一维势阱和势垒问题.ppt

薛定谔方程的简单应用薛定谔方程的简单应用找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；根据波函数应满足的自然条件定出边界条件根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解求出薛定谔方程的特解求出薛定谔方程的通解求出薛定谔方程的通解————即波函数即波函数根据波函数应满足的归一化条根据波函数应满足的归一化条件写出波函数件写出波函数对量子力学处理的结果进行分析对量子力学处理的结果进行分析1§16-3 一维势阱和势垒问题一维势阱和势垒问题 21.1.一维无限深势阱一维无限深势阱34粒子在粒子在势阱内受力为零，势能为零势阱内受力为零，势能为零在阱内自由运在阱内自由运动在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外不能到阱外一维无限深方势阱是一维无限深方势阱是金属中自由电子金属中自由电子的简化模型的简化模型5一维无限深方势阱的数学表达形式一维无限深方势阱的数学表达形式 ：：一维无限深方势阱的图形表达形式一维无限深方势阱的图形表达形式 ：：∞0aU(x)∞x 粒子只能在宽为粒子只能在宽为 a 的两个无限的两个无限高势壁间运动，高势壁间运动，这种势称为这种势称为一一维无限深方势阱维无限深方势阱。

6 因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定态因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解问题，可以用定态薛定谔方程进行求解————定态薛定谔方程定态薛定谔方程①①列出各区域的定态薛定谔方程列出各区域的定态薛定谔方程7l势阱内势阱内 0 < x < al势阱外势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a理由理由:因为势壁无限高因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁所以粒子不能穿透势壁,故势故势阱外的阱外的 波函数为零波函数为零8定态薛定谔方程为定态薛定谔方程为 E是粒子的总能量，是粒子的总能量，E > 0，令，令 定态薛定谔方程变为定态薛定谔方程变为 此薛定谔方程的解为此薛定谔方程的解为 式中式中 A和和α是待定常数，由边界条件和归一化条件是待定常数，由边界条件和归一化条件确定9 从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即————边界条件边界条件波函数改写为：波函数改写为：讨论一：讨论一：n不等于零不等于零10此时波函数没有物理意义，故舍去。

此时波函数没有物理意义，故舍去讨论二：讨论二：n不取负数不取负数此时波函数与此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布，取正数时代表相同的概率分布，即无法给出新的波函数，故舍去即无法给出新的波函数，故舍去11这说明：并非任何这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维值所对应的波函数都能满足一维无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式给出的那些分立的值给出的那些分立的值 En（（体系的能量本征值体系的能量本征值））时，时，相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系体系的能量是量子化的的能量是量子化的，亦即，亦即体系的能谱是分立的体系的能谱是分立的与能量本征值与能量本征值En相对应的本征波函数相对应的本征波函数 n (x)为：为：12利用归一化条件利用归一化条件 取取 A为正实数为正实数波波函函数数：：13讨论：讨论：①① 粒子的能量粒子的能量 粒子的最低能量状态称为粒子的最低能量状态称为基态基态，则一维无限深方势，则一维无限深方势阱的基态能量为：阱的基态能量为：————零点能零点能 与与零点能零点能相对应的，应存在相对应的，应存在零点运动零点运动。

这与经典粒这与经典粒子的运动是相矛盾的子的运动是相矛盾的零点能是微观粒子波动性的表零点能是微观粒子波动性的表现现，因为，因为“静止的波静止的波”是没有意义的是没有意义的14（（1）一维无限深势阱的粒子波函数）一维无限深势阱的粒子波函数②② 图形图形一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度基态的波函数基态的波函数(n=1)无节点，无节点，第一激发态第一激发态(n=2)有一个节点，有一个节点，第第k激发态激发态(n=k+1)有有k个节点除端点外除端点外，，15（（2）一维无限深势阱）一维无限深势阱的粒子位置概率密度的粒子位置概率密度分布分布16时时 量子量子经典经典a|2 n|n很大很大En017一维无限深势阱一维无限深势阱18例例1 1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有具有正交性正交性：：即不同能级的波函数是互相正交的即不同能级的波函数是互相正交的 解解: 波函数波函数 取其复共轭取其复共轭 相乘并积分，得相乘并积分，得 19属于不同能级的波函数是正交的属于不同能级的波函数是正交的。

