第二章第三节函数的奇偶性与周期性.ppt

第三节 函数的奇偶性与周期性1.1.奇函数、偶函数的定义与性质奇函数、偶函数的定义与性质奇函数奇函数偶函数偶函数定定义义图像法图像法图像关于图像关于__________对称对称图像关于图像关于________对称对称符号表示符号表示f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x) )f(-xf(-x)=)=f(xf(x) )性性质质定义域定义域关于关于__________对称对称单调性单调性在关于原点对称的两个区间上在关于原点对称的两个区间上有有__________的单调性的单调性有有__________的单调性的单调性图像与原图像与原点的关系点的关系若奇函数若奇函数f(xf(x) )在原点有在原点有意义，则意义，则f(0)=__f(0)=__原点原点y y轴轴原点原点相同相同相反相反0 02.2.周期性周期性(1)(1)周期函数：若周期函数：若T T为函数为函数f(xf(x) )的一个周期，则需满足的条件：的一个周期，则需满足的条件：①①T≠0;T≠0;②____________②____________对定义域内的任意对定义域内的任意x x都成立都成立. .(2)(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(xf(x) )的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个______________________，那么这个，那么这个______________________就叫做它的最小正周期．就叫做它的最小正周期．(3)(3)周期不唯一：若周期不唯一：若T T是函数是函数y=y=f(x)(x∈Rf(x)(x∈R) )的一个周期，则的一个周期，则nT(n∈ZnT(n∈Z, ,且且n≠0)n≠0)也是也是f(xf(x) )的周期的周期. . f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x) )最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打““√√””或或““×”×”））. .（（1 1）偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点）偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点.( .( ) )（（2 2）函数）函数f(xf(x)=0,x∈(0,+∞))=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数.( ).( )（（3 3）若函数）若函数y=y=f(x+af(x+a) )是偶函数，则函数是偶函数，则函数y=y=f(xf(x) )关于直线关于直线x=ax=a对对称称.( ) .( ) （（4 4）若函数）若函数y=y=f(x+bf(x+b) )是奇函数，则函数是奇函数，则函数y=y=f(xf(x) )关于点（关于点（b,0)b,0)中心对称中心对称.( ).( )（（5 5）对于函数）对于函数y=f(x),x∈(0,+∞),y=f(x),x∈(0,+∞),若若2 2是是f(xf(x) )的一个周期，则的一个周期，则-2-2也是也是f(xf(x) )的一个周期的一个周期.( ).( )【【解析解析】】（（1 1）错误）错误. .当奇函数的定义域不含当奇函数的定义域不含0 0时，则图像不过时，则图像不过原点原点. .（（2 2）错误）错误. .函数函数f f（（x)x)的定义域不关于原点对称的定义域不关于原点对称. .（（3 3）正确）正确. .函数函数y=y=f(x+af(x+a) )关于直线关于直线x=0x=0对称，则函数对称，则函数y=y=f(xf(x) )关关于直线于直线x=ax=a对称对称. .（（4 4）正确）正确. .函数函数y=y=f(x+bf(x+b) )关于点（关于点（0 0，，0 0）中心对称，则函数）中心对称，则函数y=y=f(xf(x) )关于点关于点(b,0)(b,0)中心对称中心对称. .(5)(5)错误错误. .若若-2-2是函数是函数f(xf(x) )的周期，则的周期，则f(1)=f(1-2)=f(-1)f(1)=f(1-2)=f(-1)不合不合题意题意. .答案：答案：（（1 1））×× （（2 2））×× （（3 3））√√ （（4 4））√ √ (5)(5)×× 1.1.已知函数已知函数y=y=f(xf(x) )是奇函数，则函数是奇函数，则函数y=f(x+1)y=f(x+1)的图像的对称中的图像的对称中心是心是( )( )（（A A））(1,0) (1,0) （（B B））(-1,0) (-1,0) （（C C））(0,1) (0,1) （（D D））(0,-1)(0,-1)【【解析解析】】选选B.B.函数函数y=y=f(xf(x) )的图像关于点的图像关于点(0,0)(0,0)对称，函数对称，函数y=f(x+1)y=f(x+1)的图像可由的图像可由y=y=f(xf(x) )的图像向左平移的图像向左平移1 1个单位得到，故个单位得到，故函数函数y=f(x+1)y=f(x+1)的图像的对称中心为（的图像的对称中心为（-1-1，，0 0））. . 