材料力学：扭转.ppt

扭扭 转转北方交通大学北方交通大学2024年年9月月13日日应力应力材料力学解决问题的步骤：材料力学解决问题的步骤：内力内力强度、强度、刚度刚度校核校核设计截面尺寸设计截面尺寸确定许可载荷确定许可载荷外力外力变形变形工程实际问题工程实际问题解超静定问题解超静定问题强度条件强度条件刚度条件刚度条件主要内容和重点主要内容和重点: :扭转的概念扭转的概念外力偶的计算、扭矩、扭矩图外力偶的计算、扭矩、扭矩图纯剪切纯剪切圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的刚度计算 工程实例工程实例1.1.扭转的概念和实例扭转的概念和实例M工程实例工程实例传动轴传动轴传动轴传动轴变形特征：变形特征：各横截面间绕各横截面间绕轴线轴线作相对旋转，轴线仍为作相对旋转，轴线仍为 直线－直线－扭转变形扭转变形外力特征：外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶作用面垂直于杆轴的力偶扭转与轴：扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转扭转 以扭转为主要变形的杆件－以扭转为主要变形的杆件－轴轴2.2.外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩扭矩 扭矩图扭矩图 2.1 外力偶矩外力偶矩若功率的单位为马力若功率的单位为马力:已知：动动力力装装置置的的输输出出功功率率 P（（kW））, ,转速转速 n（（r/min））试求：传递给轴的扭力偶矩传递给轴的扭力偶矩 M（（N.m））设角速度为设角速度为   (rad/s)2.2 扭矩扭矩 扭矩图扭矩图扭矩扭矩(T)：：杆件扭转时横截面上的内力。

杆件扭转时横截面上的内力截面法截面法符号：符号： 右手螺旋法则右手螺旋法则 扭矩矢量方向与截面外法扭矩矢量方向与截面外法线法线一致，则扭矩为正线法线一致，则扭矩为正3. 扭矩图扭矩图oTx矢量方向垂直于横截面的内力偶矩矢量方向垂直于横截面的内力偶矩表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－曲线）－扭矩图扭矩图例题例题1：已知：：已知：A、、B、、C的传输功率为的传输功率为PA＝＝4kW PB=10kW PC=6kW n=500r/min 试作轴的扭矩图试作轴的扭矩图1. 外力偶矩外力偶矩2. 扭矩（扭矩（设正法设正法））3. 画扭矩图画扭矩图T1＝＝76.4N.mT2=－－115N.m（（m－－轴单位长度内的扭力偶矩轴单位长度内的扭力偶矩））试作轴的扭矩图试作轴的扭矩图拓展：拓展：3.3.纯剪切纯剪切3.1 薄壁圆筒扭转时的剪应力：薄壁圆筒扭转时的剪应力： 当变形很小时，当变形很小时，各圆周线的各圆周线的大小与间距均不改变大小与间距均不改变 各圆周线的形状不变各圆周线的形状不变, ,仅绕轴线作相对转动。

仅绕轴线作相对转动假设：切应力沿壁厚均匀分布假设：切应力沿壁厚均匀分布适用范围：适用范围：适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、 非弹性、线性与非线性等情况非弹性、线性与非线性等情况精度精度：：线弹性情况下线弹性情况下, ,当当d d   R0/10 时时, ,误差误差   4.53%各截面上应力？各截面上应力？3.2 剪应力互等定理：剪应力互等定理：τ'在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向则均指向或离开该交线－等，方向则均指向或离开该交线－切应力互等定理切应力互等定理截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证）截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证）微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态－微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态－纯剪切纯剪切纯剪切状态纯剪切状态概念复习强化：概念复习强化：τ'纯剪切状态纯剪切状态直杆轴向拉（压）时直杆轴向拉（压）时: :FF单向拉伸状态单向拉伸状态3.3 剪切胡克定律剪切胡克定律φm引入比例常数引入比例常数G在剪切比例极限内，切应力与切在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比应变成正比－剪切胡克定律G－－切变模量切变模量，其量纲与应力相同，其量纲与应力相同常用单位为常用单位为GPa实验表明：当切应力实验表明：当切应力   不超过一定限度不超过一定限度 p 时时 p－－剪切比例极限剪切比例极限3.4 剪切变形比能剪切变形比能dW= (τdyt) γdx /2dV =dWv  = dV  /dV= (τγ) /2= τ2/2G4.4.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力各各横截面横截面如同刚性平面，仅如同刚性平面，仅绕轴线绕轴线作相对转动作相对转动横截面仍保持平面，半径保持直线横截面仍保持平面，半径保持直线横截面仍保持平面，半径保持直线横截面仍保持平面，半径保持直线 当变形很小时，当变形很小时，各圆周线的各圆周线的大小与间距均不改变大小与间距均不改变扭转平面假设试验现象 各圆周线的形状不变各圆周线的形状不变, ,仅绕轴线作相对转动仅绕轴线作相对转动从试验、假设入手从试验、假设入手, ,综合考虑综合考虑几何、物理与静力学几何、物理与静力学三方面三方面 Me Me j物理方面物理方面几何方面几何方面dj j / / dx－－扭转角变化率扭转角变化率 ＝＝G  静力学方面静力学方面应力与变形公式应力与变形公式－－极惯性矩极惯性矩－－抗扭截面系数抗扭截面系数公式的适用范围：公式的适用范围：圆截面轴圆截面轴 max≤≤ p 空心圆截面空心圆截面 实心圆截面实心圆截面－－极惯性矩极惯性矩解：解：1 1）） 求作用在轴上的外力偶矩求作用在轴上的外力偶矩2) 2) 作扭矩图作扭矩图 例题例题2 2 外径外径 D =40mm,内径内径 d =20mm 空心圆轴，转速空心圆轴，转速n=300 =300 rpm，主动轮，主动轮A输入功率输入功率PA=22.1kW，从动轮，从动轮 B、、C 输出功率分别为输出功率分别为PB=14.8kW，，PC=7.3kW。

