2019年高考物理模型系列之算法模型专题02矢量的运算模型学案.docx

专题02矢量的运算模型模型界定矢量及矢量运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等.狭义的讲，矢量的运算是指矢量物理量之间的运算，广义的说，矢量运算还包括运动形式的分解与合成.适量运算要遵循特殊的法则本模型归纳总结高中物理中所涉及到的矢量矢量的加(减)法与乘法的运算.模型破解1.矢量加法(i)平行四边形定则矢量的加法运算也即矢量的合成，其实质是等效替代，一般可用平行四边形法则如果用表示两个矢量Ai和A2的有向线段为邻边作平行四边形，那么合矢量A的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示，这叫做矢量运算的平行四边形定则^(ii)三角形法则与多边形定则如图所示，两矢量合成时由平行四边形法则可推广至三角形法则：将两矢量A1A2首尾相接，则合矢量A就是由矢量A1的箭尾指向矢量A2箭首的有向线段所表示的矢量.多个矢量相加时，则三角形定则推广可得到多边形法则，如图所示.最终合矢量的大小和方向与相加次序无关Ai(iii)正交分解法将矢量沿两个相互垂直的方向分解，称为正交分解.矢量Ai、A2、A3…相加时，可先将各矢量沿相互垂直的x轴和y轴分解，Ai分解为Ax和Ay,A2分解为A2x和2,A分解为A3x和ay,…则x轴方向上的矢量和Ax A2,合矢量方向与AAx=Aix+A2x+A3x+…；y轴方向上的适重和A=Aiy+A2y+A3y+…，则合矢重大小轴夹角9满足tanAAx1(iv)矢量减法矢量减法是矢量加法的逆运算，也称为矢量的分解.一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量，Ai-A2=Ai+(-A 2),如图所示。

矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解v)基本规律①当两矢量Ai和A2大小一■定时，合矢量A随着两矢量间夹角a的增大而减小当两矢量间的夹角a=0时，合矢量最大，等于Amx=Al+A2；当两矢量间的夹角“=180°时，合矢量最小，等于Amin=|A1-A2|,即合矢量的取值范围是IA-A2IWAWA1+A2O②合矢量可以大于、等于或小于分矢量，他的大小依赖于两矢量之间的夹角的大小：大小相等的两矢量，当其夹角小于1200时，合矢量大于分矢量；夹角等于1200时合矢量与分矢量相等；夹角大于120°而小于180°时，合矢量小于分矢量.③有n个矢量A、A2、A3、……An,他们矢量和大小的最大值是它们的方向相同时的合矢量大小，即AmaxA， i 1而最小值要分下列两种情况讨论:@)若n个矢量A、A、A、……An中的大小最大的矢量A大于其余矢量的大小之和A,则他们矢量和i1,ijn的最小值是A-A°i1,ijn包若n个矢量Ai、X、A……An中的大小最大的矢量A不大于其余矢量的大小之和Ai,则他们矢量和i1,ij的最小值是0。

④两矢量大小相等时，合矢量的方向必在两矢量的夹角平分例1.两个大小分别为Fi和F2(F2Fl)的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F满足A.F2FFiB.心F心22_2_2_2_2_2c.FiF2FFiF2D.FlF2FFlF2【答案】C【解析】共点的两个力合成，同向时最大为Fi+F2,反向时最小为Fi—F2,C正确.例2.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止P点设滑块所受支持力为FnoOF与水平方向的夹角为0下列关系正确的是(tanmg tanB. F= mgtanOD. FN=mgtan0C Fn【解析】对小滑块受力分析如图所示，根据平行四边形定则可得F 屿，Fntan空" ,所以A正确sin例3.如图，两根相互平行的长直导线分别通有方向相反的电流I1和I2，且I1I2；a、b、c、d为导线某一横截面所在平面内的四点，且a、b、c与两导线共面；b点在两导线之间，b、d的连线与导线所在平面垂直磁感应强度可能为零的点是•d；.M—「区r二AbhA.a点B.b点C.c点D.d点【答案】C【解析】由天量的运算法则可如两矢量的矢量和为零时两矢量必是等值反向的.由安培定则知两电流在t>点产生的磁场方向相同，在d点产生的磁场方向不在一条直线上，BD皆错误.两电流在客两点处产生的磁场方向相反，但由于口可，目a点距电流II近，散两电流在a点处产生的磁场不可能大小相等，人错误,同理可知C正确.例4.如图，两等量异号的点电荷相距为2a。