2.2.函数函数 的图像关于的图像关于( )( )( (A)yA)y轴对称轴对称 (B)(B)直线直线y=-xy=-x对称对称(C)(C)坐标原点对称坐标原点对称 (D)(D)直线直线y=xy=x对称对称【【解析解析】】选选C.C.函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)，，且且∴∴函数函数f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .3.3.已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x),),满足满足f(x+4)=f(x+4)=f(xf(x),),则则f(8)f(8)的值的值为为( )( )（（A A））-1 -1 （（B B））0 0 （（C C））1 1 （（D D））2 2【【解析解析】】选选B.∵f(x+4)=B.∵f(x+4)=f(xf(x),),∴∴f(xf(x) )是以是以4 4为周期的周期函数，为周期的周期函数，∴∴f(8)=f(0).f(8)=f(0).又函数又函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，∴∴f(8)=f(0)=0,f(8)=f(0)=0,故选故选B.B. 4.4.已知函数已知函数y=y=f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的偶函数，且在上的偶函数，且在(-∞,0)(-∞,0)上是减上是减少的，若少的，若f(a)≥f(2),f(a)≥f(2),则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( )( )（（A A））a≤2 a≤2 （（B B））a≤-2a≤-2或或a≥2a≥2（（C C））a≥-2 a≥-2 （（D D））-2≤a≤2-2≤a≤2【【解析解析】】选选B.B.由题意知函数由题意知函数y=y=f(xf(x) )在在(0,+(0,+∞∞) )上是增加的，且上是增加的，且f f(-2)=f(2),(-2)=f(2),故由故由f(a)f(a)≥≥f(2),f(2),得得f(|a|)f(|a|)≥≥f(2),f(2),∴∴|a||a|≥≥2 2，解得，解得a a≥≥2 2或或a a≤≤-2.-2. 考向考向 1 1 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【【典例典例1 1】】判断下列各函数的奇偶性判断下列各函数的奇偶性. .【【思路点拨思路点拨】】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-xf(-x) )与与f(xf(x) )的关系，分段函数应分情况判断的关系，分段函数应分情况判断. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)由由 ≥0,≥0,得得-1-1＜＜x≤1,x≤1,因此函数的定义域为因此函数的定义域为(-1(-1，，1 1］，不关于原点对称，故］，不关于原点对称，故f(x)f(x)为非为非奇非偶函数奇非偶函数. .（（2 2）由）由 得得-1-1＜＜x x＜＜0 0或或0 0＜＜x x＜＜1.1.∴∴函数函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为(-1,0)∪(0,1).(-1,0)∪(0,1).此时此时x-2x-2＜＜0,|x-2|-2=-x,∴0,|x-2|-2=-x,∴又又∵∵∴∴函数函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .(3)(3)显然函数显然函数f(xf(x) )的定义域为：的定义域为：(-∞(-∞，，0)∪(0,+∞)0)∪(0,+∞)，关于原点对称，，关于原点对称，∵∵当当x<0x<0时，时，-x>0-x>0，则，则f(-xf(-x)=-(-x))=-(-x)2 2-x-x=-x=-x2 2-x=--x=-f(xf(x) )；当；当x>0x>0时时,-x<0,-x<0，，则则f(-xf(-x)=(-x))=(-x)2 2-x=x-x=x2 2-x=--x=-f(xf(x).).综上可知：对于定义域内的任意综上可知：对于定义域内的任意x x，总有，总有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x) )成立，成立，∴∴函数函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .【【拓展提升拓展提升】】判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法(1)(1)符号定义法：符号定义法：（（2 2）图像法：）图像法：(3)(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性偶性【【提醒提醒】】“性质法性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的成立的. 