求：整求：整个轴的最大切应力和最小切应力个轴的最大切应力和最小切应力 AB段各截面外圆周上各点段各截面外圆周上各点4 4）最小切应力）最小切应力 在在CA 段各截面上内圆周上各点段各截面上内圆周上各点 3 3）最大切应力）最大切应力例例 3 已知已知MC= 2MA= 2MB=200N·m；；AB段，段，d=20mm；；BC段，段，di=15mm，，do=25mm求各段最大扭转切应力求各段最大扭转切应力解：：低碳钢低碳钢铸铁铸铁  扭转失效与极限应力扭转失效与极限应力塑性材料塑性材料屈服屈服断裂断裂脆性材料脆性材料断裂断裂塑性材料：塑性材料：扭转屈服应力扭转屈服应力 s 脆性材料：脆性材料：扭转强度极限扭转强度极限 b扭转屈服应力扭转屈服应力 s ：：圆轴扭转圆轴扭转屈服时屈服时横截面上横截面上切应力切应力扭转极限应力 u扭转失效形式扭转强度极限扭转强度极限 b：：圆轴圆轴扭转断裂过程中扭转断裂过程中横截面上的横截面上的最大切应力最大切应力γτ 许用切应力许用切应力 u－－材料的扭转极限应力材料的扭转极限应力n - 安全因数安全因数塑性材料塑性材料：：[   =（（0.5~0.577）） s s 脆性材料脆性材料：：[   = （（0.8~1.0）） s st 危险点处于纯剪切状态，又有危险点处于纯剪切状态，又有塑性材料：塑性材料：扭转屈服应力扭转屈服应力 s 脆性材料：脆性材料：扭转强度极限扭转强度极限 b扭转极限应力 u 圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件为保证轴不发生强度失效，要求轴内的 最 大扭 转 切 应 力 不 得 超 过 扭 转 许 用 切 应 力—圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件校核校核 设计截面尺寸设计截面尺寸 确定许用载荷确定许用载荷ABC解解解解：：作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图MAMBMC22 kNkN·mm14 kNkN·mm+_分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度例题例题4 图示阶梯圆轴图示阶梯圆轴, ,ABAB段的直径段的直径d1=120mm, ,BC 段的直径段的直径 d2=100mm. .扭转力偶矩为扭转力偶矩为MA = 22 kN·m, MB = 36 kN·m ,MC =14 kN·m. 已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力[ ] = 80MPa,试试校核该轴的强度。

