线性代数第一章阶行列式哈工大演示文稿.ppt

线性代数第一章阶行列式哈工大版演示文稿第一页，共一百三十七页优选）线性代数第一章阶行列式哈工大版第二页，共一百三十七页第一章第一章 n阶行列式阶行列式 第二节第二节 行列式的性质行列式的性质第四节第四节 克莱姆法则克莱姆法则第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 第一节第一节 行列式的概念行列式的概念第三页，共一百三十七页 本章的基本要求与重难点本章的基本要求与重难点v深刻理解n阶行列式的定义v熟记行列式的性质v熟练掌握行列式的计算v重点：行列式的计算v难点：n阶行列式的计算第四页，共一百三十七页第一节第一节 行列式的概念行列式的概念第五页，共一百三十七页行列式起源于解方程组行列式起源于解方程组引例引例方程组系数行列式系数行列式称为二阶行列式二阶行列式第六页，共一百三十七页二阶行列式（determinant）给定 a、b、c、d 四个复数，称为二阶行列式其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列标即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列为方便记第七页，共一百三十七页主对角线主对角线副对角线副对角线二阶行列式的计算二阶行列式的计算 对角线法则对角线法则例如第八页，共一百三十七页。

通过消元法，有：通过消元法，有：考虑线性方程组：考虑线性方程组：于是，当于是，当有唯一解：有唯一解：第九页，共一百三十七页写成行列式形式有：写成行列式形式有：第十页，共一百三十七页说 明1. 行列式是一个数；2. 计算规则：对角线法则；3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的正负号不同；共有4. 一行一列称为1阶行列式， 记为5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 n行n列称为n阶行列式第十一页，共一百三十七页2 2 三阶行列式三阶行列式如果如果 ，那么对于三元一次方程组：，那么对于三元一次方程组：第十二页，共一百三十七页其中，其中，利用消元法也有相同的结果，利用消元法也有相同的结果，第十三页，共一百三十七页三阶行列式称为三阶行列式可用下面的对角线法则记忆对角线法则对角线法则第十四页，共一百三十七页例例1 1 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有第十五页，共一百三十七页例例2 2 证明证明证明：证明：第十六页，共一百三十七页中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式，共有 ；每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同123，231，312 此三项均为正号132，213，321 此三项均为负号 为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。

第十七页，共一百三十七页全排列及其逆序数定义 由1，2， ，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列简称排列）记为 j1 j2 jn. 例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321n级全排列的种数为第十八页，共一百三十七页定义 在在一个排列 中，若某个较大的数排在一个较小的数前面，即， 则称这两个数组成此排列的一个逆序例如 排列 32514 中 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为自然排序（自然排序（标准次序标准次序）如：123n 是自然排序是自然排序排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序第十九页，共一百三十七页定义 一个排列 j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数记为 （ j1 j2 jn ）例如 排列 32514 中3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的逆序数为 ( 32541)=3+1+0+1+0=5.说明：说明： ( 1234n)=0第二十页，共一百三十七页定义（p2）: 排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.第二十一页，共一百三十七页。

分别计算出分别计算出排列中每个元素排列中每个元素前面前面比它比它大大的数码的数码个数之和，即算出每个元素的逆序数，个数之和，即算出每个元素的逆序数，方法方法2 2 前看法前看法方法方法1 1 后看法后看法2 2 计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法分别计算出分别计算出排列中每个元素排列中每个元素后面后面比它比它小小的数码个的数码个数之和，即算出每个元素的逆序数，数之和，即算出每个元素的逆序数，所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数. .所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数所有元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数. .第二十二页，共一百三十七页4 2 5 3 1于是排列 42531的逆序数为 7为奇数，称为奇排列5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;3的前面比1大的数有3个,故逆序数为2;1的前面比1大的数有4个,故逆序数为4;例例1 1 (1)求排列求排列42531的逆序数的逆序数.解解在排列在排列42531中中,4 4排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个4,故逆序数为1第二十三页，共一百三十七页解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列. .例例 求排列求排列的逆序数的逆序数个个逆序数的性质逆序数的性质: :第二十四页，共一百三十七页。