奇函数与奇函数与奇函数奇函数奇函数与偶奇函数与偶函数函数偶函数与偶函数与偶函数偶函数和和奇函数奇函数偶函数偶函数差差奇函数奇函数偶函数偶函数积积偶函数偶函数奇函数奇函数偶函数偶函数商商偶函数偶函数奇函数奇函数偶函数偶函数 【【变式训练变式训练】】（（1 1）若函数）若函数f(xf(x)=3)=3x x+3+3-x-x与与 g(xg(x)=3)=3x x-3-3-x-x的定义域的定义域均为均为R R，则，则( )( )（（A A））f(xf(x) )与与g(xg(x) )均为偶函数均为偶函数（（B B））f(xf(x) )为偶函数为偶函数, ,g(xg(x) )为奇函数为奇函数（（C C））f(xf(x) )与与g(xg(x) )均为奇函数均为奇函数（（D D））f(xf(x) )为奇函数为奇函数, ,g(xg(x) )为偶函数为偶函数【【解析解析】】选选B.∵f(-xB.∵f(-x)=3)=3-x-x+3+3x x= =f(xf(x) )，，g(-xg(-x)=3)=3-x-x-3-3x x=-=-g(xg(x) )，，∴∴f(xf(x) )为偶函数为偶函数, ,g(xg(x) )为奇函数，故选为奇函数，故选B.B.（（2 2）判断下列函数的奇偶性：）判断下列函数的奇偶性：【【解析解析】】①①由由 得得-2≤x≤2-2≤x≤2且且x≠0,x≠0,∴∴函数函数f(xf(x) )的定义域关于原点对称，且的定义域关于原点对称，且x+3x+3＞＞0,0,∴∴又又∵∵∴∴函数函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .②②f(xf(x) )的定义域为的定义域为R R，关于原点对称，当，关于原点对称，当x x＞＞0 0时，时，-x-x＜＜0,0,f(-xf(-x)=-(-x))=-(-x)2 2-2=-(x-2=-(x2 2+2)=-+2)=-f(xf(x););当当x x＜＜0 0时，时，-x-x＞＞0,f(-x)=(-x)0,f(-x)=(-x)2 2+2=-(-x+2=-(-x2 2-2)=--2)=-f(xf(x););当当x=0x=0时，时，f(0)=0,f(0)=0,也满足也满足f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x).).故该函数为奇函数故该函数为奇函数. .考向考向 2 2 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用【【典例典例2 2】】(1)(1)已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x) )和偶函数和偶函数g(xg(x) )满足满足f(x)+g(xf(x)+g(x)=a)=ax x-a-a-x-x+2(a+2(a＞＞0,0,且且a≠1).a≠1).若若g(2)=a,g(2)=a,则则f(2)=( )f(2)=( )(A)2 (B) (C) (D)a(A)2 (B) (C) (D)a2 2(2)(2013(2)(2013··苏州模拟）苏州模拟）““a=1a=1””是是““函数函数 在其定义在其定义域上为奇函数域上为奇函数””的的______________条件（填条件（填““充分不必要充分不必要”“”“必要不必要不充分充分”“”“充要充要””或或““既不充分也不必要既不充分也不必要””））. .【【思路点拨思路点拨】】(1)(1)利用利用f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)构造方程组求构造方程组求解解. . (2)(2)分清条件分清条件p p与结论与结论q q，分别验证，分别验证p p⇒⇒q q与与q q⇒⇒p p是否成立是否成立. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)选选B.∵f(xB.∵f(x) )为奇函数，为奇函数，g(xg(x) )为偶函数为偶函数, ,∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a.∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a.∵f(2)+g(2)=a∵f(2)+g(2)=a2 2-a-a-2-2+2+2，， ① ①∴∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=af(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-2-a-a2 2+2+2，， ② ②由由①②①②联立得，联立得，g(2)=a=2,f(2)=ag(2)=a=2,f(2)=a2 2-a-a-2-2= =(2)(2)当当a=1a=1时，时， 此时定义域为此时定义域为R R，，且且∴∴f(xf(x) )是其定义域上的奇函数是其定义域上的奇函数. .