2023年数形有机结合实现有效教学.doc

数形〞有机结合，实现有效教学江山坛石初中 姜爱军【内容】数与形是初中数学学习的两个根本要素，“数形结合〞是初中数学一种重要的思想方法与有效解题策略 本文阐述了 “数形结合〞思想在根底知识教学中，如有理数与实数、方程〔组〕与不等式〔组〕、函数、统计与概率、平面几何中是如何得到充分体现的主要从两个方面提出相应的自己观点与做法：一、课堂教学中，如何“以形助数〞，借助形的直观性，优化解题途径二、如何“以数解形〞，借助“数与式〞的精准性，精化解题方法，到达有效解题的目的 关键词：数形结合；以形助数；以数解形初中数学新课程标准中，安排了“数与代数〞“空间与图形〞“统计与概率〞“实践与综合〞四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素---数与形三千多年前，我国古代数学家赵爽最先在周髀算经作注时给出“弦图〞，他通过几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，赵爽的“弦图〞证明可谓别具匠心，体现了“数形结合〞的思想现代初中数学教材中，如完全平方公式、平方差等公式的推导都采用了几何图形验证方式，这是代数问题几何化的代表性问题采用“以形助数〞方式，直观性强、形象具体,在平常的学习中更容易被同学们所认可。

近观数学中考压轴题，都是代数、几何高度综合， “数形结合〞作用突显在数形结合问题中，主要有两个方面：一是“以形助数〞，二是“以数解形〞本文仅针对如下几个问题进行讨论课堂教学的“数形结合〞一、“以形助数〞，优化解题途径代数方法的特点是解答过程严密，标准，思路清晰，几何方法具有直观，形象的优势华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难人微〞数形结合的思想方法能“扬数之长、取形之优〞 ，避呆板单调解法之短，使得数量关系与空间形式“珠连壁合〞[1]以形助数〞的方法可以让学生用“形〞之直观解读数之枯燥，让数学活起来，更容易被学生所接受，也更容易激起学生的兴趣因此，在教学中紧紧抓住了学生的心理状态，由易到难，循序渐进，步步深入初中数学利用“以形助数〞方法在求方程解的个数、二元一次方程组的解、函数最值、值域、不等式的解集、统计与概率等数学问题中,都有着较为广泛的应用, 在解答选择、填空等小题时,更是简洁明了、事半功倍 “以形助数〞的方法，通过实现数到形的转化，到达优化解题目的 〔一〕“以形促形〞，直观形象把抽象的数学语言与直观的图形结合来思索,通过“以形促形〞的方法可使复杂问题简单化,抽象问题具体化，通过“构图〞分析可使问题明朗化，思路清晰化。

如数学情境题的分析，在课堂教学中引导学生掌握“以形促形〞这一方法，可以给学生带来不一样感受案例1】：浙教版教材八年级下册一次函数图像的应用一课，教学中教师给出了两个选择性情境问题，提供应同学们探讨与交流情境题1：乌鸦喝水如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水在这那么乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，以以下图像中最符合故事情景的是〔 〕 y y O A x O B x y y O C x O D x1、画分析图，达成“以形促形〞情境1：分析板图如下〔师生共同完成，学生板画出水位〕 （1） 乌鸦嘴不够长， 〔2〕乌鸦投入石子后，试了试喝不着 水先慢后快的满上来（2） 乌鸦开始喝到水，水也浅了下去，直到后来喝不上了。

在课堂教学教师通过构图的方式，引导学生通过图形直接揭示出问题的本质面貌，只要思考正确，形象清晰，往往很快就能看到问题的结果，同时这种方式也给出学生一种新鲜感，容易激起学生的共鸣，提高互动效率情境题，往往是量对应关系复杂多变，而简易分析图是寻找解题途径的一种策略，它能帮助学生建立正确、丰富的表象，有助于理解抽象的数学知识2、画示意图，达成“以形促形〞“示意〞是揭示事实情节含义的意思，通过示意，给人们提供寻找解题途径的意向，是把抽象的数学知识形象化，直观化进而产生表象，在解题时能够帮助学生更好的理解题意，促进思维学生在小学数学应用题学习中，早已接触过多种示意图的分析方法，这种方法引入如下情境题中分析也是非常可取的情境题2：小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细打量，父子快乐把家还〞如果用纵轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图像与上述诗的含义大致吻合的是〔 〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕板图分析：〔路程问题线段示意图〕 〔 父亲〕 儿子① 家 火车站 学校 ②父子一同返家〔在火车站相遇〕情境2是一条事理与数量关系错综复杂的题目，由于时间、方向、行程三者不是单一的组合，所以题意迷离，难以把握，但如画出示意图，借助形象，进行分析思考就容易多了。

