《概率与频率》PPT课件.ppt

概率与频率数学实验主要内容主要内容n概率相关知识、概念概率相关知识、概念n试验方法试验方法概率相关知识、概念概率相关知识、概念q 概率，又称概率，又称几率几率，或，或然率然率，是反映某种，是反映某种 事件事件 发生发生的可能性大小的一种数量指标，它介于的可能性大小的一种数量指标，它介于 0 与与 1 之间q 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分支概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分支学科，希望通过本实验的学习，能加深对频率和概学科，希望通过本实验的学习，能加深对频率和概率等概念的理解和认识，并掌握一些概率统计的基率等概念的理解和认识，并掌握一些概率统计的基本原理随机现象中出现的某个可能结果随机现象中出现的某个可能结果概率相关概念概率相关概念基本知识基本知识q 随机试验：随机试验：满足下列三个条件满足下列三个条件u 试验可以在相同的情况下重复进行；试验可以在相同的情况下重复进行；u 试验的试验的所有可能结果是明确可知的所有可能结果是明确可知的，且，且不止一个不止一个；；u 每次试验的每次试验的结果无法预知结果无法预知，但，但有且只有一个结果有且只有一个结果q 概率与频率概率与频率l 概率是指某个随机事件发生可能性的一个度量，是该概率是指某个随机事件发生可能性的一个度量，是该随机事件本身的属性。

随机事件本身的属性l 频率是指某随机事件在随机试验中实际出现的次数与频率是指某随机事件在随机试验中实际出现的次数与随机试验进行次数的比值随机试验进行次数的比值频率频率概率概率随机试验进行次数随机试验进行次数注：注：rand(n)=rand(n,n)Matlab 中的随机函数中的随机函数randperm(m)l 生成一个由生成一个由 1:m 组成的随机排列组成的随机排列randn(m,n)l 生成一个满足标准正态生成一个满足标准正态 m   n 的随机矩阵的随机矩阵rand(m,n) l 生成一个满足均匀分布的生成一个满足均匀分布的 m   n 随机矩阵，矩阵的每随机矩阵，矩阵的每个元素都在个元素都在 (0,1) 之间perms(1:n)l 生成由生成由 1:n 组成的全排列，共组成的全排列，共 n! 个个l name 的取值可以是的取值可以是'norm' or 'Normal''unif' or 'Uniform''poiss' or 'Poisson''beta' or 'Beta''exp' or 'Exponential''gam' or 'Gamma''geo' or 'Geometric''unid' or 'Discrete Uniform' ... ...random('name',A1,A2,A3,M,N)Matlab 中的随机函数中的随机函数random举例举例nn1 = random('Normal',0,1,2,4)%生成生成2行行4列的列的0-1正态分布随机数正态分布随机数nn2 = random('poiss',3,2,4)%生成均值为生成均值为3的泊松分布随机数的泊松分布随机数nn3 = random('exp',3,2,4)%生成参数为生成参数为3的指数分布随机数的指数分布随机数unique(a)l 合并合并 a 中相同的项，并按从小到大排序中相同的项，并按从小到大排序l 若若 a 是矩阵，则输出为一个列向量是矩阵，则输出为一个列向量prod(X)l 如果如果 X 是向量，则返回其所有元素的乘积。

是向量，则返回其所有元素的乘积l 如果如果 X 是矩阵，则计算每一列中所有元素的乘积是矩阵，则计算每一列中所有元素的乘积其它相关函数其它相关函数a=[1 2 9 3 2 3];b=unique(a)a=[1 2 9; 3 2 3];b=unique(a)Matlab相关命令介绍相关命令介绍q pdf 概率密度函数概率密度函数y=pdf(name,x,A)y=pdf(name,x,A,B) 或或 y=pdf(name,x,A,B,C)l 返回由返回由 name 指定的单参数分布的概率密度，指定的单参数分布的概率密度，x为样本数据为样本数据n name 用来指定分布类型，其取值可以是：用来指定分布类型，其取值可以是： 'beta'、、'bino'、、'chi2'、、'exp'、、'f' 、、 'gam'、、'gev'、、'gp'、、'geo'、、'hyge'、、'logn'、、 'nbin'、、'ncf'、、'nct'、、'ncx2'、、'norm'、、 'poiss'、、'rayl'、、't'、、'unif'、、'unid'、、'wbl'l 返回由返回由 name 指定的双参数或三参数分布的概率密度指定的双参数或三参数分布的概率密度Matlab相关命令介绍相关命令介绍例：例：x=-8:0.1:8;y=pdf('norm',x,0,1);y1=pdf('norm',x,1,2);plot(x,y,x,y1,':')legend('0-1','1-2')n 注：注： y=pdf('norm',x,0,1) y=normpdf(x,0,1)相类似地，相类似地， y=pdf('beta',x,A,B) y=betapdf(x,A,B) y=pdf('bino,x,N,p) y=binopdf(x,N,p)…… ……Matlab相关命令介绍相关命令介绍normplot(x)l 统计绘图函数，进行正态分布检验。

