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高中物理 高中物理 波的图像 【学习目标】 1．理解波的图像的意义．知道波的图像的横、纵坐标各表示什么物理量，知道什么是简谐波． 2．能在简谐波的图像中指出波长和质点的振动的振幅． 3．已知某一时刻某简谐波的图像和波的传播方向，能画出下一时刻的波的图像并能指出图像中各个质点在该时刻的振动方向． 【要点梳理】 要点一、波的图像 1．图像的建立 用横坐标x表示在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，并规定横波中位移方向向某一个方向时为正值，位移方向向相反的方向时为负值．在xOy平面上，描出各个质点平衡位置x与对应的各质点偏离平衡位置的位移y的坐标点（xy，） ，用平滑的曲线把各点连接起来就得到了横波的波形图像（如图所示） ． 2．图像的特点 （1） 横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即为图像中的位移正向的最大值，波谷即为图像中位移负向的最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰处于平衡位置． （2）波形图像是正弦或余弦曲线的波称为简谐波．简谐波是最简单的波． （3）波的图像的重复性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同． （4）波的传播方向的双向性：不指定波的传播方向时，图像中波可能向x轴正方向或z轴负方向传播． 波动图像的意义：描述在波的传播方向上的介质中的各质点在某一时刻离开平衡位置的位移． 3．由波的图像可以获得的信息 知道了一列波在某时刻的波形图像，如图所示，能从这列波的图像中了解到波的传播情况主要有以下几点： （1）可以直接看出在该时刻沿传播方向上各质点的位移． 图线上各点的纵坐标表示的是各质点在该时刻的位移．如图中的M点的位移是2 cm． 高中物理 高中物理 （2）可以直接看出在波的传播过程中各质点的振幅A，即波动图线上纵坐标最大值的绝对值，即4 cmA ． （3）可以判断出沿传播方向上各质点在该时刻的运动方向． 如要确定图线上N点的振动方向，可以根据波的传播方向和波的形成过程，知道质点N开始振动的时刻比它左侧相邻质点M要滞后一些， 所以质点M在此时刻的位移值是质点N在下一时刻的位移值，由此判断出质点N此时刻的速度方向应沿y轴正方向，即向上振动．如果这列波的传播方向改为自右向左，则质点M开始振动的时刻比它右侧相邻质点N要滞后一些，所以质点N此时刻的位移值将是质点M在晚些时刻的位移值，由此判断出质点M此时刻的速度方向应沿y-方向，即向下振动．总之，利用波的传播方向确定质点运动方向的方法是要抓住波动的成因，即先振动的质点（即相邻两点中离波源比较近的质点）总是要带动后面的质点（即相邻两点中离波源比较远的质点）运动． 要点二、波的传播方向与质点振动方向的关系 已知质点的运动方向来判断波的传播方向或已知波的传播方向来判断质点的运动方向时，判断依据的基本规律是波形成与传播的特点，常用的方法有： 方法一（上下坡法） ：沿波的传播方向看去， “上坡”处的质点向下振动； “下坡”处的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上” （如图甲所示） ． 方法二（同侧法） ：在波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点运动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向， 那么这两个箭头总是在曲线的同侧 （如图乙所示） ． 方法三[头头（尾尾）相对法]：在波形图的波峰（或波谷）上画出一个箭头表示波的传播方向，并在波峰（或波谷）两边波形上分别画出两个箭头表示质点运动方向，那么这三个箭头总是头头相对，尾尾相对（如图丙所示） ． 方法四（微平移法） ：如图丁所示，实线为t时刻的波形图，作出微小时间4Ttt 后的波形如虚线所示．由图可见t时刻的质点由1P（或2P）位置经t后运动到1P＇（或2P＇）处，这样就可以判断质点的运动方向了． 要点三、已知一个时刻的波形画出另一个时刻的波形 高中物理 高中物理 （1）描点法：先利用波的传播方向判断出各质点的振动方向，再描出各质点经时间t后（或前）的位置，然后用平滑曲线连接各点即可得到经时间t后（或前）某时刻的波形． （2）平移法：波由介质中的某一点传播到另一点需要一定的时间，即机械波在介质中是以一定的速率v（通常称波速）传播．在时间出内某一波峰或波谷（密部或疏部）沿波的传播方向移动的距离等于v t．如果已知一列简谐波在t时刻的波形图像及波的传播方向，又知波速，就可以画出经t后的波形图像． 具体方法是： ①在已知的某一时刻的波形图像上将波的图像沿波的传播方向移动一段距离xv t，即得到tt时刻的波形图像． ②若要画出tt时刻的波形图像，则需将波形图像逆着波的传播方向移动一段距离xv t，即得到tt时刻的波形图像． 要点四、纵波图像的建立 波的图像是一种数学的表示方法，只是在横波的情况下能直观地表示出波形．在纵波中，如果规定质点的位移方向向右时取正值，位移方向向左时取负值，可以同样地画出如图丙所示的纵波的图像，可以看出纵波的图像与纵波的“形状”并无相同之处．实际上，在横波中如果规定位移方向向下时取正值（一般不这样规定，但这样规定未尝不可） ，则作出的波的图像与横波的形状恰好相反． 图甲表示各个质点所在的平衡位置，图乙表示各个质点发生的位移，图丙表示纵波的图像，其中横坐标表示各个质点的平衡位置，纵坐标表示各个质点的位移，如 x2表示质点 2 向右的位移，x5表示质点 5 向左的位移． 上图中，金属球振动起来之后，依次带动后面的质点振动，只是后一质点比前一质点迟一些开始高中物理 高中物理 振动。

