高等数学：BIT8-5重积分换元法与含参量积分.ppt

例例2解法解法1解法解法2解法解法3补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．奇偶性．轮换对称性：轮换对称性： 积分区域D关于坐标轴的轮换是对称性的（x变y，y变z，z变x时，区域不变），则 ∫∫∫f(x,y,z)dV＝∫∫∫f(y,z,x)dV＝∫∫∫f(z,x,y)dV 解解小小结结1.柱面坐标系下柱面坐标系下两种坐标系下三重积分的计算两种坐标系下三重积分的计算由柱面与直角坐标的关系由柱面与直角坐标的关系有有体积元素体积元素若若则则且被积函数含有且被积函数含有 常用极坐标常用极坐标 且被积函数含有且被积函数含有 常用极坐标常用极坐标 的侧面由圆柱面或的侧面由圆柱面或且被积函数含有且被积函数含有 常用柱坐标常用柱坐标 2.球面坐标球面坐标由球面坐标与直角坐标的关系：由球面坐标与直角坐标的关系：三重积分在球面坐标系下的形式：三重积分在球面坐标系下的形式：体积元素体积元素其中其中 一般地，空间区域一般地，空间区域 包含原点在其内包含原点在其内部，边界曲面为部，边界曲面为 则有则有 当当 的边界由球面、锥面等围成，且的边界由球面、锥面等围成，且被积函数中含有被积函数中含有常用球面坐标常用球面坐标常用球面坐标常用球面坐标§§5 5 重积分换元法及含重积分换元法及含参积分参积分1.二重积分的换元公式：二重积分的换元公式：x,y的的范围范围u,v的范围的范围要加绝对值要加绝对值利用一般换元法求二重积分利用一般换元法求二重积分步骤：步骤： ⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;(3)在变换下确定u,v的范围△;作图(4)代入换元公式，化为关于u,v的二重积分;(5)用§2求二重积分的方法求出其值。

题型一：引入变量替换后，化为累次积分题型一：引入变量替换后，化为累次积分题型二：作适当的变量替换，计算二重积分题型二：作适当的变量替换，计算二重积分例例1 1解解例例2 2解解2、三重积分的换元公式、三重积分的换元公式设作变换 且假设这些函数建立了区域 的点 与区域 的点 之间一一对应关系，并且这些函数在所论区域内有连续偏导数这时存在逆变换于是三重积分的换元法则为在 坐标内，体积元素为 在区域 的个别点上或某条曲线,某块曲面上等于零,而在其它点处非零时,换元法仍然成立.小结小结基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易．变换后定限简便，求积容易． 级数与积分是构造函数的两个重要级数与积分是构造函数的两个重要分析工具我们已经介绍了一种利用定分析工具我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数积分构造的函数──积分上限的函数积分上限的函数 下面介绍另一种利用下面介绍另一种利用 Riemann 积分构造积分构造的函数的函数──含参变量的积分，并研究它们含参变量的积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性。

的分析性质：连续性、可微性、可积性* *第五节第五节一、被积函数含参变量的积分一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分二、积分限含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 含参变量的积分 第八章 一、被积函数含参变量的积分上的连续函数, 则积分确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.含参积分的性质 定理定理1.(连续性连续性) 上连续,则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续.— 连续性, 可积性, 可导性 : ①机动 目录 上页 下页 返回 结束 证:在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即只要就有就有 这说明机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 表明表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. 同理可证, 续, 则含参变量的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 由连续性定理易得下述可积性定理: 定理2. (可积性)上连续,同样, 推论推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,即机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. (可导性)都在证证: 令函数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因上式左边的变上限积分可导, 因此右边 且有此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.解解: 由被积函数的特点想到积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.解解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数显然, 由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 故因此得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分限含参变量的积分在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如, 为定义在区域 上的连续函数, 则 也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .利用前面的定理可推出这种含参积分的性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理4.(连续性)上连续, 则函数证证: 令 则由于被积函数在矩形域上连续, 由定理1知, 上述积分确定的函数定理5. (可微性)都在中的可微函数, 则证证:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用复合函数求导法则及变限积分求导利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.验证当验证当 | x | 充分小时充分小时, 函数函数的的 n 阶导数存在阶导数存在, 且且证证: 令令 在原点的某个闭矩形邻域内连续在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理由定理5 可得可得即即同理同理当当 x = 0 时，有时，有作业作业 (*习题8-5)P209 1(3) ; 3 ; 4 (1) ; 5 (2); 6(1)习题课 目录 上页 下页 返回 结束 含参量反常积分含参量反常积分设设 是定义在无界区域是定义在无界区域 上上, 若对每一个固定的若对每一个固定的 , 反常积分反常积分 都收敛都收敛,则它的值是则它的值是 在区间在区间 上取值的函数上取值的函数,表为表为 称为定义在称为定义在 上的含参量上的含参量 的无穷限反常积分的无穷限反常积分, 或或 简称为含参量反常积分简称为含参量反常积分.1. 积分顺序交换定理2. 积分号下求导的定理例例6 计算积分 解解 令 在第二项积分中令 得 故 。