研究表明：统计绘图函数，进行正态分布检验研究表明：如果数据如果数据是来自一个正态分布，则该线为一直线形态；如果它是来自是来自一个正态分布，则该线为一直线形态；如果它是来自其他分布，则为曲线形态其他分布，则为曲线形态几种常见的分布函数几种常见的分布函数连续分布：正态分布连续分布：正态分布q 正态分布正态分布（连续分布）（连续分布）l 如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数为：的密度函数为：则称则称 X 服从正态分布记做：服从正态分布记做：l 标准正态分布：标准正态分布：N (0, 1)l 正态分布也称高斯分布，是概率论中最重要的一个分布正态分布也称高斯分布，是概率论中最重要的一个分布l 如果如果一个变量一个变量是是大量微小、独立的随机因素大量微小、独立的随机因素的的叠加，那么叠加，那么它它一定一定满足满足正态正态分布如测量误差、产品质量、月降雨量等如测量误差、产品质量、月降雨量等正态分布举例正态分布举例x=-8:0.1:8;y=normpdf(x,0,1);y1=normpdf(x,1,2);plot(x,y,x,y1,':')例：例：标准正态分布和非标准正态分布密度函数图形标准正态分布和非标准正态分布密度函数图形连续分布：均匀分布连续分布：均匀分布q 均匀分布均匀分布（连续分布）（连续分布）l 如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数为：的密度函数为：则称则称 X 服从均匀分布。

记做：服从均匀分布记做：l 均匀分布在实际中经常使用，譬如一个半径为均匀分布在实际中经常使用，譬如一个半径为 r 的汽车轮的汽车轮胎，因为轮胎上的任一点接触地面的可能性是相同的，所以胎，因为轮胎上的任一点接触地面的可能性是相同的，所以轮胎圆周接触地面的位置轮胎圆周接触地面的位置 X 是服从是服从 [0,2 r] 上的均匀分布上的均匀分布均匀分布举例均匀分布举例x=-10:0.01:10;r=1;y=unifpdf(x,0,2*pi*r);plot(x,y);连续分布：指数分布连续分布：指数分布q 指数分布指数分布（连续分布）（连续分布）l 如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数为：的密度函数为：则称则称 X 服从参数为服从参数为   的指数分布记做：的指数分布记做：l 在实际应用问题中，等待某特定事物发生所需要的时间往在实际应用问题中，等待某特定事物发生所需要的时间往往服从指数分布往服从指数分布如某些元件的寿命；随机服务系统中的服如某些元件的寿命；随机服务系统中的服务时间；动物的寿命等都常务时间；动物的寿命等都常常常假定服从指数分布假定服从指数分布l 指数分布具有无记忆性：指数分布具有无记忆性：指数分布举例指数分布举例x=0:0.1:30;y=exppdf(x,4);plot(x,y)例：例：  =4 时的指数分布密度函数图时的指数分布密度函数图离散分布：几何分布离散分布：几何分布q 几何分布几何分布是一种常见的是一种常见的离散分布离散分布l 在贝努里实验中，每次试验成功的概率为在贝努里实验中，每次试验成功的概率为 p，设试验进行，设试验进行到第到第   次才出现成功，则次才出现成功，则   的分布满足：的分布满足：其右端项其右端项是几何级数是几何级数 的一般项，于是人们称它为的一般项，于是人们称它为几何分布几何分布。

x=0:30; y=geopdf(x,0.5); plot(x,y)例：例： p=0.5 时的几何分布密度函数图时的几何分布密度函数图离散分布：二项式分布离散分布：二项式分布q 二项式分布二项式分布属于离散分布属于离散分布l 如果随机变量如果随机变量 X 的分布列为：的分布列为：则称这种分布为二项式分布记做：则称这种分布为二项式分布记做：x=0:50;y=binopdf(x,500,0.05);plot(x,y)例：例： n=500，，p=0.05 时的二项式分布密度函数图时的二项式分布密度函数图离散分布：离散分布： Poisson 分布分布q 泊松分布泊松分布也属于离散分布，是也属于离散分布，是1837年由发个数年由发个数学家学家 Poisson 首次提出，其概率分布列为：首次提出，其概率分布列为：记做：记做：l 泊松分布是一种常用的离散分布，它与单位时间（或单位泊松分布是一种常用的离散分布，它与单位时间（或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系面积、单位产品等）上的计数过程相联系如：单位时间内，如：单位时间内，总机接到用户呼唤次数；总机接到用户呼唤次数；1 平方米内，玻璃上的气泡数平方米内，玻璃上的气泡数等等。