当当 是其定义域上的奇函数时，是其定义域上的奇函数时，f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x),),且且a≠0.a≠0.即即经检验经检验a=a=±±1 1时，时，f(xf(x) )的定义域关于原点对称，故的定义域关于原点对称，故f(xf(x) )是奇函是奇函数时，数时，a=a=±±1.1.从而从而““a=1a=1””是是““函数函数 在其定义域上为奇函数在其定义域上为奇函数””的的充分不必要条件充分不必要条件. .答案：答案：充分不必要充分不必要【【互动探究互动探究】】将将(2)(2)题改为题改为““若若 在其定义在其定义域上为偶函数，求域上为偶函数，求a,ba,b的值的值””. .【【解析解析】】∵∵f(xf(x) )为偶函数，为偶函数，∴ ∴ 即即所以所以a=1,b=-1.a=1,b=-1.【【拓展提升拓展提升】】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（（1 1）求函数值）求函数值. .将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. .（（2 2）求解析式）求解析式. .将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于或充分利用奇偶性构造关于f(xf(x) )的方程（组），从而得到的方程（组），从而得到f(xf(x) )的解析式的解析式. . （（3 3）求函数解析式中参数的值）求函数解析式中参数的值. .利用待定系数法求解，根据利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)±±f(-xf(-x)=0)=0得到关于待求参数得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值出参数的值. .（（4 4）画函数图像和判断单调性）画函数图像和判断单调性. .利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性单调性. .【【变式备选变式备选】】（（1 1）设）设f f（（x x）是定义在）是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x≤0x≤0时，时，f f（（x x））=2x=2x2 2-x-x，则，则f f（（1 1））=( )=( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3【【解析解析】】选选A.A.由奇函数的定义有由奇函数的定义有f f（（-x-x））=-f=-f（（x x），所以），所以f f（（1 1））=-f=-f（（-1-1））=-=-［［2 2××（（-1-1））2 2+1+1］］=-3.=-3.（（2 2）已知函数）已知函数 为奇函数，则为奇函数，则a+ba+b=______.=______.【【解析解析】】设设x x＞＞0,0,则则-x-x＜＜0,0,∴∴f(-xf(-x)=(-x))=(-x)2 2-x=x-x=x2 2-x.-x.又又f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x),),∴x∴x＞＞0 0时，时，f(xf(x)=-)=-f(-xf(-x)=-x)=-x2 2+x=ax+x=ax2 2+bx,+bx,∴a=-1,b=1,∴a+b=0.∴a=-1,b=1,∴a+b=0.答案：答案：0 0考向考向 3 3 函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用【【典例典例3 3】】(1)(2012(1)(2012··江苏高考）设江苏高考）设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上且周期为上且周期为2 2的函数，在区间［的函数，在区间［-1-1，，1 1］上，］上，其中其中a,b∈Ra,b∈R, ,若若 则则a+3ba+3b的值为的值为______.______.(2)(2)（（20132013··宝鸡模拟）定义在宝鸡模拟）定义在R R上的偶函数上的偶函数f(xf(x) )满足满足f(2+x)+f(2-x)=0(xf(2+x)+f(2-x)=0(x∈∈R)R)，且当，且当x x∈∈［［0,20,2］时，］时，则则f(2 013)=_______.f(2 013)=_______. 【【思路点拨思路点拨】】(1)(1)利用周期性可知利用周期性可知f(-1)=f(1), f(-1)=f(1), 列式求解列式求解. .(2)(2)先根据先根据f(2+x)+f(2-x)=0f(2+x)+f(2-x)=0及偶函数的定义求周期及偶函数的定义求周期, ,再根据周再根据周期性求期性求f(2 013).f(2 013).【【规范解答规范解答】】(1)(1)因为因为f(xf(x) )的周期为的周期为2,2,所以所以即即又因为又因为所以所以∴∴3a+2b=-2, ①3a+2b=-2, ①又因为又因为f(-1)=f(1),f(-1)=f(1),所以所以 即即b=-2a, ②b=-2a, ②将将②②代入代入①①，得，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3a=2,b=-4,∴a+3b=2+3××(-4)=-10.