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高等数学课后习题答案4上海交大版第四章 微分中值定理和导数的应用 x在区间上的正确性 t1(验证罗尔定理对函数0,3πyex,sin,,x(0,3),yy(0)(3)0,,,解答:因为函数在区间上连续，在内可导，且，满足0,3,yex,sin,,3xy'()0,,罗尔定理条件，又由于，当时，，即罗尔定理的yexx'(sincos),，,,,,,(0,3)4结论成立验证完毕 所属章节:第四章第一节 难度:一级 yx,arctan2(验证拉格朗日定理对函数在区间上的正确性 0,1,,(0,1)yx,arctan解答:因为函数0,1在区间上连续，在内可导，满足拉格朗日定理条件，又,,4,,1yy(1)(0),,,,(0,1)由于，当时，，即拉格朗日定理的结论成立y',y'(),,,2,1，x104,验证完毕 所属章节:第四章第一节 难度:一级 ,3(就下列函数及其区间，求罗尔定理或拉格朗日定理中的值: ππ5，，fxx()lnsin,,,(1); ,,66，，fxx()arcsin,1,1,,(2); ,,2fxaxbxcxxhh(),,(0),，，，,(3). (原题少右上标2) ,,00π,,5fx'()cot0,,,解答:(1)由于，令，有; ,,,,,ff()ln2()x,,2662π,41(1)(1)ff,,,,,,,,(2)由于，令f'(),,,，得; ff(1),(1),,,,,x,,2π1(1)2,,221,x22(3)由于fxhaxhbxhcfxaxbxc()()(),()，,，，，，,，，，令 000000fxhfx()()，,100，得。

,,,，faxbaxahb'()(2)2,，,,，，xhx,,00h2所属章节:第四章第一节 83 难度:一级 14(函数在区间上是否满足拉格朗日定理的条件, ab,fx(),,,x参考答案:当0,(),abfx时，满足拉格朗日定理的条件，当0,(),abfx时，不满足拉格朗,,,,日定理的条件 11()()1fbfa,1解答:由于，当时，有导数，所以当x,0fx'(),,fbfa(),(),,,,,2xbabaab,0,(),abfx时，满足拉格朗日定理的条件，且或;当0,(),abfx时，由,,ab,,,ab,,,,于有不可导点，不满足拉格朗日定理的条件 所属章节:第四章第一节 难度:二级 25(验证函数在区间1,4上满足柯西定理的条件 fxxgxx(),(),,,,2(1,4)(1,4)解答:函数在闭区间1,4上连续，在开区间内可导，在区间内fxxgxx(),(),,,,1gx'()0,,，所以满足柯西定理的条件 2x所属章节:第四章第一节 难度:一级 nn,1nn,,126(若方程有一正根，则方程axaxax，，,,,，,0anxanxa，,，,,,，,(1)0xx,0011n,011n,必有一个小于的正根。

x0nn,1fx()0,x解答:令 ，则由条件知函数在区间上满足罗尔定理fxaxaxax(),，，,,,，,,0011n,nn,,12f'()0,,,条件，所以至少存在正数使，即为方程anxanxa，,，,,,，,(1)0,,(0,)x0011n,小于的正根，得证 x0所属章节:第四章第一节 难度:二级 fx()fafbfc()()(),,(,)abab,7(若在上二阶可导，且，其中c是内的某一点，求证方程,,,,fx()0,(,)ab在内必有一实根 fx()accb,,[,]解答:由题设条件知函数在上均满足罗尔定理条件，于是存在,,，使，再在区间上应用罗尔定理，有,,,,(,),(,)accbff()()0,,,,[,],,12121284 ,,,,f()0,,fx()0,(,)ab，使，也即方程在内必有一实根 ,,,,,(,)(,)ab12所属章节:第四章第一节 难度:二级 3xxc,，,30(0,1)8(证明方程在开区间内不含有两个相异的实根 3xxc,，,30(0,1)解答:反证法假设方程在开区间内含有两个相异的实根，记为，其xx,12333中，且，则在区间上对函数应用xxcxxc,，,,，,30, 30xx,[,]xxfxxxc()3,,，121211222,,,1罗尔定理，存在，使，即有，与矛,,,(,)(0,1)xx,,,(,)(0,1)xxf'()330,,,,,12123(0,1)xxc,，,30盾。

所以方程在开区间内不含有两个相异的实根 所属章节:第四章第一节 难度:二级 aaann,101n,19(设，证明方程在0与1之间至少axaxaxa，，,,,，，,0，，,,,，，,0an011nn,，12nn有一实根 aaann，12nn,1011n,解答:令 ，则，由fxaxaxaxa'(),，，,,,，，(),，，,,,，，fxxxxaxn011nn,，12nnfx(),,(0,1)题设条件知函数0,1在区间上满足罗尔定理条件，所以至少存在实数使,,nn,1f'()0,,,，即为方程在0与1之间的实根，得证 axaxaxa，，,,,，，,0011nn,所属章节:第四章第一节 难度:二级 ,fxxxxx()(1)(2)(3)(4),,,,,fx()0,10(不求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间 ,ffff(1)(2)(3)(4)0,,,,fx()0,解答:因为，所以由罗尔定理知方程至少有三个实根，fx()fx'()1,2(2,3)(3,4)、、分别在区间内，同时由于函数为四次多项式，则函数为三次多项，，,fx()0,式，故方程最多有这三个实根 所属章节:第四章第一节 难度:二级 ab，fx()(,)abab,11(设在上连续，在内可导，且，试证:至少fafbfaf()()0,()()0,,,,285 ,,,(,)abff()(),,,存在一点，使。

