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第五节 影 响 线 一、影响线的概念 一个方向不变的单位集中荷载在结构上移动时，表示结构某指定处的某一量值(反力、弯矩、剪力、轴力、位移等)变化规律的图线，称为该量值的影响线它是研究结构在实际移动荷载作用下反力和内力等的变化规律的重要工具，通过它确定结构在移动荷载作用下反力和内力的最大值和最小值(最大负值)，作为设计的依据 二、用静力法作静定梁的影响线 (一)双伸臂单跨简支梁的影响线 静力法作影响线是以单位集中移动荷载的位置x为变量，由静力平衡条件建立某量值的函数方程(影响线方程)，再按函数方程作影响线 图5—1a所示双伸臂单跨简支梁有关量值的影响线的作法如下 1．反力只RA、RB影响线 设A为坐标原点，x以向右为正，则分别由ΣMB＝0、ΣMA＝0得影响线方程 (5－1) 影响线分别如图5—1b、c所示设反力向上时为正，反之为负 2．跨中任意截面C的弯矩Mc影响线(设使杆件下侧受拉的弯矩为正)和剪力Qc影响线(设绕隔离体顺时针向转动的剪力为正)横截断截面C，由隔离体的平衡条件ΣMC＝0、ΣY＝0，得 据此作出的Mc、Qc影响线分别如图5—1d、e所示。

同理可作出图5—1f、g、h所示影响线图5－1 (二)静定多跨梁的影响线 用静力法作静定多跨梁的影响线，首先区分基本部分和附属部分由于单位集中力在基本部分移动时，对附属部分无影响，故按照前述单跨静定梁影响线的作法就可作出附属部分的影响线作基本部分的影响线时，要分两种情况考虑：当单位集中力在基本部分移动时，仍可按前述单跨静定梁影响线的作法作其影响线；当单位集中力在附属部分移动时，由分析可知，基本部分某量值的影响线为直线，此直线可以根据铰接处影响线的竖标值为已知，以及在附属部分的支座处，该量值影响线为零的特点作出用此法作出的图5—2所示静定多跨梁的影响线，如图5—2所示图5－2三、用机动法作静定梁的影响线 用机动法作静定梁影响线的基本原理是刚体系虚位移原理，即刚体系的平衡力系在符合刚体系约束条件的任意微小虚位移上所作虚功总和为零具体做法是：如欲作量值X的影响线，只要去掉与X相应的约束，使体系成为机构，再使机构沿X的正方向产生单位虚位移，由此得到的承载杆沿P＝1方向的虚位移图，就是X的影响线用机动法校核图5—2所示影响线，其结果必然与静力法所得结果一致机动法作影响线的主要优点是可以不经计算迅速作出影响线的轮廓，给设计工作带来方便。

同时还可用以校核静力法所作影响线的正确性 四、节点(间接)荷载作用下的影响线图5—3所示结构，荷载通过纵梁、横梁(节点)传至主梁，主梁承受的是节点(间接)荷载当P＝1在相邻两个横梁间移动时，主梁某量值按直线变化；而当P＝1作用在节点上时，相当于直接作用在主梁上，所以这种主梁某量值的影响线可按下法求作： 先作主梁某量值在直接荷载作用下的影响线，并用虚线表示；然后从各节点引竖线与直接荷载作用下的影响线相交，并将各相邻相交点用直线相连，就得到结点荷载作用下的影响线图5—3所示主梁的影响线如图示图5－3 五、静定梁式桁架的影响线 根据下面几个要点就不难用静力法作出桁架有关量值的影响线1）静定梁式桁架的反力影响线与相应静定梁的反力影响线相同 （2）桁架承受的移动荷载是通过结点传至桁架的，仍可应用前述求作结点荷载作用下影响线的方法，绘制桁架杆件的内力影响线 （3）先用结点法和截面法建立桁架杆件内力的影响线方程，再根据方程作出影响线 （4）桁架的承载形式有上承(荷载在上弦移动)和下承(荷载在下弦移动)之分当上承或下承时，桁架中有些杆件的内力影响线是不同的图5—4a所示梁式桁架，设荷载在下弦或上弦移动。

