2024-2025学年广东省深圳市宝安区高三上学期10月一调数学试题及答案.pdf

宝安区宝安区 2024-2025 学年第一学期调研测试卷学年第一学期调研测试卷高三高三数学数学2024.10注意事项：1答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定 的位置上，并正确粘贴条形码2 作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的 信息点框涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或 草稿纸上，其答案一律无效3 本试卷共4页，19 小题，满分 150 分考试时间120 分钟4 考试结束后，请将答题卡交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.样本数据 1，6，7，8，8，9，10，11，12，13 的第 30 百分位数为（）A.7B.7.5C.8D.8.52.已知集合2|5,|12Ax xBxZx，则AB（）A.1,0,1,2B.1,2C.0,1,2D.1,0,1,2,33.若11ziz，则z（）A.1i B.iC.1iD.i4.已知向量(2,),(,2)ax bx，若()aba，则x（）A.2B.0C.1D.25.已知sin(),tan2tanm，则sin()（）A.mB.mC.3mD.4m6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（）A.9 2B.3 3C.9 6D.3 2#ABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=#7.已知函数为131,1()eln(2),1xxaxxf xxx ，在R上单调递增，则a的取值范围是（）A.3,1B.(,3 C.3,)D.1,)8.函数()cos3sin2f xxx在130,6上的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.已知随机变量X服从正态分布2(0,)XN,当变大时,则（）A.11()22PX变大B.11()22PX变小C.正态分布曲线的最高点上移D.正态分布曲线的最高点下移10.对于正数,a b，00,)x，使00()1xbxae，则（）A.1bae B.1abeC.224abeD.1ab11.已知函数()f x的定义域为R，若(1)()()1f xyf xf y，且(0)2f，则（）A.(1)1f B.()f x无最小值C.401()900if iD.()f x的图象关于点(2,0)中心对称三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知函数2()f xxm与函数()lnf xxx在公共点处的切线相同，则实数m的值为_.13.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且,2,14Bba,M为AB的中点，则线段CM的长为_.14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券 5 张，且有 2 次终极抽奖机会（2 次抽奖结果互不影响；若两次投掷的数字之和是 5 或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券 5 张，且有 1 次终极抽奖机会；其余情况顾客均获#ABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=#得该健身房的免费团操券 3 张，不具有终极抽奖机会 已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示奖品一个健身背包一盒蛋白粉概率则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为_.三、解答题15.（本题 13 分）如图，在直角POA中，POAO，24POAO=，将POA绕边PO旋转到POB的位置，使23AOB=，得到圆锥的一部分，点C为AB上的点，且AC14AB(1)求点O到平面PAB的距离；(2)设直线OC与平面PAB所成的角为，求sin的值16.（本题 15 分）已知椭圆2222:1,(0)xyCabab，离心率32e=，且点(2,1)A-在椭圆上.(1)求该椭圆的方程;(2)直线l交椭圆C于,P Q两点，直线,AP AQ的斜率之和为0，且2PAQ，求PAQ的面积.17.（本题 15 分）函数 2ln,2f xx g xxxm(1)若em，求函数 F xf xg x的最大值；(2)若 22 exf xg xxx在2(0,x上恒成立，求实数 m 的取值范围POBCA#ABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=#18.(本题 17 分）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积 1 分且对方不得分，答错不得分且对方积 1 分；然后换对方抽题作答，直到有领先 2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为45，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积 1 分的概率为25.记甲乙两人的答题总次数为2n n.(1)求p；(2)当2n 时，求甲得分X的分布列及数学期望；(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为 nPA，证明：2388159nPAPAPA.19.(本题 17 分）定义：任取数列na中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为 3，则称数列na具有“性质 3”已知项数为 n 的数列na的所有项的和为nM，且数列na具有“性质 3”(1)若4n=，且140,3aa=，写出所有可能的nM的值；(2)若12024,2023an=，证明：“20234042a=-”是“1(1,2,2022)kkaak+=”的充要条件；(3)若10,2,0nanM=，证明：4nm=或41,(*)nmmN=+.#ABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=#宝安区宝安区 20252025 届高三毕业班第一次调研考试届高三毕业班第一次调研考试数学参考答案数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案BCBACADC二、多项选择题题号91011答案BDBCBCD三、填空题：12、013、43214、95576四、解答题：15、【解答】(1)证明：由题意知：,POOA POOB OAOBO，OA平面AOB，OB 平面AOBPO平面AOB，又24POOA，所2 5,2 3PAPBAB，所以2212 32 53512PABS，设点O到平面PAB的距离为d，由O PABP OABVV得11125142 2 sin3323d ，解得4 1717d；（6 分）(2)以O为原点，,OC OB OP 的方向分别为,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知6AOC，则3,1,0A，则2,0,0,0,2,0,0,0,4CBP，所以3,3,0,3,1,4,2,0,0ABAPOC .设平面PAB的法向量为,na b c，则330340n ABabn APabc ，#ABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=#不妨取平面PAB的一个法向量为13,1,2nr，所以2 51sincos,731172n OCn OCn OC.（13 分）(利用几何解法相对简单，酌情给分)16、【解答】(1)解：由题222232411abaab解得：2 22ab故椭圆22:1,82xyC（5 分）(2)设直线AP的倾斜角为，由2PAQ，2PAQ，得,14APk，1AQk（或0111APAQAPAQAPAQkkkkkk )即:3AP yx，:1AQ yx 联立3yx，及22182xy得1214,25xx(舍），故141(,)55P，联立1yx ，及22182xy得122,25xx(舍），故2 7(,)5 5Q 故12125xx，122825x x ,而1|2|2|APx，2|2|2|AQx，故1212148|2()4|.225PAQSAPAQx xxx（15 分）17、【解答】(1)因为 2lne2F xxxx，可知()F x的定义域为0,，且1(21)(1)()21xxF xxxx ，由()0F x，解得01x；由()0F x，解得1x 可知()F x在(0,1)内单调递增，在(1,)内单调递减，所以函数 F xf xg x的最大值为 1e2F（5 分）#ABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=#(2)因为2()()(2)exf xg xxx在2(0,x恒成立，等价于(2)eln2xmxxx在2(0,x恒成立设()(2)eln2xh xxxx，2(0,x，则11()(1)e11exxh xxxxx，当1x 时，则10 x，且1ee,1xx，可得1ee 10 xx，所以()0h x；当01x时，则10 x，设1()e,01xu xxx，则21()e0 xu xx，可知()u x在(0,1)递增，且1e20,(1)102uue 则01,12x，使得00u x当00,xx时，()0u x；当0,1xx时，()0u x 当00,xx时，()0h x；当0,1xx时，()0h x可知函数()h x在00,x递增，在0,1x递减，在(1,2)递增由0001e0 xu xx，得001exx，且00ln xx 可得0000000000112 eln222232xh xxxxxxxxx，且01,12x，则00h x，又因为(2)ln20h，可知当2(0,x时，max()2ln2h xh，所以m的取值范围是ln2,)（15 分）18、【解答】(1)记iA“第 i 次答题时为甲”，B“甲积 1 分”，则112P A，4|5iP B A，41|155iP B A，|1iP B Ap，|iP B Ap，21 411141152 55255pppp，则23155p，解得13p；（5 分）(2)由题意可知当 n=2 时，X 可能的取值为 0，1，2，则由（1）可知215P X，1 1111102 533515P X，1 422422 5335815P X，X 的分布列为：X012#ABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=#P11525815随机变量 X 的数学期望为128220121551515E X .（10 分）(3)由答题总次数为 n 时甲晋级，不妨设此时甲的积分为甲x，乙的积分为乙x，则2xx甲乙，且xxn甲乙，所以甲晋级时 n 必为偶数，令2,*nm mN当 n 为奇数时，0nPA，则 2324nnPAP APAPAPAPA012128282828515515515515m012121 158222288212155555159515mmm又1m 时，23nPAP APA随着 m 的增大而增大，2388159nPAPAPA（17 分）19、【解答】(1)解：依题意，若:na0，3，0，3，此时6nM=若:na0，-3，0，3，此时0nM=若:na0，3，6，3，此时12nM=（3 分）(2)证明：必要性：因为1(1,2,2022)kkaak+=，故数列(1,2,3,2023)nan=为等差数列，所以13,(1,2,2022)kkaak+-=-=，公差为-3，所以20232024(20231)(3)4042,(1,2,2022)ak=+-=-=，必要性得证#ABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=#充分性：由于2023202220222021213,3,3,aaaaaa-累加可得，202316066,aa-即2023160664042,aa-=-，因为20234042a=-，故上述不等式的每个。