新高考数学二轮复习考点突破学案6.8《椭圆、双曲线的二级结论的应用》（教师版）.doc

微重点16　椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.考点一　焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan ，双曲线中＝.例1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　)A.2 B.4 C.6 D.12答案为：D解析：由e＝，得＝，即a＝2c.①设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)，在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知＝b2tan＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c)，②又a2＝b2＋c2，③联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.易错提醒　(1)要注意公式中θ的含义.(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆.跟踪演练1　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A. B. C. D.答案为：D解析：设双曲线C2的方程为﹣＝1，则有a＋b＝c＝c＝4﹣1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为btan 45°＝，即b＝b＝1.所以a＝c﹣b＝3﹣1＝2.故双曲线的离心率e＝＝＝.考点二　焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＋＝，同理，双曲线中，＋＝.例2　已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(﹣，0)，F2(，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为________.答案为：﹣＝1解析：如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t，又＋＝，∴＋＝，即＝，又|F1B|﹣|F2B|＝2a，∴3t﹣t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴＝，即3b2＝4a2，又c＝，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为﹣＝1.易错提醒　公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立.跟踪演练2　已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝______，cos∠F1AB＝________.答案为：　﹣解析：由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，又＋＝，即＋＝，解得|BF2|＝，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝，由椭圆定义知|AF1|＝8﹣2＝6，|BF1|＝8﹣＝，在△AF1B中，由余弦定理，得cos∠F1AB＝﹣.考点三　周角定理核心提炼周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝﹣，双曲线中kPA·kPB＝.例3　已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为(　　)A.﹣ B.﹣ C. D.答案为：B解析：由椭圆的性质可得＝＝﹣＝﹣.由椭圆的对称性可得同理可得∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为5＝﹣.规律方法　周角定理的推广：A，B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P为椭圆(双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝﹣，双曲线中kPA·kPB＝.跟踪演练3　设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)A. B. C.﹣1 D.﹣答案为：B解析：∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴＝，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝﹣1，又kMA·kMB＝﹣＝﹣，∴kMB＝.考点四　过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中＋＝1，双曲线中﹣＝1.例4　已知椭圆C：＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(10，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为(　　)A. B. C. D.答案为：C解析：设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为﹣＝1，故切线l的斜率k＝，因为k·kOP＝，则·＝，则＝，即双曲线C的离心率e＝＝.2.已知双曲线C：﹣＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是(　　)A. B. C.3 D.5答案为：B解析：如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2，∴四边形MF2NF1为矩形，∴又＝＝4a2，即b2＝4a2，∴c2﹣a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝＝.3.椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，且＝2，则△AF1B的外接圆面积为(　　)A. B.4π C.9π D.答案为：D解析：如图，a＝3，b＝2，c＝，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∵＋＝，∴＋＝⇒t＝1，∴|BF2|＝1，|AF2|＝2，由椭圆定义知|BF1|＝5，|AF1|＝4，∴△ABF1中，|AB|＝3，|AF1|＝4，|BF1|＝5，∴AF1⊥AB，∴△ABF1外接圆半径R＝＝，其面积为.4.已知双曲线C：﹣＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)A. B.2 C. D.3答案为：A解析：如图，∵·＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝﹣kAB＝﹣k，又BA⊥BP，∴kPB＝﹣，依题意知kPB·kPA＝，∴﹣·(﹣k)＝，∴＝1，即e＝.5.(多选)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　)A.若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为﹣B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是D.若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是答案为：BD解析：设P(x0，y0)，所以＋＝1，∵e＝＝，∴a＝2c，∴a2＝b2，∴＝﹣＝﹣，∴选项A错误；若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan ＝b2，∴选项B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，∴·2c·b>b2，∴c>b，∴c2>a2﹣c2，∴e∈，∴选项C错误；若|PF1|≤2b恒成立，∴a＋c≤2b，∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2﹣c2)，∴5e2＋2e﹣3≤0，∴00，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是(　　)A.双曲线C的离心率为2B.若PF1⊥PF2，且＝3，则a＝2C.以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切D.若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F1答案为：ACD解析：对于A，设P(x，y)，则y2＝b2，因为A1(﹣a，0)，A2(a，0)，所以＝＝3，得e＝＝2，故A正确；对于B，因为＝2，所以c＝2a，根据双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，又因为PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积为＝b2＝3，又＝3，所以a＝1，故B错误；对于C，设PF1的中点为O1，O为原点.因为OO1为△PF1F2的中位线，所以|OO1|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a，则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，则x0<﹣a，y0>0.因为e＝2，所以c＝2a，b＝a，则渐近线方程为y＝±x，所以∠PA2F1∈，∠PF1A2∈.又tan∠PF1A2＝＝，tan∠PA2F1＝﹣，所以tan 2∠PA2F1＝＝＝＝＝＝＝tan∠PF1A2，因为2∠PA2F1∈，所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D正确.7.椭圆C：＋＝1(a>b>0)上存在两点M，N关于直线l：x﹣y＋1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为﹣，则椭圆的离心率e＝________.答案为：解析：如图，设MN的中点为Q，∴yQ＝﹣，∴xQ＝yQ﹣1＝﹣，∴。