(-4)=-10.答案：答案：-10-10(2)∵(2)∵函数函数f(xf(x) )是偶函数，是偶函数，∴∴f(2+x)=-f(2-x)=-f(x-2)f(2+x)=-f(2-x)=-f(x-2)，，∴∴f(x+4)=-f(x+4)=-f(xf(x) )，，∴∴f(x+8)=f(x+8)=f(xf(x),),即函数即函数f(xf(x) )的一个周期为的一个周期为8 8，，∴∴答案：答案：【【拓展提升拓展提升】】函数周期性的三个常用结论函数周期性的三个常用结论若对于函数若对于函数f(xf(x) )定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x都有：都有：（（1 1））f(x+af(x+a)=-f(x)(a≠0))=-f(x)(a≠0)，则函数，则函数f(xf(x) )必为周期函数必为周期函数,2|a|,2|a|是是它的一个周期它的一个周期. .（（2 2）） 则函数则函数f(xf(x) )必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是是它的一个周期它的一个周期. .（（3 3）） 则函数则函数f(xf(x) )必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的是它的一个周期一个周期. .【【提醒提醒】】应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内. .【【变式训练变式训练】】设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任意实数上的奇函数，且对任意实数x x，，恒有恒有f(x+2)=-f(x+2)=-f(xf(x).).当当x∈x∈［［0,20,2］时，］时，f(xf(x)=2x-x)=2x-x2 2. .(1)(1)求证：求证：f(xf(x) )是周期函数是周期函数. .(2)(2)当当x∈x∈［［2,42,4］时，求］时，求f(xf(x) )的解析式的解析式. .(3)(3)计算计算f(0)+f(1)+f(2)+f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2 013).+f(2 013).【【解析解析】】（（1 1））∵∵f(x+2)=-f(x+2)=-f(xf(x),),∴f(x+4)=-f(x+2)=∴f(x+4)=-f(x+2)=f(xf(x) )，，∴∴f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数. .(2)(2)当当x∈x∈［［-2,0-2,0］时，］时，-x∈-x∈［［0,20,2］，由已知得］，由已知得f(-xf(-x)=2(-x)-(-x))=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2. .又又f(xf(x) )是奇函数，是奇函数，∴∴f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x)=-2x-x)=-2x-x2 2, ,∴∴f(xf(x)=x)=x2 2+2x.+2x.又当又当x∈x∈［［2,42,4］时，］时，x-4∈x-4∈［［-2,0-2,0］］, ,∴f(x-4)=(x-4)∴f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4).又又f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的周期函数，的周期函数，∴∴f(xf(x)=f(x-4)=(x-4))=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8.从而求得从而求得x∈x∈［［2,42,4］时，］时，f(xf(x)=x)=x2 2-6x+8.-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又又f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, ,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)= =……=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0，，∴∴f(0)+f(1)+f(2)+f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.