线性ARMA模型课件.ppt

第四章：平稳时间序列模型学习目标 简单滑动平均(MA)模型 简单自回归(AR)模型 混合自回归滑动平均(ARMA)模型线性ARMA模型平稳时间序列n几个重要的平稳过程和模型n白噪声过程nMA过程nAR过程nARMA过程线性ARMA模型白噪声1） t独立同分布称为独立白噪声，记为tI.I.D(0, 2) 如果t还服从正态分布，则该过程t称为为高斯白噪声线性ARMA模型白噪声2）弱白噪声随机过程满足a）E(t)=0 ， 对所有tb）E(t2)=2 对所有tc）E(ts)=0, 对任意ts，或Cov(t, s)=0简称白噪声记为tWN(0, 2) 线性ARMA模型4.1线性时间序列线性时间序列Yt : 如果它能表示成当前和过去白噪声序列的加权线性组合，即这里， 为白噪声. -时刻t的新信息(innovation)(4.1)称为 的 权重(4.1)有意义要求：线性ARMA模型所以 必须是收敛序列，即当 时通常，我们取 其中 则从而有(4.1.1)(4.1.1) 是平稳过程线性ARMA模型的间隔为 的自协方差为对于一般线性过程类似地有对线性ARMA模型因此， 权重与 的自相关系数有如下关系：其中，对若平稳序列而言， 当 时从而随着 的增加 收敛到0线性ARMA模型4.2 滑动平均模型4.2.1滑动平均模型介绍当（4.1）仅仅有有限个 权重为非零时，我们称之为滑动平均过程，即（4.2）我们称(4.2)为 MA(q)模型或者q阶滑动平均模型.其中t 是白噪声过程. 这里，和i, i=1,2,q称为参数或系数。

注：q0 线性ARMA模型滑动平均模型 1-阶滑动平均模型 其中t 是白噪声过程.（4.2-1）和为参数或系数表达式（4.2-1）是1阶滑动平均模型，用MA（1）表示例如rt=0.1+t0.3 t1线性ARMA模型MA(1)n另一种表达方式n本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关容易知道MA(1)存在一阶自相关线性ARMA模型q-阶滑动平均模型和过程判断下面是几阶MA模型 a) Yt=0.1+t0.2 t1 0.1 t2 b) Yt=0.1+t0.3 t1 0.21 t2 0.1 t3 c) Yt=0.1+t0.3 t4线性ARMA模型4.2-2 MA模型的性质MA(1)模型MA(q)模型线性ARMA模型自相关函数MA(1)模型：为简单起见，假定对两端乘以 ，我们有当 时，注意到我们有MA(1)模型在间隔为1以后的是截尾的线性ARMA模型MA(2)模型自协方差函数自相关系数是MA(2)模型在间隔为2以后的是截尾的线性ARMA模型MA(q)模型自相关系数MA(q)模型在间隔为q步以后的是截尾的，MA(q)模型具有有限记忆性线性ARMA模型MA过程ACF图基本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾线性ARMA模型练习题P59. 4.19P59. 4.20P58. 4.4P58. 4.1P58. 4.25. 计算 的自相关函数。

线性ARMA模型n作业1.证明 MA(q)过程自相关函数应满足的关系式.3. 4.12 (a)2. P59 4.14线性ARMA模型4.3 自回归模型 其中 t 是白噪声过程 ， 表达式(4.3)是P-阶自回归模型 rt 为p-阶自回归过程 ,表示为AR(p) 是未知参数或系数4.3)自回归模型是用自身做回归变量线性ARMA模型AR(1)过程（4.3-1）因方差非负，要求（4.3-1）定义的AR（1）模型是平稳的充分必要条件是在平稳性条件下注意到 与 独立，（4.3-2）线性ARMA模型AR(1)模型的自相关函数 进一步有递推式：因 ，故这个性质表明弱平稳AR(1)序列的自相关函数从 开始以比率为 的指数速度衰减由（4.3-2），我们有自协方差函数自相关函数线性ARMA模型AR(1)参数t=0.1+0.5t-1 +t t=0.1-0.5t-1 +t =0.1/(1-0.5)=0.2 = 0.1/(1+0.5)j=0.5j j =(-0.5)j 线性ARMA模型AR(2)模型两边乘以 导致自相关协方差函数满足这个结果称为平稳AR(2)模型的矩方程均值函数满足利用AR(2)模型可以写为线性ARMA模型上面的结果表明平稳AR(2)序列的ACF满足二阶差分方程其中，B是向后推移（延迟，滞后）算子，即平稳AR(2)模型的自相关系数函数满足有时用L表示延迟算子，如线性ARMA模型与前面的差分方程对应的是二次(特征)多项式 时间序列文献中称这两个解的倒数为AR(2)模型的特征根这个方程的解是平稳性：AR(2)时间序列的平稳性条件是它的两个特征根的模都小于1线性ARMA模型对应AR(1)模型:特征根为从而 是平稳的，我们有AR(2)模型的平稳性要求 ，其中这导致，及特征多项是线性ARMA模型AR(p)模型称之该AR(p)模型的特征方程。

AR(p)模型的平稳性条件：上述方程的所有解的模都大于1由于解的倒数为该模型的特征根因此，平稳性要求所有特征根的模都小于1均值函数模型对应的多项式方程为线性ARMA模型。