福建专升本高等数学复习要点10.pdf

伴伴教育专升本伴伴教育专升本--专注于英语、数学、计算机专业与内部试题库开发专注于英语、数学、计算机专业与内部试题库开发 1第一章 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续 本章考试基本要求：本章考试基本要求： 1．理解函数、反函数、复合函数、初等函数的概念，函数的特性，会求函数的定义域；．理解函数、反函数、复合函数、初等函数的概念，函数的特性，会求函数的定义域； 2．理解函数极限概念，无穷小与无穷大间的关系，无穷小与极限间的关系；．理解函数极限概念，无穷小与无穷大间的关系，无穷小与极限间的关系； 3．会灵活运用极限四则运算法则及两个重要极限求函数的极限；．会灵活运用极限四则运算法则及两个重要极限求函数的极限； 4．理解函数的连续性与间断点的概念，会判断间断点的类型．．理解函数的连续性与间断点的概念，会判断间断点的类型． 1.1 函数 函数 主要内容主要内容 函函 数数 设设x和和 y 是两个变量，是两个变量，D 是一个给定的非空数集，如果对于每个数是一个给定的非空数集，如果对于每个数Dx，变量，变量 y 按照一定的对应法则按照一定的对应法则 f 总有确定的数值和它对应，则称总有确定的数值和它对应，则称 y 是是x的函数，记作的函数，记作 )(xfy ．．x叫做自变量，叫做自变量， y 叫做因变量，数集叫做因变量，数集 D 叫做这个函数的定义域．叫做这个函数的定义域． 一个函数当它的定义域及对应法则确定后，这个函数就确定了，所以，定义域和 对应法则称为函数的两要素．一个函数当它的定义域及对应法则确定后，这个函数就确定了，所以，定义域和 对应法则称为函数的两要素． 反反 函函 数数 设设)(xfy 在区间在区间 I 上有定义，对应的函数值集合为上有定义，对应的函数值集合为}),(|{DxxfyyY，如 果对于每个数，如 果对于每个数Yy，按照对应法则，按照对应法则yxf)(，在，在 I 中有惟一的数中有惟一的数x与与 y 对应，则称这样得到的函数为对应，则称这样得到的函数为)(xfy 在区间在区间 I 上的反函数， 记为上的反函数， 记为)(1yfx， 或按字母使用习惯记为， 或按字母使用习惯记为)(1xfy．而．而)(xfy 称为直接函数．称为直接函数． 注：①反函数定义域和值域与直接函数的值域和定义域对应相等．注：①反函数定义域和值域与直接函数的值域和定义域对应相等． ②互为反函数的两个函数的图象关于直线 ②互为反函数的两个函数的图象关于直线xy 对称．对称． 复合复合 函数函数 若函数若函数)(ufy 的定义域为的定义域为1D，函数，函数)(xu在数集在数集2D上有定义，对应的值域上有定义，对应的值域}),(|{22DxxuuW，并且，并且12DW ，那么对于每个数值，那么对于每个数值2Dx，有确定的数值，有确定的数值2Wu与与x值对应．由于这个值值对应．由于这个值u也属于函数也属于函数)(ufy的定义域的定义域1D，因此有确定的值，因此有确定的值y与值与值u对应， 这样对于每个数值对应， 这样对于每个数值2Dx， 通过， 通过u有确定的数值有确定的数值y与与x对应，从而得到一个以对应，从而得到一个以x为自变量，为自变量，y为因变量的函数，这个函数称为由函数为因变量的函数，这个函数称为由函数 )(ufy及及)(xu复合而成的复合函数， 记作复合而成的复合函数， 记作)]([xfy， 而， 而u称为中间变量．注：①不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的．称为中间变量．注：①不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的． ②复合函数可以有多个中间变量． ②复合函数可以有多个中间变量． 基本初 等函数基本初 等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数．幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数． 初等初等 函数函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可 以用一个式子表示的函数，叫做初等函数．由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可 以用一个式子表示的函数，叫做初等函数． 有有 界界 性性 设数集设数集X是函数是函数)(xf的定义域的一个子集．如果存在正数的定义域的一个子集．如果存在正数M，使得与任一，使得与任一 Xx所对应的函数值所对应的函数值)(xf满足不等式 满足不等式 Mxf)(，则称函数，则称函数)(xf在在X上有界，否则称函数上有界，否则称函数)(xf在在X上无界．上无界． 注：有界函数注：有界函数)(xf在在X上的图象夹在两平行线上的图象夹在两平行线MyMy,之间．之间． 免费试听所有课程 若无法适应教学 全额退费 多位核心名师独家授课第一期已开发 60 份内部模拟试题库 咨询 0591-87891991 伴伴教育专升本伴伴教育专升本 2单单 调调 性性 设函数设函数)(xf的定义域为的定义域为D，区间，区间DI ，对于，对于I内任意两点内任意两点21,xx （（1） 如果当） 如果当21xx 时， 恒有时， 恒有)()(21xfxf， 则称函数， 则称函数)(xf在在I内是单调增加的；（内是单调增加的；（2） 如果当） 如果当21xx 时， 恒有时， 恒有)()(21xfxf， 则称函数， 则称函数)(xf在在I内是单调减少的．注：单调增加函数的图象从左往右是上升的；单调减少函数的图象从左往右是下 降的．内是单调减少的．注：单调增加函数的图象从左往右是上升的；单调减少函数的图象从左往右是下 降的． 