M与两点电荷共线，N位于两点电荷连线的中垂线上，两点电荷连线中点到M和N的距离都为L,且L?a略去a/Lnn2项的贡献，则两点电荷的合电场在M和N点的强度（）L>1A.大小之比为2,方向相反B.大小之比为1,方向相反C.大小均与a成正比，方向相反D.大小均与L的平方成反比，方向相互垂直【答案】AC【解析】如右下图所示，合电场在M和N点的强度分别为Ei(Lkq-)2kq(L a)24kqaL2 2 2(L a )4kqaL3a 2(-)24kqa~~C~E2kqL2 a22kqa323 a 2L3 1 (-)22kqa-L^故有Ei： E=2;又因N点处强场方向由对称性知平行于两场源电荷由十q指向一q,在M点因距+ q较近,-q产生的电场弱于+q产生的电场，总场强方向由一q指向+q,AC正确例5.在一个水平方向的匀强电场中，某带负电荷的小球做匀变速曲线运动，依次经过A、B、C 三点,A B、C三点与电场方向在同一个竖直面内，运动轨迹如图所示.已知过B点切线与AC连线平行，D点为AC线段的中点，BD连线恰与AC垂直，质点从 A点运动到B点所用的时间为tAB,质点从B点运动到C点所用的时间为t B8下列说法正确的是A. tAB一定等于tBC,电场方向向左B. tAB一定等于tBC,电场方向向右C. tAB不一定等于tBC,电场方向向左D. tAB不一定等于tBC,电场方向向右【答案】B【解析】小球在运动中受到鹭亘向下的重力与水平方向上的电场力作用，而邺版动中合力方向指向运动轨迹的内恻一则可知电场内的方向必是水平向左，因小球带负电,故电场强度方向水平向右、AC错误一因小域的运动是匀变速曲线运动，可将其运动分解为沿AC方向上的句变速运动与垂直于AC方向印沿DB方向上的匀变速运动,由于B点切线与AC连线平行可知小球在B点时沿DB方向上的分速度为零即小成在从A运理I]C的过程中沿DB方向上先瀛速再加速.设小球沿DB方向上的加速度为4从A到B由句加速运动的逆过程有DB-3AB到C有丽二1口6c，故有噎=正确D错误一22模型演练1.如图，三个大小相等的力F,作用于同一点Q则合力最小的是FC.A.与ab边平行，竖直向上C.与ab边垂直，指向左边【答案】C【解析】等边三角形的三个顶点定则可得：导线a、b的电流在c处的合磁场方向竖直向下.再由左手定则可得：安培力的方向是与ab边【解析】在ABD三图中三力的合力大小虽不相同，但一定不为零，而在C图其中任两个力的合力与第三个力等值反向，三个力的合力一定为零，答案为C.2.在等边三角形白^三个顶点a、b、c处，各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒定电流，方向如图。

过c点的导线所受安培力的方向B.与ab边平行，竖直向下D.与ab边垂直，指向右边a、b、c处均有一通电导线，且导线中通有大小相等的恒定电流.由安培垂直，指向左边.a、b、c电流均为I ,如图所示放在正方形的四个顶点上，每根通电直导3.四根相互平行的通电长直导线线单独存在时，四边形中心O点的磁感应强度都是B,则四根通电导线同时存在时点的磁感应强度的大小和方向为ab」中b1 ■，■I\/I■\/I：\:\J：1 ,,■O;■z、、![/%I>Z\，I/%■d口%IIc练3图A.242b,方向向左B.2Tl/2b,方向向下C.2J2B,方向向右D.2J2b,方向向上【答案】A【解析】由安培龙贝帙口导线胆必在点处产生的磁场方向分别沿QckOa、Od、Oa,再由矢量合成去则及对称性知A正确4.三根相互平行的通电长直导线放在等边三角形的三个顶点上，右图为其截面图，电流方向如图所示若每根导线的电流均为I,每根直导线单独存在时，在三角形中心O点产生的磁感应强度大小都是B,则三根导线同时存在时O点的磁感应强度大小为练4图A.0B.BC.2BD.3B【答案】C【解析】根据安培定则判断得知：三根导线在点产生的磁感应强度的方向分别为：上面导线产生的B方向水平向左，大小为B;下面左边导线产生的B方向斜向左上方，与水平成60°角，下面右边导线产生的B方向斜向右上方，与水平成60。

角，则根据平行四边形定则进行合成可知，下面两根导线产生的合场强大小为B,方向水平向左，所以三根导线同时存在时的磁感应强度大小为2B,方向水平向左.5.取两个完全相同的长导线，用其中一根绕成如图（a）所示的螺线管，当该螺线管中通以电流强度为I的电流时，测得螺线管内中部的磁感应强度大小为B,若将另一根长导线^•折后绕成如图（b）所示的螺线管，并通以电流强度也为I的电流时，则在螺线管内中部的磁感应强度大小为（）(A)0B)0.5Bo(C)Bo(D)2B解析】双线并线鲤戋圈相当于两个线圈一圈隔一圈地绕在同一个线圈架上一通电时，两个续圈中的电流方向正好相反n产生的磁场方向也相反，磁通量的娈化为零，所以,浸存自感电动势，选项人正确一2.矢量的乘法矢量乘法运算中包括三种情况：一种是矢量和标量的乘积，其结果仍为矢量，如F=maF=qE等此类运算中，若该标量大于零，则结果与原矢量同向，小于零时则与原矢量反向.第二种情况是矢量和矢量相乘，结果构成了新的标量，矢量间这样的乘积叫标积.两矢量的标积等于两矢量的大小及两矢量间夹角余弦三者的乘积，如功W=FS•cosa、功率P=F-V-cosa等的计算是采用两个矢量的标积。

第三种情况是矢量和矢量相乘结果却构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积两矢量的矢积大小等于两矢量的大小及两矢量间夹角正弦三者的乘积，如洛仑兹力f=qvBsina等的计算是采用两个矢量的矢积新矢量的方向与原两矢量所决定的平面垂直.例5.一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用此后，该质点的动能可能A.一直增大B.先逐渐减小至零，再逐渐增大C.先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小D.先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大【答案】ABD【解析】该质点的动靛变化取决于该恒力的做功情况，设恒力与后点的赌时速度之间的夹角为a,恒力的功率尸=疥3比.若初始状态「江学驰％则恒力对质点一直做正功,质点的动能将一直增大，人正宿若初始状态下加晨"G&0%则初始阶段恒力对质点做负功，质卓的寸就减小,同时a也减小J当Q减＜1司算口之后,恒力又开始对质点做正功，底点动能又开始增大〉d正确;若初始状态下a=180°,贝闱）始阶民恒力对质点儆负功直到康芭的动能赢小零后。