与绳子上的波不同的是，这里的质点是沿着波的传播方向前后振动的由于各质点振动的情况不同，它们在同一时刻相对于各自平衡位置的位移不同，因而质元间的距离有的地方比平衡时的距离小，有的地方比平衡时的距离大右图中画出了1 2 3、、诸质元在不同时刻的位置，可以看出弹簧从整体上形成疏密相间(而不是峰谷相间)的波动，而且密部和疏部沿弹簧向右传播 要点诠释：空气和液体中的声波就是一种纵波 要点五、振动图像和波动图像的比较 特点 振动图像 波动图像 相 同 点 图线形状 正（余）弦曲线 正（余）弦曲线 纵坐标y 不同时刻某一质点的位移 某一时刻介质中所有质点的位移 纵坐标最大值 振幅 振幅 不 同 点 描述对象 某一个振动质点 一群质点（x轴上各个点） 物理意义 振动位移y随时间t的变化关系 x轴上所有质点在某一时刻振动的位移y 横坐标 表示时间t 表示介质中各点的平衡位置离原点的距离x 横轴上相邻两个步调总一致的点之间的距离的含义 表示周期T 表示波长（见下节） 图像变化 随时间延伸 随时间推移 其 他 频率和周期 在图中直接识读周期T 已知波速v时，根据图中可求出/ vT（见下节） 两者联系 质点的振动是组成波动的基本要素之一 波动是由许多质点振动所组成的，但从图像上波形的变化无法直接看出，若知波的传播方向和某时刻的波形图，则可以讨论波动中各质点的振动情况 【典型例题】 类型一、根据波的图像判断质点速度、加速度 例 1．如图所示是一列沿x轴正方向传播的横波某时刻的波形图，则： （1）波形图上abc、 、三点的加速度哪个最大？加速度的大小与波的传播方向是否有关？ （2）abc、 、三个质点下一时刻做什么运动？ 【思路点拨】波源和介质中各质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动． 高中物理 高中物理 【答案】见解析。