奇奇 偶偶 性性 设函数设函数)(xf的定义域的定义域D关于原点对称，关于原点对称， 如果对于任一如果对于任一Dx，恒有，恒有)()(xfxf，则称，则称)(xf为奇函数；为奇函数； 如果对于任一如果对于任一Dx，恒有，恒有)()(xfxf，则称，则称)(xf为偶函数．为偶函数． 注：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于注：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．轴对称． 周周 期期 性性 对于函数对于函数)(xf，如果存在一个不为零的数，如果存在一个不为零的数L，使得对于定义域内的任何，使得对于定义域内的任何x值，值，Lx 仍在定义域内， 且关系式仍在定义域内， 且关系式)()(xfLxf恒成立， 则称恒成立， 则称)(xf为周期函数．为周期函数．L称为它的一个周期．称为它的一个周期． 注：①函数的周期是指它的最小正周期；注：①函数的周期是指它的最小正周期； ②周期为②周期为L 的周期函数的图象，在长度为的周期函数的图象，在长度为L的任何区间上有相同的形状．的任何区间上有相同的形状．1.2 函数的极限函数的极限 主要内容主要内容 函函 数数 极极 限限 （（1）自变量）自变量x趋于有限数趋于有限数0x的极限的极限 设函数设函数)(xf在点在点0x的某一去心邻域内有定义， 如果当的某一去心邻域内有定义， 如果当x充分接近充分接近0x（但不等于（但不等于0x）时， 对应的函数值）时， 对应的函数值)(xf与某个确定的常数与某个确定的常数A之差的绝对值之差的绝对值Axf)(总能保持小于预先给定的正数总能保持小于预先给定的正数（无论它多么小） ，则称当（无论它多么小） ，则称当x趋于趋于0x时函数时函数( )f x的极限为的极限为A，记为 ，记为 Axf xx )(lim0或或)()(0xxAxf．． 将上面定义中的去心邻域改为左（右）去心邻域，就得到左（右）极限的定义，分别记为 将上面定义中的去心邻域改为左（右）去心邻域，就得到左（右）极限的定义，分别记为 Axf xx )(lim0（ （Axf xx )(lim0） ．） ． （（2）自变量）自变量x无限增大时的极限无限增大时的极限 如果当如果当x充分大时，对应的函数值充分大时，对应的函数值)(xf与某个确定的常数与某个确定的常数A之差的绝对值之差的绝对值Axf)(总能保持小于预先给定的正数总能保持小于预先给定的正数（无论它多么小） ，则称当（无论它多么小） ，则称当x时函数时函数)(xf的极限为的极限为A，记作，记作Axf x )(lim或或)()(xAxf．． 将将x充分大改为充分大改为0x且且x无限增大，记作无限增大，记作x（或（或0x且且x无限增大，记作无限增大，记作免费试听所有课程 若无法适应教学 全额退费 多位核心名师独家授课第一期已开发 60 份内部模拟试题库 咨询 0591-87891991 伴伴教育专升本伴伴教育专升本--专注于英语、数学、计算机专业与内部试题库开发专注于英语、数学、计算机专业与内部试题库开发 3x） ，就得到） ，就得到Axf x )(lim（或（或Axf x )(lim）的定义．）的定义． 保保 号号 性性 如果如果Axf xx )(lim0且且)0(0AA，则必存在，则必存在0x的某一去心邻域，当的某一去心邻域，当x在该去心邻域内时，在该去心邻域内时，)0)((0)(xfxf．． 重要重要 结论结论 Axf xx )(lim0的充要条件是的充要条件是Axfxf xxxx )(lim)(lim00．． Axf x )(lim的充要条件是的充要条件是lim( )lim( ) xxf xf xA ．． 水平水平 渐近渐近 线线 若若cxf x )(lim(或或cxf x )(lim或或cxf x )(lim)，则称直线，则称直线cy 为曲线为曲线)(xfy 的水平渐近线．的水平渐近线． 1.3 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大 主要内容主要内容 无穷小无穷小 若若0lim( )0 xxf x （或（或lim( )0 xf x ） ，就称函数） ，就称函数)(xf当当0xx（或（或x  ）时为无穷小．）时为无穷小． 注：①无穷小是以０为极限的变量．注：①无穷小是以０为极限的变量． ②说到无穷小，必须指明自变量的变化过程． ③无穷小与绝对值很小的数不能混为一谈． ④零是惟一可以作为无穷小的常数．②说到无穷小，必须指明自变量的变化过程． ③无穷小与绝对值很小的数不能混为一谈． ④零是惟一可以作为无穷小的常数． 无穷大无穷大 （１）若（１）若)(lim)(0xfxxx，则称函数，则称函数)(xf当当)(0xxx时为无穷大．时为无穷大． （２）若（２）若)(lim)(0xfxxx，则称函数，则称函数)(xf当当)(0xxx时为正无穷大．（３）若时为正无穷大．（３）若)(lim)(0xfxxx，则称函数，则称函数)(xf当当)(0xxx时为负无穷大．注：①无穷大是变量．时为负无穷大．注：①无穷大是变量． ②说到无穷大，必须指明自变量的变化过程． ③无穷大与绝对值很大的数不能混为一谈．②说到无穷大，必须指明自变量的变化过程． ③无穷大与绝对值很大的数不能混为一谈． 无穷小与极 限的关系无穷小与极 限的关系 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为 常数与一个无穷小之和，那么该常数就是此函数的极限．具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为 常数与一个无穷小之和，那么该常数就是此函数的极限． 无穷小与无 穷大的关系无穷小与无 穷大的关系 在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷小，且为无穷小，且( )0f x ，则，则1 ( )f x为无穷大；反之，如果为无穷大；反之，如果( )f x为。