其反力影响线与相应简支梁的反力影响线相同用静力法作出的影响线如图所示图5－4 六、影响线的应用 (一)利用影响线求量值(或称影响量) 1．集中荷载 图5—5表示一组位置、数值都已知的集中荷载及某量值S影响线根据影响线的概念及叠加原理，该集中荷载组产生的量值S为 (5—2)当一组集中荷载作用在影响线的某一直线部分时(图5—6)，则量值S为 S＝Ry (5—3) 式中 R为集中荷载组的合力，y为与R对应影响线的竖标值图5－5图5－6 2．分布荷载 图5—7所示分布荷载qx引起的量值S为 (5—4) 对于图5—8所示均布荷载的情况，量值S为 (5—5) 式中ω表示均布荷载作用范围内S影响线面积的代数和图5－7图5－8 [例5—1] 利用影响线求图5—9a所示静定梁截面C的弯矩Mc及剪力VC左、VC右之值图5－9 [解] (1)作Mc影响线(图5—9b) (2)按式(5—2)、(5—5)得 (3)作Vc影响线(图5—9c) (4)按式(5—2)、(5—5)得 VC左＝9kN VC右＝—26kN (二)确定最不利荷载位置 荷载移动时，使结构上某量值发生最大值或最小值(最大负值)的荷载位置称为最不利荷载位置。

1．可任意断续布置的均布活荷载当均布活荷载可任意断续布置时，确定图5—10a所示静定多跨梁的支座反力RA、截面K的弯矩MK的最大值和最小值的方法如图5—10所示如欲确定其他量值最大值、最小值以及连续梁某量值的最大值、最小值的荷载位置的方法可按此类推 图5－10 2．行列移动荷载 (1)当影响线为多边形时桥式吊车、汽车及列车轮压等一组互相平行且间距不变的行列移动荷载对结构某量值产生的最大值或最小值，可以从极值影响量(影响量的极大值和极小值)中求得当行列移动 荷载产生极值影响量时，一定有一个集中荷载处于影响线的某一个顶点，这个荷载称为临 界荷载，用Pcr表示，这时的行列移动荷载位置称为临界位置可以按下面两种情况判别荷载的临界位置(设影响线处于直角坐标系的第一象限中) 使影响量S成为极大值的临界位置的判别条件是： 行列荷载稍向右移(即Δx >0)，ΣRitanαi ≤0 行列荷载稍向左移(即Δx <0)，ΣRitanαi ≥0 使影响量S成为极小值的临界位置的判别条件是： 行列荷载稍向右移(即Δx >0)，ΣRitanαi ≥0 行列荷载稍向左移(即Δx <0)，ΣRitanαi ≤0 式中 Ri影响线某直线段内荷载的合力； αi 影响线某直线的倾角。

每个临界位置对应一个影响量S的极值，再从各极值中选出S的最大值或最小值，其相应的荷载位置就是最不利荷载位置例11- 5-3 】 试确定图 11 - 5 - 15a 所示吊车梁在吊车轮压作用下支座 B 的最大反力RBmax已知一台吊车的轮压P1＝P2 = 285kN ，另一台吊车的轮压P 3 ＝P4＝ 182kN ，轮距及最小车距如图 11-5 - 15 中所示 解 】( 1 ）RB 影响线如图 11 - 5 - 15 吞所示本例由于吊车轮压P2 、P3的间距较小，由经验判断可知，只要将中间的两个荷载P2 、P3 分别置于影响线顶点试算即可 2 ）将P2置于影响线顶点（图 11-5 - 15 由判别式（ 11 -5 - 8 ）得判别式变号，P2 是临界荷载，相应的影响量为八、内力包络图概念 设计承受移动荷载的结构(如吊车梁、楼盖连续梁及桥梁结构等)时，需要求出每个截面的最大内力和最小内力(最大负值)连接各截面最大、最小内力的图形，称为内力包络图实际工作中的内力包络图，应同时考虑恒载和移动荷载(活载)的作用，而且移动荷载还要考虑其动力作用的影响具体作法是将考虑动力影响后的移动荷载产生的内力与恒载作用下的内力按可能发生的最大、最小内力叠加，根据各截面叠加后的最大、最小内力绘制内力包络图。