【【创新体验创新体验】】分段函数的性质判断分段函数的性质判断【【典例典例】】（（20122012··福建高考）设函数福建高考）设函数 则下列结论错误的是则下列结论错误的是( )( )（（A A））D D（（x)x)的值域为的值域为{0,1}{0,1}（（B B））D(xD(x) )是偶函数是偶函数（（C C））D D（（x)x)不是周期函数不是周期函数（（D D））D D（（x)x)不是单调函数不是单调函数【【思路点拨思路点拨】】 找找准准创创新新点点定义域创新：定义域创新：寻寻找找突突破破口口（（1 1）判断奇偶性时，应注意）判断奇偶性时，应注意-x-x与与x x要么都是有理数，要么都是有理数，要么都是无理数要么都是无理数. .（（2 2）判断周期性时，利用有理数加有理数仍是有理）判断周期性时，利用有理数加有理数仍是有理数，有理数加无理数仍是无理数判断数，有理数加无理数仍是无理数判断. .（（3 3）判断单调性时，根据实数的连续性判断）判断单调性时，根据实数的连续性判断. . 【【规范解答规范解答】】选选C.C.由已知条件可知，由已知条件可知，D(xD(x) )的值域是的值域是{0,1}{0,1}，选，选项项A A正确；当正确；当x x是有理数时，是有理数时，-x-x也是有理数，且也是有理数，且D(-D(-x)=1,D(x)=1,x)=1,D(x)=1,故故D(-x)=D(-x)=D(xD(x) )，当，当x x是无理数时，是无理数时，-x-x也是无理数，也是无理数，且且D(-x)D(-x)=0,D(x)=0,=0,D(x)=0,即即D(-x)=D(-x)=D(xD(x) )，故，故D(xD(x) )是偶函数，选项是偶函数，选项B B正确；当正确；当x x是有理数时，对于任一非零有理数是有理数时，对于任一非零有理数a,x+aa,x+a是有理数，且是有理数，且D(x+aD(x+a)=1=)=1=D(xD(x),),当当x x是无理数时，对于任一非零有理数是无理数时，对于任一非零有理数b,x+bb,x+b是是无理数，所以无理数，所以D(x+bD(x+b)=)=D(xD(x)=0,)=0,故故D(xD(x) )是周期函数，但不存在最是周期函数，但不存在最小正周期，选项小正周期，选项C C不正确；由实数的连续性易知，不存在区间不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I I，使，使D D（（x)x)在区间在区间I I上是增加的或减少的，故上是增加的或减少的，故D D（（x)x)不是单调函不是单调函数，选项数，选项D D正确正确. .【【思考点评思考点评】】1.1.方法感悟：本题充分考查了利用定义判断函数奇偶性、周期方法感悟：本题充分考查了利用定义判断函数奇偶性、周期性、单调性的方法性、单调性的方法. .本题中自变量的范围分别是有理数和无理本题中自变量的范围分别是有理数和无理数，因此在判断奇偶性时，应考虑数，因此在判断奇偶性时，应考虑-x-x与与x x的范围是否一致；在的范围是否一致；在判断周期性时应考虑判断周期性时应考虑x x与与x+ax+a或或x+bx+b在在a a或或b b取何值时范围一致取何值时范围一致. .2.2.技巧提升：对于函数类创新题，常见的类型有讨论新函数的技巧提升：对于函数类创新题，常见的类型有讨论新函数的性质、利用新函数进行计算、判断新函数的图像等，常见的方性质、利用新函数进行计算、判断新函数的图像等，常见的方法有排除法、特征分析法、特殊值法或定义法法有排除法、特征分析法、特殊值法或定义法. .创新题目虽然构思巧妙，但考查的还是基本知识和基本技能，创新题目虽然构思巧妙，但考查的还是基本知识和基本技能，解题的关键是抓住创新点充分利用定义，把新信息和所学知识解题的关键是抓住创新点充分利用定义，把新信息和所学知识相结合求解相结合求解. .1.1.（（20122012··陕西高考）下列函数中，既是奇函数又是增函数的陕西高考）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为为( )( )（（A A））y=x+1 y=x+1 （（B B））y=-xy=-x3 3（（C C）） （（D D））y=y=x|xx|x| |【【解析解析】】选选D.D.选项选项A A不是奇函数，是增函数；选项不是奇函数，是增函数；选项B B是奇函数，是奇函数，不是增函数；选项不是增函数；选项C C是反比例函数，为奇函数，不是增函数；是反比例函数，为奇函数，不是增函数；选项选项D D，去掉绝对值号，变为分段函数，去掉绝对值号，变为分段函数符合题意符合题意. .2.(20132.(2013··南昌模拟南昌模拟) )函数函数 是奇函数是奇函数, ,且在且在(0,+∞)(0,+∞)上增加的，则上增加的，则a a等于等于( )( )(A)0 (B)-1 (C)1 (D)(A)0 (B)-1 (C)1 (D)±±1 1【【解析解析】】选选C. C. 由题意知由题意知 ∴ ∴a=1.a=1.3.(20133.