（整理版）第4讲　基本不等式.doc

第4讲　根本不等式分层A级　根底达标演练(时间：30分钟　总分值：55分)一、选择题(每题5分，共20分)1．(宁波模拟)以下函数中，最小值为4的个数为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①y＝x＋；②y＝sin x＋(01)的最小值是 (　　)．A．2＋2 B．2－2C．2 D．2解析　∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．答案　A二、填空题(每题5分，共10分)5．(黄冈二模)假设a，b是正数，那么，，， 这四个数的大小顺序是________．解析　∵a，b是正数，∴≤≤，而≤，又a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴≤ .故≤≤≤ .答案　≤≤≤ 6．(北京朝阳期末)某公司购置一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(：万元)与机器运转时间x(：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，那么当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案　5　8三、解答题(共25分)7．(12分)x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；　(2)x＋y的最小值．解　∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)1＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋8＝18.故x＋y的最小值为18.8．(13分)x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求＋的最小值．解　(1)∵x>0，y>0，∴由根本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.分层B级　创新能力提升1．(韶关一模)当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．3 B．5 C．1 D．7解析　由x＋3y－2＝0得3y＝－x＋2，∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1＝3x＋＋1≥2 ＋1＝7.当且仅当3x＝，即x＝1时取得等号．答案　D2．x>0，y>0，且＋＝1，假设x＋2y>m2＋2m恒成立，那么实数m的取值范围是 (　　)．A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4) D．(－4,2)解析　∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－40)．(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)