于是此排列的逆序数为4的前面比4大的数n-2,其逆序数为n-2;6的前面比6大的数有n-3个,故逆序数为n-3; 2n的前面比2n大的数有0个,故逆序数为0;解解: 共n个数 共n个数2的前面比2大的数只有一个n-1,故逆序数为n-1第二十五页，共一百三十七页讨论奇偶性：当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.第二十六页，共一百三十七页定义定义在排列中，将任意两个数对调，其余数不动，这种对排列在排列中，将任意两个数对调，其余数不动，这种对排列的变换叫做对换的变换叫做对换将相邻两个数对调，叫做相邻对换将相邻两个数对调，叫做相邻对换例如例如325143152423 1 32 1第二十七页，共一百三十七页定理定理1 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.第二十八页，共一百三十七页当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为 一般情形一般情形当当 时，时，现来对换现来对换 与与第二十九页，共一百三十七页。

次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.第三十页，共一百三十七页推论推论 时，时，n个元素的所有排列中，个元素的所有排列中，奇排列和偶排列的个数相等，奇排列和偶排列的个数相等，各为各为推论推论 任何一个任何一个n 级排列与自然顺序级排列与自然顺序排列都可通过一系列对换互变，并且排列都可通过一系列对换互变，并且所做对换的次数与这个排列有相同的所做对换的次数与这个排列有相同的奇偶性奇偶性. .第三十一页，共一百三十七页n阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积第三十二页，共一百三十七页3 3）在行标按顺序排列后，下列标排列的逆序数）在行标按顺序排列后，下列标排列的逆序数决定每项的决定每项的“+ +、- -”号，偶号，偶“+ +”、奇、奇“- -”例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列奇排列第三十三页，共一百三十七页。

4）3阶行列式的一般项为： 为行标为行标 排列逆序数排列逆序数 与列标与列标 排列逆序数的和排列逆序数的和.说明：说明：第三十四页，共一百三十七页定义定义4 (p3)二、二、n阶行列式阶行列式第三十五页，共一百三十七页规定规定 一阶行列式第三十六页，共一百三十七页其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. . 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为事实上事实上 按行列式定义有按行列式定义有第三十七页，共一百三十七页记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之反之,对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而第三十八页，共一百三十七页其中其中 是两个是两个 级排列，级排列， 为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和. .注：注：n n阶行列式的一般项为：阶行列式的一般项为：更一般的我们有:定理定理（p7 定理2）第三十九页，共一百三十七页说明说明1、 阶行列式是阶行列式是 项的项的代数和代数和;2、 阶行列式的每项都是阶行列式的每项都是位于不同行、不同位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;3、 一阶行列式一阶行列式 不要与不要与绝对值记号绝对值记号相混淆相混淆;4、 的符号为的符号为思考题思考题1. 若n阶行列式D有一行(列)元素全为零,则D=?第四十页，共一百三十七页。

例试判断试判断 是否都是否都是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项解解 ：故故 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项第四十一页，共一百三十七页几种行列式1.上三角行列式特点：主对角线以下的元素全为零第四十二页，共一百三十七页证明：证明：上上三角行列式三角行列式解解展开式中一般项是展开式中一般项是第四十三页，共一百三十七页所以不为零的项只有所以不为零的项只有第四十四页，共一百三十七页例例2第四十五页，共一百三十七页2.下三角行列式下三角行列式特点：对角线以上元素都是特点：对角线以上元素都是03.对角行列式对角行列式特点：主对角线以外的元素都是特点：主对角线以外的元素都是0第四十六页，共一百三十七页即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为逆序数：逆序数：故故例例3 3计算行列式计算行列式第四十七页，共一百三十七页注：注：4.4.反对角行列式反对角行列式第四十八页，共一百三十七页解：行列式中不为零的项为解：行列式中不为零的项为逆序数：逆序数：故故练习练习 ：用定义计算行列式：用定义计算行列式第四十九页，共一百三十七页例例5 5设设证明证明证证由行列式定义有由行列式定义有第五十页，共一百三十七页。

第五十一页，共一百三十七页由于由于 所以所以故故第五十二页，共一百三十七页第二节第二节 行列式的性质行列式的性质第五十三页，共一百三十七页一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等 说明：说明： 转置即行列互换转置即行列互换 行列位置相等行列位置相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记记第五十四页，共一百三十七页证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为故故证毕证毕第五十五页，共一百三十七页例：练习: 写出以下两个行列式的转置行列式，并证明D=DT：第五十六页，共一百三十七页性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .证明证明证明证明设行列式设行列式是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,第五十七页，共一百三十七页于是于是即当即当 时时,当当 时时,D 第五十八页，共一百三十七页。