(2013··合肥模拟）已知定义在合肥模拟）已知定义在R R上的函数上的函数y=y=f(xf(x) )满足下列三满足下列三个条件：个条件：①①对于任意的对于任意的x∈Rx∈R都有都有f(x+4)=f(x+4)=f(xf(x) )；；②②对于任意的对于任意的0≤x0≤x1 1＜＜x x2 2≤2≤2都有都有f(xf(x1 1) )＜＜f f（（x x2 2););③③函数函数y=f(x+2)y=f(x+2)的图像关于的图像关于y y轴对称，轴对称，则下列结论正确的是则下列结论正确的是( )( )（（A A））f(6.5)f(6.5)＞＞f(5)f(5)＞＞f(15.5)f(15.5)（（B B））f(5)f(5)＜＜f(6.5)f(6.5)＜＜f(15.5)f(15.5)（（C C））f(5)f(5)＜＜f(15.5)f(15.5)＜＜f(6.5)f(6.5)（（D D））f(15.5)f(15.5)＞＞f(5)f(5)＞＞f(6.5)f(6.5)【【解析解析】】选选A.A.由题意知，函数由题意知，函数f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的函数，且在区的函数，且在区间［间［0,20,2］上递增，函数］上递增，函数f(xf(x) )的图像关于直线的图像关于直线x=2x=2对称，对称，∴∴f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),f(5)=f(1),f(15.5)=f(3.5)=f(0.5).f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),f(5)=f(1),f(15.5)=f(3.5)=f(0.5).由由f(0.5)f(0.5)＜＜f(1)f(1)＜＜f(1.5)f(1.5)，知，知f(15.5)f(15.5)＜＜f(5)f(5)＜＜f(6.5).f(6.5).4.(20124.(2012··山山东东高高考考) )定定义义在在R R上上的的函函数数f(xf(x) )满满足足f(x+6)=f(x+6)=f(xf(x),),当当 -3≤x-3≤x＜＜ -1-1时时 ，， f(xf(x)=-(x+2))=-(x+2)2 2; ;当当 -1≤x-1≤x＜＜ 3 3时时 ，， f(xf(x)=x,)=x,则则f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2 012)=( )+f(2 012)=( )(A)335 (B)338(A)335 (B)338(C)1 678 (D)2 012(C)1 678 (D)2 012【【解析解析】】选选B.∵f(x+6)=B.∵f(x+6)=f(x),∴Tf(x),∴T=6.=6.∵∵当当-3≤x-3≤x＜＜-1-1时时, ,f(xf(x)=-(x+2))=-(x+2)2 2; ;当当-1≤x-1≤x＜＜3 3时，时，f(xf(x)=x,)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+∴f(1)+f(2)+……+f(6)=1,+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+∴f(1)+f(2)+……+f(6)=f(7)+f(8)++f(6)=f(7)+f(8)+……+f(12)+f(12)= =……=f(2 005)+f(2 006)+=f(2 005)+f(2 006)+……+f(2 010)=1,+f(2 010)=1,∴f(1)+f(2)+∴f(1)+f(2)+……+f(2 010)=+f(2 010)=而而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3,f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3,∴f(1)+f(2)+∴f(1)+f(2)+……+f(2 012)=335+3=338.+f(2 012)=335+3=338.1.1.已知已知f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x≥0x≥0时时f(xf(x)=3)=3x x+m(m+m(m为常为常数），则数），则f(-logf(-log3 35)5)的值为的值为( )( )(A)-4 (B)4 (C)-6 (D)6(A)-4 (B)4 (C)-6 (D)6【【解析解析】】选选A.A.由题意知由题意知f(0)=1+m=0,∴m=-1,f(0)=1+m=0,∴m=-1,∴∴f(xf(x)=3)=3x x-1(x≥0)-1(x≥0)，，2.2.设偶函数设偶函数f(xf(x),),当当x≥0x≥0时，时，f(xf(x)=x)=x3 3-8,-8,则则{x|f(x-2){x|f(x-2)＞＞0}=( 0}=( ) )( (A){x|xA){x|x＜＜-2-2或或x x＞＞4} (B){x|x4} (B){x|x＜＜0 0或或x x＞＞4}4}( (C){x|xC){x|x＜＜0 0或或x x＞＞6} (D){x|x6} (D){x|x＜＜-2-2或或x x＞＞2}2}【【解析解析】】选选B.B.由题意知由题意知f(2)=0=f(-2),f(x-2)f(2)=0=f(-2),f(x-2)＞＞0 0⇔⇔f(|x-2|)f(|x-2|)＞＞f(2)f(2)，由，由f(xf(x) )在在(0(0，，+∞)+∞)上是递增的，上是递增的，∴∴|x-2||x-2|＞＞2,2,∴x-2∴x-2＞＞2 2或或x-2x-2＜＜-2,∴x-2,∴x＞＞4 4或或x x＜＜0.0.。