【解析】该题考查波动图像上各质点的运动情况． （1）abc、 、三个质点都做简谐运动，在质量一定的情况下，加速度大小与位移成正比，方向与位移方向相反，故知b点的加速度最大．质点加速度的大小与波的传播方向无关 （2）此时刻b质点速度为零，下一时刻一定向平衡位置做加速运动；若波沿x轴正方向传播，则下一时刻a质点向下运动，c质点向上运动，而ac、质点的加速度都是沿y轴负方向，故a质点做加速运动，c质点做减速运动． 【总结升华】形成简谐波时，波源和介质中各质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动． 举一反三: 【高清课堂：波的图像 例９】 【变式 1】 如图所示， 在x y平面内有一沿x轴正方向传播的简谐横波， 波速为lm/s， 振幅为4cm，频率为2.5Hz， 在0t 时刻，P点位于其平衡位置上方最大位移处， 则距P为0.2m的Q点 （ ） A．在0.1s时的位移是4cm； B．在0.1s时的速度最大； C．在0.1s时的速度向下； D．在0到0.1s时间内的路程是4cm． 【答案】BD 【变式 2】 （2014 绵阳期末）如图所示为一列在均匀介质中沿 x 轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波形图，波速为 4 m/s，则 ( ) A．质点 P 此时的振动方向沿 y 轴正方向 B．P 点振幅比 Q 点振幅小 C．经过 Δt＝3 s，质点 Q 通过的路程是 0.6 m D．经过 Δt＝3 s，质点 P 将向右移动 12 m 【答案】C 【解析】由机械波沿 x 轴正方向传播，利用“带动”原理可知，质点 P 此时的振动方向沿 y 轴负方向，选项 A 错误；沿波传播方向上各质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，并且各质点振动的幅度相同，即振幅相同，选项 B、D 均错误；根据波形图可知，波长 λ＝4 m，振幅高中物理 高中物理 A＝5 cm，已知 v＝4 m/s，所以1sTv，Δt＝3 s＝3T，质点 Q 通过的路程是 12A＝60 cm＝0.6 m，所以选项 C 正确． 例 2 ． 一 列 横 波 沿绳子 向 右 传 播 ， 某 时刻形 成 如 图 所 示 的 凸凹形 状 ， 对 此 时 绳上ABCDEF、 、 、 、 、六个质点（ ） ． A．它们的振幅相同 B．其中DE、速度方向相同 C．其中AG、速度方向相同 D．从此时算起，B比C先回到平衡位置 【答案】A、D 【解析】波源振动，绳上各质点都做受迫振动，不计传播中的能量损耗，各质点的振幅相同，则A 项正确；波向右传播，则波源在左侧，离波源远的质点落后并重复波源近的质点的振动，由此可知此时质点A正向下振动，C点随质点B向上振，D点随C点向上振，F点随E点向下振， 则A与C、D与E的振动方向均相反，则 B、C 两项错误；而质点BC、都向上振。

都要先到最大位移处再回到平衡位置，但C落后于B，则B比C先回到平衡位置，故 A、D 两项正确． 【总结升华】波的图像表示在某一时刻介质中各个质点相对平衡位置的位移．波有三个要素：即某一时刻的波形图，质点的振动方向和波的传播方向．两个特性：即双向性——在不注明波的传播方向时， 波的传播有沿x正、 负两种方向． 而周期性是波形成多解的另一重要原因． （方向有两种可能性） 举一反三: 【高清课堂：波的图像 例 5】 【变式】一列横波沿x轴的正方向传播，0t 时刻的波形如图所示，再经过0.36s，位于6mx 处的质点刚好第二次到达波峰位置，由此可知（ ） A．这列波的频率是6.25Hz B．这列波的速度是25m/s C．5mx 处的质点刚好第一次到达波谷位置的时间是0.16s D．波由3mx 处的质点传到7mx 处的质点需时间0.16s 【答案】ABD 类型二、根据波的图像判断质点振动 例 3．一列简谐横波沿x轴负方向传播，图（a）是1 st 时的波形图像，图（b）是波中某振动质点位移随时间变化的振动图像（两图用同一时间起点） ． 高中物理 高中物理 （1）图（b）可能是图（a）中哪个质点的振动图像？（ ） （2）若波沿x轴正方向传播，则图（b）可能是图（a）中哪个质点的振动图像？（ ） A．0x 处的质点 B．1 mx 处的质点 C．2 mx 处的质点 D．3 mx 处的质点 （3）设波沿x轴负方向传播，画出3 mx 处的质点的振动图像． 【思路点拨】看清是哪一时刻的波形图像，然后再看振动图像中这一时刻质点正在向哪一个方向振动，再由振动方向与波的传播方向的关系来确定是哪一质点的振动图像． 【答案】 （1）A （2）C （3）如图所示． 【解析】 （1）选 A．当1 st 时，由图（b）振动图像可知，质点x在1 st s 时在平衡位置，正要沿y轴负方向运动，由图（a）波动图像向 x 轴负方向传播及题中所给选项可判断0点在平衡位置，正沿y轴负方向运动． （2）选 C．由图（a）波动图像向x轴正方向传播可判断2 mx 处的质点在平衡位置，正沿y轴负方向运动．故选 C． （3）在1 st 时，3 mx 处的质点正在正向最大位移处。

