对顶锥即可，圆锥曲线有五种可能的类型可，圆锥曲线有五种可能的类型椭圆、双曲线、抛椭圆、双曲线、抛物线、圆和直线），并给它们以正式的命名物线、圆和直线），并给它们以正式的命名，现在通，现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。

用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的 亚历山大里亚时期的希腊数学圆锥曲线圆锥曲线分8卷，共487个命题现存前7卷，共382个命题第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质从一个对顶（直圆或斜圆）锥得到3种圆锥曲线双曲线有两个分支，也是他首先发现的亚历山大里亚时期的希腊数学构造圆锥曲线的方法第一步定义轴三角形ABC第二步利用截面定义圆锥曲线亚历山大里亚时期的希腊数学第二卷 讨论双曲线渐近线的作法和性质，共轭双曲线的性质；圆锥曲线的直径和轴的求法；有心圆锥曲线的中心的概念；怎样作满足某种条件的圆锥曲线的切线亚历山大里亚时期的希腊数学第三卷 讨论了切线与直径所围成的图形的面积；论述了极点和极线的调和性质，讨论了椭圆和双曲线的焦点的性质第四卷 讲极点和极线的其它性质，并讨论了圆锥曲线相交的各种情况，证明了两条圆锥曲线至多相交于4点亚历山大里亚时期的希腊数学第五卷 讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线段第六卷 讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的性质及作图第七卷 讨论有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质 圆圆锥锥曲曲线线论论中中包包含含了了许许多多即即使使是是按按今今天天的的眼眼光光看看也也是是很很深深奥奥的的结结果果，尤尤其其突突出出的的是是第第5卷卷关关于于从从定定点点到到圆圆锥锥曲曲线线的的最最长长和和最最短短线线段段的的探探讨讨，其其中中实实质质上上提提出出了了圆圆锥锥曲曲线线的的法法线线包包络络即即渐渐屈屈线线的的概概念念，它们是近代微分几何的课题。

它们是近代微分几何的课题 第第3、4卷卷中中关关于于圆圆锥锥曲曲线线的的极极点点与与极极限限的的调调和和性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想 总评总评圆锥曲线论圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高成可以说是希腊演绎几何的最高成就阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解就阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年间的几何学裹足不前几何学中的新时代，要到间的几何学裹足不前几何学中的新时代，要到17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后，世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后，才得以来临才得以来临2.3 2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落亚历山大后期和希腊数学的衰落 通常从公元前通常从公元前30-公元公元6世纪的这一段时期，称为世纪的这一段时期，称为希腊数学的希腊数学的“亚历山大后期亚历山大后期” 亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉这一时期开始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪-公元1世纪间），代表作量度，主要讨论各种几何图形的面积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公式 （ 为三角形面积， 为边长， ），其实这一公式最先为阿基米德所发现。

(1) 几何几何: 海伦海伦量度量度(2) 三角学三角学: 托勒玫托勒玫大成大成(3) 算术与代数算术与代数: 丢番图丢番图算术算术(4) 帕普斯帕普斯数学汇编数学汇编:希腊数学的安魂曲希腊数学的安魂曲 希帕蒂娅之死希帕蒂娅之死(417A.D.):希腊数学的终结希腊数学的终结 亚历山大图书馆被焚亚历山大图书馆被焚 47 B.C. 凯撒凯撒; 392 A.D. 基督教徒基督教徒; 640 A.D. 回教徒回教徒 这一时期的这一时期的主要成就主要成就海伦海伦 海伦，海伦，古希腊数学古希腊数学家、力学家、机械学家生平不详家、力学家、机械学家生平不详约公元约公元62年活跃于年活跃于亚历山大亚历山大，在那里教过数学、物理学，在那里教过数学、物理学等课程他多才多艺，善于博采众长在论证中大胆使用等课程他多才多艺，善于博采众长在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传主要著作是主要著作是量度论量度论一书该书共一书该书共3卷，分别论述平面卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。

图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题其中卷其中卷第第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的题给出著名的已知三边长求三角形面积的海海伦公式伦公式亚历山大后期和希腊数学的衰落他的成就还有：正他的成就还有：正3到正到正12边形面积计算法；长边形面积计算法；长方台方台体积公式体积公式；求立方根的近似公式等他在另；求立方根的近似公式等他在另一著作一著作测量仪器测量仪器中描述了一种类似现代经纬中描述了一种类似现代经纬仪的仪器，并介绍如何使用它去解决各种测量问仪的仪器，并介绍如何使用它去解决各种测量问题他发明的各种精巧器械，比理论上的成就更为人他发明的各种精巧器械，比理论上的成就更为人们所推崇，主要有气转球（被称为世界上第一个们所推崇，主要有气转球（被称为世界上第一个蒸汽机）、自动售货机、灭火器、水风琴、水钟蒸汽机）、自动售货机、灭火器、水风琴、水钟等其它著作还有等其它著作还有气体力学气体力学、武器制造法武器制造法、几何几何、测体积法测体积法等 海伦公式量度共三卷斜三角形面积已知三角形的三条边求其面积的海伦公式海伦公式.亚历山大里亚时期的希腊数学圆内接正多边形面积与边长的关系依次计算正三角形、正五边形、六边形、正十二边形的面积与边长的关系，得出圆内接正多边形面积，从而估测圆周率为3.圆周率海伦借助阿基米德的结论计算密率为即亚历山大里亚时期的希腊数学弓形面积其推导思路是（1）取弧AB，BC中点M，N，得（2）同理，继续分割，得弓形面积海伦下结论：“如果计算的面积，并且增加三分之一，我们将得到极为接近的弓形面积，即”亚历山大里亚时期的希腊数学求整数平方根的近似值设不是完全平方数，则先取作为的第一近似值，然后取，再取等等，通过迭代过程，求得较好近似值。

亚历山大里亚时期的希腊数学用数值方。