专题30 极坐标与参数方程的应用学生版.docx

方法技巧专题30 极坐标与参数方程的应用 一、极坐标与参数方程的应用知识框架 二、极坐标与参数方程的应用题型分析 【一】轨迹方程的问题一、极坐标方程1．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；(3)当圆心位于，半径为a：ρ＝2asinθ.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；(3)直线过且平行于极轴：ρsin θ＝b.二、参数方程直线、圆、椭圆的参数方程1.例题【例1】在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动．以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆的参数方程；（2）若点段上，且，求动点轨迹的极坐标方程．【例2】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）过极点作直线与圆交于点，求的中点所在曲线的极坐标方程.【例3】已知圆C经过点P，圆心C为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．2.巩固提升综合练习【练习1】 （2019年高考全国Ⅱ卷理数）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【练习2】在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin(θ－)＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．【练习3】 （2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．【二】转化中的应用问题 一、极坐标的转化问题互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为，直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．二、参数方程的消参问题1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2θ＋cos2θ＝1，sec2θ＝tan2θ＋1，2－2＝4等．2．消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x，y的影响，否则易扩大变量的取值范围．(2)参数方程中变量x，y就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x，y的取值范围．【例1】已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【练习1】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求．【三】最值、几何意义的综合问题 1.距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值： ---用“参数法”（1）曲线上的点到直线距离的最值问题（2）点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一2.面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题3.几何意义及其综合应用：(1)极坐标中，利用的几何意义解决问题(2)参数方程中，利用参数的几何意义解决问题1.例题【例1】 已知点是圆上的动点.(1)求的取值范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【例2】已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为 为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为，．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的最大值．【例3】在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙的极坐标方程为.(Ⅰ)写出⊙的直角坐标方程；(Ⅱ)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标.【例4】 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.【例5】在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．2.巩固提升综合练习【练习1】在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值.【练习2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为(为参数).(1)若，求与的交点坐标；(2)若上的点到距离的最大值为，求.【练习3】在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【练习4】已知直线（为参数），曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求曲线的极坐标方程，直线的普通方程；（2）把直线向左平移一个单位得到直线，设与曲线的交点为，，为曲线上任意一点，求面积的最大值．【练习5】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设，直线交曲线于，两点，是直线上的点，且，当最大时，求点的坐标． 三、课后自我检测 1．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标.2．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且、、、依逆时针次序排列，点的极坐标为.(Ⅰ)求点、、、的直角坐标；(Ⅱ)设为上任意一点，求的取值范围.3．已知在直角坐标系内，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；（2）设直线与曲线相交于两点，求点到两点的距离之和的最大值．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．5．在极坐标系中，已知点P(22,π2)，圆C的方程为ρ=22cosθ，求过点P且与圆C相切的直线的极坐标方程。

6．已知曲线：，直线：(为参数).(Ⅰ) 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.7． 已知抛物线，点在轴的正半轴上，过的直线与相交于两点，为坐标原点.(1)若时，的斜率为，求以为直径的圆的方程；(2)若存在直线使得成等比数列，求实数的取值范围.8．在直角坐标系中，曲线：(为参数，≠0)其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：.(Ⅰ)求与交点的直角坐标；(Ⅱ)若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值.9．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.(1)为曲线上的动点，点段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.10.在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为.（1）求圆C的极坐标方程；（2）在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为 （t为参数），直线与圆C相交于A，B两点，已知定点,求|MA|·|MB|。