教会学生作示意图的本领，是提高课堂效率的重要举措，也是提高学生学习能力的重要环节分析以上两个情境题有如下特点：情境1是耳熟能想的故事情节，情境2就如同发生在自己身边的事，尤有亲切感如今变成数学问题，觉得特别有趣、新鲜，学习积极性马上被调动起来了这两个问题还有一个共同点：函数图像的应用性问题，而且问题背景都非常抽象，过程中涉及的量变化多端，因而学生初次接触这一类问题，要在四个图形中马上选出一个正确答案也不易，由于对题意缺乏理解，错误率较高在课堂教学中培养学生识图能力是关键，引导学生学会 “以形促形〞、“以形助数〞，促使学生更好的解决问题〔二〕“以形助数〞，简化易解解决数学上数量关系的问题主要体现在把抽象的理论知识转化为适当的几何图形，巧妙地用图形来表达抽象的数学知识，构建出清晰的数学知识体系，促进知识的“消化〞有些繁难的代数题，假设我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法[2]初中数学中，如有理数中数轴的引入、不等式及不等式组的解集在数轴上表示，使抽象的概念、性质得到直观的理解；解二元一次方程组、解不等式时，利用平面直角坐标系，通过转化成一次函数图像图解，问题变得简化易懂；统计局部三类统计图应用后即可使啰嗦文字语言变成简洁明了；用“树形图〞分析事件的概率，可使事件简单而明确。

以上均属于“以形助数〞代表性内容，是课堂教学中必需性根底内容学生在画图中整理信息分析信息，用时不多找到解决问题的方法，学生在老师的引领下，领悟到了一种有效解决问题的方法------图解法1、有理数教学中， 初识图解法  数轴的引入是有理数体现“数形结合〞思想的力量源泉由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比拟，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的〔实数的大小比拟也是如此〕相反数、绝对值概念那么是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的[4]尽管我们学习的是〔有理〕数，但要时刻牢记它的形〔数轴上的点〕，通过渗透“数形结合〞的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法那么 2、求解不等式〔组〕，运用图解法教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解，这里蕴藏着数形结合的思想方法[4]在数轴上表示数是“数形结合〞思想的具体体现，而在数轴上表示数集，那么比在数轴上表示数又前进了一步确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更直观、更为有效案例2】：解不等式组并把解集在数轴上表示出来．        解：解不等式①，得解不等式②，得．不等式组的解集在数轴上表示如下：所以，不等式组的解集是3、方程组、不等式，巧用“图解法〞“图解法〞解二元一次方程组，具体方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式，然后画出图像，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，利用两条图像线的交点位置，可快捷求出相关不等式的解集。

这充分体现了“数形结合〞的思想，构建了数与形的和谐美在解题方面，通过把问题转化成图形的方法，直观得出问题结论，避开了相对复杂的计算4、函数应用教学，凸显“图解法〞  一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比拟抽象，因此，假设能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出了透彻分析，从而探求出解决问题的途径许多应用性问题的分析，如传统的“鸡兔同笼〞问题，它的数量关系，比拟抽象而隐蔽，解决这类问题有相当难度，但如果有图形辅助便可使隐含问题直观化函数应用题更需要图解帮助，优化解题案例3】： 某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲，如果旅客居住客房，馆需对每间客房每天支出60元的各种费用1） 请写出该宾馆每天的利润y与〔元〕每间客房涨价x〔元〕之间的函数关系式；（2） 设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？（3） 请答复客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？根据第一步解题分析可知，利润Y关于涨价X是呈二次函数关系；第二步是求利润最值问题，利用最值公式可求出相应结果；第三步求定价范围，按常规思路是建立不等式来解题。

但目前学生求解不等式只限于会解一元一次不等式，解一元二次不等式仍是一个数学难题怎样才能做到有效解题目的呢？方案是：教学中引导学生把数转化成形，利用五点法画出图像845050180-80XY845050180-80XY 观察图像可知，这是一条开口向下的抛物线，当涨价了50元时，利润最大值为8450元，因而8000元并非最大利润，顺利解决第二题如何解决第三个问题呢？有效方法还是要借助图像进行，学生发现抛物线在横轴上半方就表示获得利润大于零，图像所对应X轴上两个界点数据是-80元和+180元，这就得出在原价每间客房出租140元根底上，租金只要大于〔140-80〕元少于〔140+180〕元，即客房定价60元以上而320以内的范围内宾馆就可获得利润此题教学借助图形，通过“以形助数〞方法，将形象思维与抽象思维相结合；借助于“形〞的几何直观性来说明“数〞的大小关系，思维有冲击，更好帮助学生理解题意，用学生看图便知道了答案用一种直观而有效的策略、简化易懂的方法，找到了问题的结论，学生耳目一新，激发了兴趣，这比老师苦口婆心帮助学生分析数量关系更有数学学习价值体验“数形结合〞在解决问题中的使用价值，让学生清晰而明确认识“数形结合〞的妙处，感知数学思想之睿。