最全余弦定理的10种证明方法.doc

经典）最全余弦定理的10种证明方法——王彦文青铜峡一中一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍，即在€ABC中，已知AB=c,BC=a,CA=b,则有a2=b2,c2一2bccosA,b2=c2,a2-2cacosB,c2=a2,b2一2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在€ABC中，已知AB=c,AC=b,及角A,求证：a2=b2,c2-2bccosA.图1证法一:如图1,在€ABC中,由CB=AB-AC可得:=AB2,AC2-2AB„AC=b2,c2-2bccosACB„CB=(AB-AC)„(AB-AC)艮卩，a2=b2+c2-2bccos左证法二:本方法要注意对…A进行讨论.⑴当…A是直角时，由b2,c2-2bccosA=b2,c2-2bccos900=b2,c2=a2知结论成立.⑵当…A是锐角时，如图2-1,过点C作CD丄AB，交AB于点D，则在Rt€ACD中，AD=bcosA,CD=bsinA.从而,BD=AB-AD=c-bcosA.C图2-1在Rt€BCD中,由勾股定理可得：BC2=BD2,CD2=(c一bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbcosA,b2即，a2€b2+c2一2bccosA.说明：图2-1中只对ZB是锐角时符合，而ZB还可以是直角或钝角•若ZB是直角，图中的点D就与点B重合；若ZB是钝角，图中的点D就在AB的延长线上.⑶当ZA是钝角时,如图2-2,过点C作CD丄AB，交BA延长线于点D,贝V在Rt…ACD中，AD=bcos（兀一A）=_bcosA，CD=bsin（兀一A）=bsinA.从而，BD€AB+AD€c-bcosA.在RtABCD中,由勾股定理可得：BC2€BD2+CD2€(c一bcosA)2+(bsinA)2€c2一2cbcosA+b2即，a2€b2+c2一2bccosA.综上⑴，⑵，⑶可知，均有a2€b2+c2，2bccosA成立.证法三:过点A作AD丄BC，交BC于点D,则在RtAABD中,sina=,cosa=.ccCDAD在RtAACD中，sinP=,cosP=.bb由cosA€cos(a+P)€cosacosP，sinasinP可得:图2-2图3aADADBDCDAD2-BD-CDcosA€-一-€cbcbbc2AD2-2BD-CD_c2-BD2+b2-CD2-2BD-CD2bc2bcb2+c2一(BD+CD)2b2+c2一a22bc2bc证法四：在AABC中,由正弦定理可得abccsinAsinBsinCsin(A+B)从而有bsinA€asinB,整理可得a2€b2+c2，2bccosA.第#页共5页第#页共5页csinA€asin(A+B)=asinAcosB+acosAsinB.第#页共5页将①带入②，整理可得acosB二c—bcosA③将①，③平方相加可得a2€(c一bcosA)2,(bsinA)2=b2,c2一2bccosA.即，a2€b2+c2—2bccosA.证法五:建立平面直角坐标系(如图4)，则由题意可得点A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA,bsinA)，再由两点间距离公式可得a2€(c一bcosA)2,(bsinA)2=c2—2cbcosA+b2.即，a2=b2+c2—2bccosA.证法六:在AABC中，由正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.于是，a2=4R2sin2A=4R2sin2(B,C)=4R2(sin2Bcos2C,cos2Bsin2C,2sinBsinCcosBcosC)=4R2(sin2B,sin2C—2sin2Bsin2C,2sinBsinCcosBcosC)=4R2(sin2B,sin2C,2sinBsinCcos(B,C))=4R2(sin2B,sin2C一2sinBsinCcosA)=(2RsinB)2,(2RsinC)2一2(2RsinB)(2RsinB)cosA=b2+c2—2bccosA即，结论成立.证法七:在AABC中，由正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.于是，a2=b2+c2—2bccosA„4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C—8R2sinBsinCcosA2sin2A=2sin2B+2sin2C—4sinBsinCcosA2sin2A=2—cos2B+cos2C—4sinBsinCcosA2一2cos2A=2一2cos(B,C)cos(B一C)一4sinBsinCcosA由于cos(B+C)=cos(…—A)=—cosA,因此cos2A=cos(B,C)cos(B一C),2sinBsinCcosA€cosA=一cos(B一C)+2sinBsinC€cosA=，cosBcosC+sinBsinC=，cos(B+C).这,显然成立.即,结论成立.AB交C于F，延长AC交C于G.bcosACD图5\b-a证法八:如图5,以点C为圆心，以CA=b为半径作C，直线BC与C交于点D,E，延长则由作图过程知AF=2bco^Ar故車F=2b^osA，c.由相交弦定理可得:BA--BE,即，c„(2bcosA一c)=(b+a)„(b一a),整理可得:a2=b2+c2，2bccosA.证法九:如图6,过C作CD〃AB，交…ABC的外接圆于D，则AD=BC=a，BD=AC=b.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F，则AE=BF=bcosA，故CD=c-2bcosA.由托勒密定理可得AD„BC=AB„CD+AC„BD,即,a„a=c„(c一2bcosA)+b„b.整理可得:a2=b2+c2，2bccosA.证法十：由图7-1和图7-2可得a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2,整理可得：a2=b2+c2，2bccosA.余弦定理的证明方法还有很多，比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.第#页共5页。