Poisson 分布举例分布举例x=0:50;y=poisspdf(x,25);plot(x,y)例：例：  =25 时的泊松分布密度函数图时的泊松分布密度函数图离散分布：均匀分布离散分布：均匀分布q 如果随机变量如果随机变量 X 的分布列为：的分布列为：则称这种分布为则称这种分布为离散均匀分布离散均匀分布记做：n=20;x=1:n;y=unidpdf(x,n);plot(x,y,'o-')例：例： n=20 时的离散均匀分布密度函数图时的离散均匀分布密度函数图试试 验验 方方 法法q 这里我们主要用这里我们主要用 rand 函数和函数和 randperm 函数函数来模拟满足均匀分布的随机试验来模拟满足均匀分布的随机试验q 试验方法试验方法u 先设定进行试验的总次数先设定进行试验的总次数u 采用循环结构，统计采用循环结构，统计指定事件指定事件发生的次数发生的次数u 计算该事件发生次数与试验总次数的比值计算该事件发生次数与试验总次数的比值试验方法试验方法q 随机投掷均匀硬币，验证国徽朝上与朝下的概率是随机投掷均匀硬币，验证国徽朝上与朝下的概率是否都是否都是 1/2 n=10000; % 给定试验次数给定试验次数m=0;for i=1:n x=randperm(2)-1; y=x(1); if y==0 % 0 表示国徽朝上，表示国徽朝上，1 表示国徽朝下表示国徽朝下 m=m+1; endendfprintf('国徽朝上的频率为国徽朝上的频率为：：%f\n',m/n);试验一：投掷硬币试验一：投掷硬币q 用蒙特卡罗用蒙特卡罗 ( Monte Carlo ) 投点法计算投点法计算   的值的值 n=100000; a=2; m=0; for i=1:n x=rand(1)*a/2;y=rand(1)*a/2; if ( x^2 + y^2 <= (a/2)^2 ) m=m+1; endendfprintf('计算出来的计算出来的 pi 为：为：%f\n',4*m/n);试验二：蒙特卡罗投点法试验二：蒙特卡罗投点法q 设某班有设某班有 m 个学生，则该班至少有两人同一天生个学生，则该班至少有两人同一天生日的概率是多少？日的概率是多少？试验三：生日问题试验三：生日问题解解：：设一年为设一年为 365 天，且某一个学生的生日出现在一年天，且某一个学生的生日出现在一年中的每一天都是等可能的，则班上任意两个学生的生日中的每一天都是等可能的，则班上任意两个学生的生日都不相同的概率为：都不相同的概率为：所以，至少有两个学生同一天生日的概率为：所以，至少有两个学生同一天生日的概率为：n=1000; p=0; m=50; % 设该班的人数为设该班的人数为 50for t=1:n a=[]; q=0; for k=1:m b=randperm(365); a=[a,b(1)]; end c=unique(a); if length(a)~=length(c) p=p+1; endendfprintf(‘至少两人同一天生日的至少两人同一天生日的概率概率为为：：%f\n',p/n);试验三源程序试验三源程序clear; m = 50;p1= 1:365; p2= [1:365-m, 365*ones(1,m)];p = p1./p2;p = 1- prod(p);fprintf('至少两人同一天生日的至少两人同一天生日的概率概率为为：：%f\n',p);试验三的理论值计算试验三的理论值计算实验内容实验内容1、随机投掷均匀骰子，验证各点数出现的概率是否为、随机投掷均匀骰子，验证各点数出现的概率是否为1/6。

2、设计一个三维投点的蒙特卡罗法计算、设计一个三维投点的蒙特卡罗法计算 ,提示：随机投点落在单位正方体的内切球体内部提示：随机投点落在单位正方体的内切球体内部3、用、用蒙特卡罗法求两平面曲线蒙特卡罗法求两平面曲线 与与 及及y轴所围成的区域的面积轴所围成的区域的面积。