校核该轴的强度轴安全轴安全轴安全轴安全T例题例题例题例题5 5 5 5：已知：已知：已知：已知：：N N＝＝7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,许用剪应力许用剪应力＝＝4040MPa,MPa,空心圆轴的内外径之比空心圆轴的内外径之比   = 0.5 = 0.5求求求求: : 实心轴实心轴的直径的直径d d1 1和空心轴的外径和空心轴的外径D D2 2NM=9549n7.5= 9549  100=716.2 N.m=0.045 m=45 mm max=Wt116 TT=  d13≤[ ]=40 MPad1 ≥16  716. 2    40   1063实心圆截面：实心圆截面：强度条件：强度条件： max=≤[ ]=40 MPaWt2M16 M=  D3(1-   4)=0.046 m =46 mmD =16  716.2  (1- 0.5 4)   40   106d = 0.5D= 23 mmA1A2=d12D2(1-   2)=1.28为什么承受同样的外力偶矩，为什么承受同样的外力偶矩，空心轴比实心轴更合理空心轴比实心轴更合理 空心圆截面：空心圆截面：3为什么承受同样的外力偶矩，为什么承受同样的外力偶矩，为什么承受同样的外力偶矩，为什么承受同样的外力偶矩，空心轴比实心轴更合理空心轴比实心轴更合理空心轴比实心轴更合理空心轴比实心轴更合理 若若 Ro/d d 过大过大将产生皱褶将产生皱褶空心截面比空心截面比实心截面好实心截面好解：解：1 1、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩课堂练习课堂练习3求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力；横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度并校核各轴强度。

已知：已知：输入功率输入功率P1＝＝14kW,P2= P3=P1/2，，n1=n2=120r/min, n3=360r/min, d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.[ ]=30MPa.T1=M1=1114 N.mT2=M2=557 N.mT3=M3=185.7 N.m安全安全安全安全3 3、各轴的最大切应力、各轴的最大切应力，，校核各轴强度校核各轴强度5.5.圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 扭转扭转变形变形用两个横截面绕轴线的用两个横截面绕轴线的相对扭转角相对扭转角表示表示相距相距dx的两横截面间扭转角：的两横截面间扭转角：扭转变形一般公式GIp－－圆轴圆轴截面扭转刚度截面扭转刚度，，简称简称扭转刚度扭转刚度常扭矩等截面圆轴1 1kN.mkN.m 2kN.m2kN.m3.5kN.m3.5kN.m 0.5kN.m0.5kN.m例题例题6:6:已知轴的直径已知轴的直径d=10cm，，G=80GPa，，a=0.5m，，求求（（1 1）画扭矩图（）画扭矩图（2 2）） max（（3 3））CD两截面间扭转角两截面间扭转角φ CD、、AD两截面间扭转角两截面间扭转角φ AD2aa4aABCD1 1kN.mkN.m 2kN.m2kN.m3.5kN.m3.5kN.m 0.5kN.m0.5kN.m例题例题6:已知轴的直径已知轴的直径d=10cm，，G=80GPa，，a=0.5m，，求求（（1）画扭矩图（）画扭矩图（2）） max（（3））CD两截面间扭转角两截面间扭转角φφ CD、、AD两截面间扭转角两截面间扭转角φφ AD2a2aa a4a4aABCD1kN N.m3kN N.m0.5kN N.m+-解解:T1 1kN.mkN.m 2kN.m2kN.m3.5kN.m3.5kN.m 0.5kN.m0.5kN.m例题例题例题例题6:6:已知轴的直径已知轴的直径已知轴的直径已知轴的直径d=10cmd=10cm，，，，G=80GPaG=80GPa，，，，a=0.5ma=0.5m，，，，求求求求（（（（1 1））））画扭矩图（画扭矩图（画扭矩图（画扭矩图（2 2））））   maxmax（（（（3 3））））CDCD两截面间扭转角两截面间扭转角两截面间扭转角两截面间扭转角φφφφ CDCD、、、、ADAD两截两截两截两截面间扭转角面间扭转角面间扭转角面间扭转角φφφφ ADAD2a2aa a4a4aABCD1kN N.m3kN N.m0.5kN N.m+-1 1kN.mkN.m 2kN.m2kN.m3.5kN.m3.5kN.m 0.5kN.m0.5kN.m2a2aa a4a4aABCD1kN N.m3kN N.m0.5kN N.m+-例题例题例题例题6:6:已知轴的直径已知轴的直径已知轴的直径已知轴的直径d=10cmd=10cm，，，，G=80GPaG=80GPa，，，，a=0.5ma=0.5m，，，，求求求求（（（（1 1）画扭）画扭）画扭）画扭矩图（矩图（矩图（矩图（2 2））））   maxmax（（（（3 3））））CDCD两截面间扭两截面间扭两截面间扭两截面间扭转角转角转角转角φφφφCDCD、、、、ADAD两截面两截面两截面两截面间扭转角间扭转角间扭转角间扭转角φφφφ ADAD课堂讨论：课堂讨论：如何计算图示圆锥形轴的扭转角？如何计算图示圆锥形轴的扭转角？解：解：刚度条件刚度条件—圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 q q  －－单位长度的许用扭转角单位长度的许用扭转角  注意单位换算注意单位换算:  一般传动轴，一般传动轴， [q q ] = 0.5 ~1 ( )/m例题例题例题例题7:7:7:7:已知：传动轴主动轴输出功率已知：传动轴主动轴输出功率P PB B＝＝60kW 60kW n=300r/min n=300r/min P PA A=P=PC C=P=PD D=20kW =20kW 轴为直径轴为直径d d=55mm=55mm的实心轴的实心轴 G=80GPa [τ]=40MPa [θ]=1G=80GPa [τ]=40MPa [θ]=10 0/m /m 试校核该轴。