可得振动图像如图所示． 【总结升华】解决这类问题关键是看清是哪一时刻的波形图像，然后再看振动图像中这一时刻质点正在向哪一个方向振动，再由振动方向与波的传播方向的关系来确定是哪一质点的振动图像．反之亦可根据振动图像，画出波形图像． 举一反三: 【高清课堂：波的图像 例 3】 【变式 1】一列简谐横波，在0t 时刻的波形如图所示，自右向左传播，已知在10.7st 时，P点出现第二次波峰(0.7s内P点出现两次波峰)，Q点的坐标是(7 0 ，)，则以下判断中正确的是（ ） 高中物理 高中物理 A．质点A和质点B在0t 时刻的位移是相等的； B．在0t 时刻，质点C向上运动； C．在20.9st 末，Q点第一次出现波峰； D．在31.26st 末，Q点第一次出现波峰． 【答案】BC 【高清课堂：波的图像 例 4】 【变式 2】 如图所示，有四列简谐波同时沿x轴正方向传播， 波速分别是23vvv、 、和4v，ab、是x轴上所给定的两点，且abl．在t时刻ab、两点间四列波的波形分别如图所示，则由该时刻起a点出现波峰的先后顺序依次是图________；频率由高到低的先后顺序依次是图___________。

【答案】D、B、C、A D、B、C、A 【解析】由该时刻起a点出现波峰应该是左边１４的振动到达点的时间： 4Altv；8 216Blltvv；2 36Clltvv；6 424Dlltvv． 即DBCAtttt＜ ＜ ＜． 由vf得vf，所以有 Avfl；2412Bvvfll；32Cvfl；4623Dvvfll． 即DBCAffff＞ ＞ ＞． 类型三、根据波的传播方向画波形图 例 4．某一简谐横波在0t 时刻的波形图如图中实线所示．若波向右传播，画出/4T后和/4T前两个时刻的波的图像． 高中物理 高中物理 【答案】见解析． 【解析】该题可以用不同方法解决． 解法一：特殊点法 根据0t 时刻波的图像及传播方向， 可知此时刻ABCDEF、 、 、 、 、各质点在该时刻的振动方向，由各个质点的振动方向可确定出经/4T后时刻各个质点所在的位置，将这些点所在位置用平滑曲线连接起来，便可得经/4T后时刻的波的图像．如图中的虚线（a）所示． 同样道理。

据各个质点的振动方向可确定出/4T前时刻各个质点所在位置，于是便可得到/4T前时刻的波的图像．如图中虚线（b）所示． 解法二：波形平移法 由图我们可以知道，在质点振动的一个周期内，波向前传播一个完整的波形的距离，即传播的距离12 mx ，因此在/4T内，波向前传播了3 m．根据波的传播过程和传播的实质，若波向右传播，把波的原有图形向右移动3 m的距离，就得到了/4T后时刻的波形图． 【总结升华】波传播质点振动形式和振动能量的同时，实际上也向前平移波形，且每经过一个周期，波形平移一个波长的长度，因此原位置的波形又回复到原来的波形． 举一反三: 【变式】一列横波沿x轴正向传播，abcd、 、 、为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置．某时刻的波形如图（1）所示，此后，若经过34周期开始计时，则图（2）描述的是（ ） ． A．a处质点的振动图像 B．b处质点的振动图像 C．c处质点的振动图像 D．d处质点的振动图像 高中物理 高中物理 【答案】B 【解析】波向右传播，可以确定经过34周期后，b质点处于平衡位置且向下运动，从此时开始计时，b质点的振动图像如图（2）所示．故选 B 项． 类型四、波的传播方向和质点振动方向的关系 例 5．如图所示为一列简谐横波在某一时刻的波形图，已知质点A在此时刻的振动方向如图中箭头所示，则以下说法中正确的是（ ） ． A．波向左传播，质点B向下振动，质点C向上振动 B．波向右传播，质点B向上振动，质点C向下振动 C．波向左传播，质点B向上振动，质点C向上振动 D．波向右传播，质点B向下振动，质点C向下振动 【思路点拨】可用“上下坡”法判断。