把波函数的正交性和归一性表示在一起，把波函数的正交性和归一性表示在一起，克罗内克符号克罗内克符号20二、势垒穿透和隧道效应二、势垒穿透和隧道效应 有限高的方形势垒有限高的方形势垒 数学形式：数学形式：图形形式：图形形式：考虑粒子的动能考虑粒子的动能 E小于势垒高小于势垒高度度 U0的情况 E < U0 ））21 粒子在粒子在 x < 0 区域里，若其能量区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到能越过势垒达到 x > a的区域这种势能分布称为这种势能分布称为一维势垒一维势垒 在量子力学中，情况又如果呢？在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：OIIIIII在各个区域的波函数分别表示为在各个区域的波函数分别表示为 1、、 2、、 322OIIIIII令：三个区间的薛定三个区间的薛定谔方程简化为：谔方程简化为：23方程的通解为：方程的通解为： 三式的右边第一项表示沿三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第方向传播的平面波，第二项为沿二项为沿x负方向传播的平面波。

负方向传播的平面波  1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被表示被“界面（界面（x=0））”反射的反射波反射的反射波  2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被表示被“界面（界面（x=a））”反射的反射波反射的反射波  3右边的第一项表示穿出势垒的透射波，右边的第一项表示穿出势垒的透射波，  3的的第第二项为零，因为在二项为零，因为在x>a区域不可能存在反射波区域不可能存在反射波(B3=0)24定义定义反射系数反射系数：：————粒子被势垒反射的概率粒子被势垒反射的概率————被势垒反射的粒子数被势垒反射的粒子数 / 入射到势垒上的入射到势垒上的粒子数粒子数定义定义透射系数透射系数：：————粒子穿过势垒的概率粒子穿过势垒的概率————穿过势垒的粒子数穿过势垒的粒子数 / 入射到势垒上的粒入射到势垒上的粒子数子数————概率守恒概率守恒25反射系数反射系数 R 和透射系数和透射系数 T 的具体值，需要根据波函的具体值，需要根据波函数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数在数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数在全空间连续）来确定。

全空间连续）来确定 利用波函数利用波函数“单值、有限、连续单值、有限、连续”的标准条件，可得：的标准条件，可得：26求出解的形式画于图中求出解的形式画于图中IIIIII讨论：讨论：（（1））E>U0 按照经典力学观点按照经典力学观点,在在E>U0情况情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射垒，而不会在势垒壁上发生反射 而在微观粒子的情形，却会发生反射而在微观粒子的情形，却会发生反射27IIIIII（（2））Ea区域也存在波函数，所以粒子还区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入可能穿过势垒进入x>a区域 粒子在总能量粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为现象称为隧道效应隧道效应28经典经典量子量子隧道隧道效应效应29当当 时，势垒的宽度约时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。

隧道效应在实际上已经没系数会小六个数量级以上隧道效应在实际上已经没有意义了量子概念过渡到经典了有意义了量子概念过渡到经典了结果表明：结果表明：势垒高度势垒高度U0越低、势垒宽越低、势垒宽a度越小，则粒子度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大穿过势垒的概率就越大 如果如果a或或μμ为宏观大小时，为宏观大小时， ，粒子实际上将不，粒子实际上将不能穿过势垒能穿过势垒30  隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STMSTM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm1nm只要将原子线度的极细探针只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠面电子云就可能重叠若在样品与针尖之间若在样品与针尖之间加一微小电压加一微小电压U Ub b电子电子就会穿过电极间的势就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。

垒形成隧道电流隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏Scanning tunneling microscopy31因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；得到表面态密度的分布；使人类第一次能够实时地观使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子的排列状态以及与表面电子行为有关的性质在表面科行为有关的性质在表面科学、材料科学和生命科学等学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广领域中有着重大的意义和广阔的应用前景阔的应用前景空气隙空气隙STM工作示意图工作示意图样品样品探针探针利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子原子的台阶、平台和原子阵列可以直接绘出表面阵列可以直接绘出表面的三维图象的三维图象32 与其它表面分析技术相比，与其它表面分析技术相比，STM所具有的所具有的独特优点独特优点是：是：1. 具有原子级高分辨率具有原子级高分辨率。

STM在平行和垂直于样品表在平行和垂直于样品表面方向的分辨率分别可达面方向的分辨率分别可达0.1nm和和0.01nm，即可分辨，即可分辨出单个原子出单个原子 332. 可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是整可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是整个表面的平均性质个表面的平均性质343. 利用利用STM针尖，可以对原子和分子进行操纵针尖，可以对原子和分子进行操纵35照片是扫描隧道显微镜下的照片是扫描隧道显微镜下的48个原子在铁的表面排列成直径为个原子在铁的表面排列成直径为14.3nm的圆圈构成一个的圆圈构成一个“量子围栏量子围栏”，照片中反映的是电子，照片中反映的是电子密度的高低，围栏内是电子密度波的驻波密度的高低，围栏内是电子密度波的驻波 36。