(二)向量方法证明空间线面垂直关系.docx

学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线垂直思考假设直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量与的坐标，假设·＝0，那么两直线垂直，否那么不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，假设数量积为零，那么两直线垂直，否那么不垂直.梳理设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，那么l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.知识点二向量法判断线面垂直思考假设直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，那么直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线⇒l⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内.(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l⊥α.梳理设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，那么l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R).知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理假设平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，那么α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.类型一证明线线垂直例1正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.证明设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如下图的空间直角坐标系.由得A，B，C，N，B1，∵M为BC中点，∴M.∴＝，＝(1，0，1)，∴·＝－＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.反思与感悟证明两直线垂直的根本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.证明∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.那么C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，∴·＝0.∴AC⊥BC1.类型二证明线面垂直例2如下图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.证明如下图，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，那么B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0).因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法与步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.证明如图建系，C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B1(1，1，2)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(1，1，1)，＝(0，－1，－2)，＝(－1，0，－2).·＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0，所以⊥，即PB1⊥PC.又·＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，所以⊥，即PB1⊥PA.又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.类型三证明面面垂直例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如下图的空间直角坐标系，那么A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝(－2，0，).设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，那么即令x＝1，得y＝1，故n1＝(1，1，0).设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，那么即令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1，4).因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.证明以B为原点建立如下图的空间直角坐标系，设A(0，0，a)，那么易得B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F(0，a，)，故＝(0，0，－a)，＝.设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，那么即取x1＝1，∴n1＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量.设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2＝(1，1，－).∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.1.以下命题中，正确命题的个数为()①假设n1，n2分别是平面α，β的法向量，那么n1∥n2⇔α∥β；②假设n1，n2分别是平面α，β的法向量，那么α⊥β⇔n1·n2＝0；③假设n是平面α的法向量，a与平面α平行，那么n·a＝0；④假设两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面不垂直.A.1B.2C.3D.4答案C解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.2.两直线的方向向量为a，b，那么以下选项中能使两直线垂直的为()A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，应选B.3.假设直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，那么()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，那么平面α与平面β的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.平面α与平面β垂直，假设平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，那么t的值为________.答案5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90°.(2)假设直线与平面垂直，那么此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面α(1)假设l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，那么l⊥α.(2)假设l∥m，m⊥α，那么l⊥α(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l，m和平面α，β(1)假设l⊥α，l⊂β，那么α⊥β.(2)假设l⊥α，m⊥β，l⊥m，那么α⊥β.(3)假设平面α与β相交所成的二面角为直角，那么α⊥β证明两个平面的法向量互相垂直40分钟课时作业一、选择题1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，假设l1⊥l2，那么m等于()A.－2B.2C.6D.10答案D解析因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2.假设平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，那么x的值为()A.10B.－10C.D.－答案B解析因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3.点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，假设PA⊥平面ABC，那么点P的坐标为()A.(1，0，－2) B.(1，0，2) C.(－1，0，2) D.(2，0，－1)答案C解析由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，假设E为A1C1的中点，那么直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案B解析建立如下图的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，那么A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E，∴＝，＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(0，－1，－1)，＝(0，0，－1)，∵·＝(－1)×(－)＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.5.假设平面α，β垂直，那么下面可以作为这两个平面的法向量的是()A.n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1)B.n1＝(1，1，2)，n2＝(－2，1，1)C.n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1)D.n1＝(1，2，1)，n2＝(0，－2，－2)答案A解析∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，∴n1·n2＝0，应选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，假设α⊥β，那么y＋z的值是()A.－3B.6C.－6D.－12答案B解析α⊥β⇒μ·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.二、填空题7.在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，那么异面直线SC与BC是否垂直________.(填“是〞或“否〞)答案是解析如图，以A为原点，AB，AS分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么由AC＝2，BC＝，SB＝，得B(0，，0)，S(0，0，2)，C，＝，＝.因为·＝0，所以SC⊥BC.8.点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的选项是________.(填序号)答案①②③解析∵·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP⊥AB，即①正确；∵·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP⊥AD，即②正确；又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，即是平面ABCD的一个法向量，即③正确；∵是平面ABCD的法向量，∴⊥，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2cosx＋1，2cos2x＋2，0)和点Q(cosx，－1，3)，其中x∈[0，π].假设直线OP与直线OQ垂直，那么x的值为________.答案或解析由题意得⊥，∴cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0.∴2cos2x－cosx＝0，∴cosx＝0或cosx＝.又x∈[0，π]，∴x＝或x＝.10.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).假设向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，那么n的坐标为________________.答案(－2，4，1)或(2，－4，－1)解析据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2).设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，∴即可得∵|n|＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.证明：CD⊥平面PAE.证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA＝h，那么相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).易知＝(－4，2，0)，＝(2，4，0)，＝(0，0，h).因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.证明建立如下图空间直角坐标系，那么P(0，0，1)，B(0，1，0)，F，D，设BE＝x(0≤x≤)，那么E(x，1，0)，·＝(x，1，－1)·＝0，所以x∈[0， ]时都有PE⊥AF，即无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.13.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证：A1E⊥BD；(2)假设平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置.(1)证明以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，那么A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).设E(0，a，e) (0≤e≤a)，＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴⊥，即A1E⊥BD.(2)解设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)，∴取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)，由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2，∴2－＝0，即e＝.∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.10 / 10。