【答案】C 【解析】解决该题有许多方法，现用“上下坡”法判断，若波向右传播则A质点处于下坡应向上振动．由此可知波向左传播．同理可判断C向上振动，B向上振动故 C 项正确． 【总结升华】该题利用了“上下坡”法来判断波的传播方向和质点的振动方向． “上下坡”法是在其他方法的基础上总结出来的．虽然找不到理论依据，但是它的确很实用． 举一反三: 【高清课堂：波的图像 例１】 【变式 1】 图中实线表示沿x轴正向传播的横波甲和横波乙在0t 时刻的波形曲线， 经过1s以后，甲乙的波形分别如两图中虚线所示下列说法中正确的是（ ） A．质点A运动的速度是1m/s，经1s向x轴正向前进了1m B．质点A在0t 时刻的速度是0 C．0t 时刻，CD、两质点的位移相同 D．1st 时刻，质点E的运动方向向上 【答案】B 高中物理 高中物理 【高清课堂：波的图像 例 2】 【变式 2】如图是某一列简谐波在某一时刻的波形，已知此时A点向y轴负方向运动，则波的传播方向为________，若波速为0.5m/s，试在图上画出再过7s时的波形。

【答案】向左（沿x轴负方向） 波形如图中虚线所示． 【解析】由图可知 2m， 330.5 73.5m144xv t． 【高清课堂：波的图像 例 10】 【变式 3】如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到5mx 处的M点开始计时（0st ） ， 已知开始计时后，P点在0.3st 的时刻第一次到达波峰， 下面说法中正确的是 （ ） A．这列波的周期是1.2s B．这列波的传播速度大小是10m/s C．质点Q（9mx ）经过0.5s才第一次到达波峰 D．M点右侧各质点开始振动的方向都是沿着y轴的正方向 【答案】B 类型五、振动图像与波动图像的区别 高中物理 高中物理 例 6． （2015 方城县校级月考）介质中坐标原点 O 处的波源在 t＝0 时刻开始振动，产生的简谐波沿 x 轴正方向传播，t0时刻传到 L 处，波形如图所示．下列能描述 x0处质点振动的图象是( ) 【思路点拨】本题综合考查了波传播和质点振动间的关系．要能根据波形图和波传播方向判断质点的振动方向．同时要理解，介质起振的方向跟波源开始振动方向相同．每个图象前部都有空白部分表示这段时间振动形式还没传播到 x0处． 【答案】选 C. 【解析】由波的图象可知 t0时 x0处质点正向下振动，下一时刻质点纵坐标将减小，排除 B、D 选项．由 L 处质点的起振方向向下可知，x0处质点开始振动时的振动方向向下，故 A 错误，C 正确． 举一反三: 【高清课堂：波的图像 例 6】 【变式 1】一列简谐波在0t 时刻的波形图如图中的图(a)所示，图(b)表示该波传播的介质中某质点此后一段时间内的振动图像，则（ ） A．若波沿x轴正方向传播，(b)图应为a点的振动图像； B．若波沿x轴正方向传播，(b)图应为b点的振动图像； C．若波沿x轴负方向传播，(b)图应为c点的振动图像； D．若波沿x轴负方向传播，(b)图应为d点的振动图像． 【答案】BD 【高清课堂：波的图像 例 7】 【变式 2】如图所示， （1）为某一波在0t 时刻的波形图， （2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是（ ） 高中物理 高中物理 A．该列波的波速度为4m/s； B．若P点的坐标为2mPx ＝，则该列波沿x轴正方向传播 C．该列波的频率可能为 2Hz； D．若P点的坐标为4mPx ＝，则该列波沿x轴负方向传播。

【答案】A 【高清课堂：波的图像 例 8】 【变式 3】一列在x轴上传播的简谐波，在110cmx 和2110cmx 处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为 _______ s，这列简谐波的波长为____________ cm． 【答案】4 400(1, 2, 3,)41nn 。