试校核该轴1. 求外力偶矩求外力偶矩2. 画扭矩图画扭矩图 Tmax=1273N.m3. 校核校核例题例题例题例题7:7:7:7:已知：传动轴主动轴输出功率已知：传动轴主动轴输出功率P PB B＝＝60kW 60kW n=300r/min n=300r/min P PA A=P=PC C=P=PD D=20kW =20kW 轴为直径轴为直径d d=55mm=55mm的实心轴的实心轴 G=80GPa [τ]=40MPa [θ]=1G=80GPa [τ]=40MPa [θ]=10 0/m /m 试校核该轴试校核该轴MM0ABCL1L2例题例题8:已知已知 L1=1.5m, L2=1m, d1=70mm, d2=50mm,[ ]=60MPa，，G 1 = G 1=G 试求试求:[M0]CM0ABMAMC解解:平衡方程平衡方程:变形协调方程变形协调方程:CM0ABMAMC例题例题例题例题8:8:已知已知已知已知 L L1 1=1.5m, L=1.5m, L2 2=1m, =1m, d d1 1=70mm, =70mm, d d2 2=50mm,[=50mm,[   ]=60MPa]=60MPa。

试求试求试求试求: :[ [MM0 0] ]例题例题9 ：已知凸缘联轴节用螺栓连接，轴的：已知凸缘联轴节用螺栓连接，轴的τmax=70MPa 直径直径d1=10cm 螺栓直径螺栓直径d2＝＝2 cm [τ2]=40MPaD=20cm试确定所需螺栓个数试确定所需螺栓个数1. 确定确定T2. 螺栓受力、变形螺栓受力、变形PP由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：得得n=7.3 取取n=8TP6.6.非圆截面扭转的概念非圆截面扭转的概念  圆轴平面假设不适用于非圆截面轴圆轴平面假设不适用于非圆截面轴试验现象  横横截面翘曲截面翘曲, 角点处角点处   为零为零, 侧面中点处侧面中点处   最最大大自由扭转：自由扭转：横截面上只有剪应力，没有正应力横截面上只有剪应力，没有正应力约束扭转：约束扭转：横截面上既有剪应力，又有正应力横截面上既有剪应力，又有正应力翘曲翘曲矩形截面杆自由扭转：矩形截面杆自由扭转：应力分布特点 横截面上角点处，切应力为零横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边截面周边 横截面周边长边中点处，切应力最大横截面周边长边中点处，切应力最大弹性力学解系数系数  , , b b, ,   表表长边中点长边中点   最大最大h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0∞α α0.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.3070.3130.333β β0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333ν ν1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.7431.1.传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩越大；传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩越大；2.2.扭矩只与轴所受的外力偶矩有关，与轴的材料、扭矩只与轴所受的外力偶矩有关，与轴的材料、 横截面形状、大小无关；横截面形状、大小无关；课堂讨论：下列论述是否正确？课堂讨论：下列论述是否正确？课堂讨论：下列论述是否正确？课堂讨论：下列论述是否正确？3.3.等截面直杆产生扭转变形后，杆件横截面的形等截面直杆产生扭转变形后，杆件横截面的形状、大小都保持不变；状、大小都保持不变；4.4.圆截面杆扭转时的平面假设，仅弹性范围圆截面杆扭转时的平面假设，仅弹性范围成立；成立；5.5.圆轴扭转时，横截面、纵截面均保持平面；圆轴扭转时，横截面、纵截面均保持平面；6.6.一钢轴和一橡皮轴，若两轴直径、受力相同，一钢轴和一橡皮轴，若两轴直径、受力相同，则弹性范围内，两轴在横截面上的剪应力也则弹性范围内，两轴在横截面上的剪应力也相同。

相同若组合截面轴若组合截面轴G G空空<