ab，ab，【题设条件有误，是否应为,以fafbfaf()()0,()()0,,fafbfaf()()0,()()0,,22下解答按此条件进行】 ab，ab，，，，，fx()a,,b解答:对函数在区间及上分别利用闭区间上连续函数的零点存在定,,,,22，，，，abab，，,x理，有使，再对函数应用罗尔定理，ff()()0,,,,,,(,),(,)abFxfx()()e,,,121222,F'()0,,ff()(),,,则至少存在一点，使，即 ,,,,,(,)(,)ab12所属章节:第四章第一节 难度:三级 fx()x,fx()fxfx()(),f0)1(,,,，,,12(设在内满足，且，证明提示:令) fx()e,,,()x，，xefx(),,()xfxfx()(),,,，,,解答:令，则函数在区间内可导，由于，有 ,,()x，，xefxfx'()(),f(0),()xC,f(0)1,，故(其中为常数)又由得，C,,,,,'()0x,,(0)(0)1fx0eefx()x故C,1，即，因此 ,,,fx()e,()1xxe所属章节:第四章第一节 难度:二级 13(利用拉格朗日中值定理证明下列不等式: nnnn,,11(1)若0,,ab，当n,1时，; nababanbba()(),,,,,x(2)若; xxx,,，,0,ln(1)1，xsinsinxyxy,,,(3); arctanarctanabab,,,(4). n[,]ab(,)ab解答:(1)对函数，当n,1时，由于它在上连续，在内可导，应用拉格fxx(),nnn,1,,(,)abab,,,朗日中值定理，存在，使，由于，故bafbanba,,,,,'()()(),,nnn,,,111nnnn,,11，即; nabanbanbba()()(),,,,,,nababanbba()(),,,,,fxx()ln(1),，[0,]x(0,)xx,0(2)对函数，当时，由于它在上连续，在内可导，应用拉格86 x,,(0,)x0,,,xfxfxfx()(0)ln(1)ln1'(),,，,,,,朗日中值定理，存在，使，由于，1，,xxx,,x，故有; ,，,ln(1)xx11x,，，1，xfxx()sin,[,]yx(,)yx，当时，由于它在上连续，在内可导，应用拉格朗(3)对函数yx,,,(,)yx日中值定理，存在，使sinsin'()()cos()xyfxyxyxy,,,,,,,,,,;当时xy,类似可证，当时，结论显然。

证毕 xy,fxx()arctan,[,]ab[,]ba(4)对函数在区间或上应用拉格朗日中值定理，ab, ，当时，结论显然 ab,arctanarctan'()()abfabab,,,,,,,21，,所属章节:第四章第一节 难度:二级 ,,fxgx(),()fxgx(),()(,)abab,14(设在上连续，在内存在，证明: ,,,fafbfaf() ()()(),,，其中在a和b之间 ,,() ba,gagbgag() ()()(),Fxfagxfxga()()()()(),,[,]ab(,)ab解答:对函数，由于它在区间上连续，在内可导，应用,,(,)abFbFaFba()()'()(),,,,拉格朗日中值定理，存在，使，即,fafbfaf() ()()(),，证毕 ,,() ba,gagbgag() ()()(),所属章节:第四章第一节 难度:二级 fx()(,)ab(,)ablim()fxlim()fx15(设在内连续可导，且与存在，证明:在内至少存在一，,xa,xb,,,lim()lim()()()fxfxfba,,,,点，使 ,，xbxa,,lim() fxxa,,，xa,,,[,]ab(,)ab解答:令 ，则它在区间上连续，在内可导，应用拉格Fxfxaxb()() ,,,,,lim() fxxb,,,xb,,87 ,,(,)abFbFaFba()()'()(),,,,朗日中值定理，存在，使，即 ,lim()lim()()()fxfxfba,,,,。

,，xbxa,,所属章节:第四章第一节 难度:二级 ,,fx()(,)abfx()0,(,)ab16(设函数在内二阶可导，且，证明:对内固定的及该区间内异x0,,,于的任一点x，必存在唯一的点，使得，其中在x和之间 fxfxfxx()()()(),x,,,x0000fx(),解答:对函数在或上应用拉格朗日中值定理，必存在在x和之间，使得[,]xx[,]xxx000,,，其中在x和之间; fxfxfxx()()()(),,,,x000,,,fx()0,如果这样的点不唯一，即至少有两点，再用罗尔定理可知存在的根，与条件矛盾 所属章节:第四章第一节 难度:二级 fx()(,)abfafb()()0,,fcacb()0(),,,ab,17(若在上连续，在内可导，且及存在c，使，,,,,(,)ab,f()0,,证明:在内必存在，使 fx()accb,,[,]解答:由题设条件知函数在上均满足拉格朗日中值定理条件，于是存在,,fcfafbfc()()()(),,，使 ,,,,(,),(,)accb,,ff'()0,'()0,,,,1212cabc,,再在区间上应用拉格朗日中值定理，有，使,,,,,(,)(,)ab[,],,1212ff'()'(),,,21,,f()0,,，证毕。

,,,,21所属章节:第四章第一节 难度:三级 ,fx()(,)abfx。