第5.2节-二次型的标准化.ppt

一,、,正交变换法,二,、,配方法,,第,5.2,节 二次型的标准化,三,、,初等变换法,如果记,将二次型化为标准形，需要借助线性变换来实现,.,设有变量,称为,的一个线性变换,.,主要问题：,,如何寻找可逆的线性变换,x=Cy,,将二次型,f =x,T,Ax,化为标准形,.,,即对于实对称矩阵,A,,,寻找可逆矩阵,C,,,使,C,T,AC,为对角矩阵,.,,,因此，二次型的标准化可以转化为对称矩阵的相关运算,.,则线性变换的矩阵表示为,x=Cy.,,,若,C,是可逆矩阵，称之为,可逆线性变换,；若,C,是正交矩阵，称之为,正交线性变换,.,从矩阵角度考虑为,由于二次型的矩阵,A,都是实对称矩阵，由第,4.4,节的结果知,,,存在正交矩阵,Q,,，使,,,Q,–1,AQ= Q,T,AQ =,Λ,,为对角矩阵,.,将此结论应用于二次型，有如下结论,定义,1,,,设,A,B,为,n,阶方阵,,,若存在可逆矩阵,C,,,使,,,C,T,AC=B,,,,称,A,与,B,合同,,,或,A,合同于,B,，记为,矩阵的合同关系具有,反身性，对称性，传递性,.,一,、,正交变换法,化二次型为标准形的方法,定理,1,,任意,n,元实二次型,f =x,T,Ax,，都可经正交变换,x,＝,Qy,,化为标准形,用正交变换化二次型为标准形的步骤,：,(i),写出二次型,f,,的矩阵,A,；,,(ii),求正交矩阵,Q,，,使得,Q,T,AQ =,Λ,为对角矩阵；,,(iii),正交变换,x =Qy,化二次型为标准形,f =y,T,Λ,y .,为,A,的全部特征值,.,解,(i),二次型,f,,的矩阵为,(ii),求出,A,的全部特征值及线性无关的特征向量,.,化为标准形,.,例,1,求一个正交变换,x,＝,Qy,把二次型,解方程组,(0,E,-,A,),x=,0.,由,当,时,,,得对应的一个线性无关的特征向量,时，解方程组,(2,E,-,A,),x=,0.,由,得对应的线性无关的特征向量为,(iii),将所求特征向量正交化、单位化,.,当,由于所求向量已正交，故只需单位化,.,单位化,,,得,(iv),写出正交变换,.,则正交变换,x,＝,Qy,将二次型化为标准形,,正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有保持向量的内,,积、长度不变等优点,.,即若,x,＝,Qy,为正交变换，则,,所以正交变换能保持几何图形的大小和形状不变,.,解,,(1),由于,f,,中含有,x,1,的平方项,,,首先把含,x,1,的项合并起来进行配方，得,二、,,配方法,以下举例说明配方法,.,例,2,用配方化二次型为标准形,,,并求所用的可逆线性变换,.,则可逆线性变换,x,＝,Cy,化二次型为标准形,这里可逆变换对应的矩阵,由于,f,,中不含有平方项,,,首先令,所用的可逆线性变换为,得二次型的标准形,配方法化二次型为标准形（小结）,,利用和的平方公式逐步消去非平方项（交叉项）,.(1),若二次型中平方项的系数不全为零时，依次把含平方的项配方；,,,(2),若二次型中不含平方项时,,,首先作可逆线性变换把二次型化成含平方项的情形，然后再配方,.,例如 由例,2,知，矩阵,定理,2,,任何实二次型,,,都可经过可逆线性变换化为标准形,.,定理,3,,对于任何实对称矩阵,A,,,总存在可逆矩阵,C,，使得,C,T,AC,成为对角矩阵，即实对称矩阵一定合同于一个对角矩阵,.,合同于对角矩阵,其中可逆矩阵,三,、,初等变换法,,由于任一可逆矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘,积,,,,故存在初等矩阵,,对于任何初等矩阵,P,,,P,T,AP,表示对,A,作一次初等行变换和一次相同的初等列变换，称这样的变换为,对,A,作一次合同变换,.,上式表明：矩阵,A,经过一系列合同变换化为对角矩阵,,,,在对,A,作合同变换的同时，如果对单位矩阵,E,施行,完全,相同,,的初等列变换，就得到了可逆矩阵,C,.,,把二次型,f,=(,x,1,,,x,2,,,···,,x,n,),化为标准形的问题，实质上,,是如何寻找一个可逆矩阵,C,,使,C,T,AC=,,为对角矩阵,.,(ii),初等变换化二次型为标准形的步骤：,(i),构造,2,n,×,n,矩阵,对,变换,变换,对,于是,,用初等变换法将二次型,例,3,化为标准形,,,并求相应的可逆线性变换,.,解,二次型,f,的矩阵,则可逆线性变换,x =Cy,化二次型为标准形,化下列二次型为标准形,:,课堂练习,。