2023年北师大版九年级上册数学复习知识点总结归纳及例题.pdf

名师总结 优秀知识点 数学九年级上册知识点总结 第一章 特殊的平行四边形复习 中考考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件 知识目标 掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法 重难点： 1. 矩形、菱形性质及判定的应用 2. 相关知识的综合应用 知识点归纳 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等 , 每条对角线平分一组对角 判定 · 有三个角是直角 ; ·是平行四边形且有一个角是直角 ; ·是平行四边形且两条对角线相等 . ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等； ·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 一．矩形 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形． 【强调】 矩形（1）是平行四边形； （2）一一个角是直角． 矩形的性质 性质 1 矩形的四个角都是直角； 性质 2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质 ； 矩形的判定 矩形判定方法 1:对角线相等的平行四边形是矩形． 注意此方法包括两个条件： （1）是一个平行四边形； （2）对角线相等 矩形判定方法 2:四个角都是直角的四边形是矩形． 名师总结 优秀知识点 矩形判断方法 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形 例 1：若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为 例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ） A． 对角线互相平分； B. 四条边都相等； C. 对角相等； D. 邻角互补 例 3： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，•H ， • 求证：• 四边形 EFGH 是矩形． 二．菱形 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【强调】 菱形（1）是平行四边形； （2）一组邻边相等． 菱形的性质 性质 1 菱形的四条边都相等； 性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； 菱形的判定 菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意此方法包括两个条件： （1）是一个平行四边形； （2）两条对角线互相垂直． 菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形． 例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD=∠CBE． 例 2 已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F． 求证：四边形 AFCE 是菱形． 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 例 3 、如 图 ， 在 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、BC 分别交于 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. 例 4、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 、BD 交于 M， 若 AB=AE,∠EAD=2∠BAE。

求证：AM=BE 例 5． （10 湖南益阳）如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60° ,AB=4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB，垂足为 E． (1)求线段BE的长． 例 6、 （2011 四川自贡）如图，四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E，DF⊥BC，交BC 的延长线于 F请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想 ABCDEFO12 B M A D C E DABCOE60用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 例 7、 （2011 山东烟台） 如图， 菱形 ABCD 的边长为 2， BD=2， E、 F 分别是边 AD， CD 上的两个动点， 且满足 AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围. 三．正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴； 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45° ；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质． 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形的判定方法： • (1)有一个角是直角的菱形是正方形； • (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． • 注意：1、正方形概念的三个要点： • （1）是平行四边形； • （2）有一个角是直角； • （3）有一组邻边相等． 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. OB 例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是上的一点，DG⊥AE 于 G，DG 交 OA 于 F． 求证：OE=OF． 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1∥l2，作 BM⊥l1于 M，DN⊥l1于 N，直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P 点． 求证：四边形 PQMN 是正方形． 例 3、 （2011 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC上一动点（P 与 A、C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB . （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； ② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值. 实战演练： 1. 对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形 2. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形 3. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A．当 AB=BC 时，它是菱形 B．当 AC⊥BD 时，它是菱形 C．当∠ABC=900时，它是矩形 D．当 AC=BD 时，它是正方形 4. 如图，在ABC△中，点EDF， ，分别在边AB，BC，CA上，且DECA∥，DFBA∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形 5. 如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若6CD ，则AF等于（ ） A．4 3 B．3 3 C．4 2 D．8 6. 如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交ADBC，于EF，点，连结CE，则CDE△的周长为（ ） A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm 7. 在右图的方格纸中有一个菱形 ABCD（A、B、C、D 四点均为格点） ， D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A O B C D E F 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 若方格纸中每个最小正方形的边长为 1，则该菱形的面积为 8. 如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，已知1202.5AODAB，，则AC的长为 ． 9. 边长为５cm 的菱形，一条对角线长是 6cm，则另一条对角线的长是 . 10. 如图所示， 菱形ABCD中， 对角线ACBD，相交于点O， 若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可） ． 11. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ． 12. 如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与ABCD，的延长线分别交于EF，． （1）求证：BOEDOF△≌△； （2）当EF与AC满足什么关系时，以A ECF， ， ，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． 13. 将两块全等的含 30° 角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1． (1)四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________． (2)如图 2，将 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt△B1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________． (3)在 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为______时，四边形 ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点 B 的移动距离为______时，四边图 4 CADB图 3 CADB图 2 D1C1B1CADB图 1 3030BDACA B C D A B C D A D C B O B C D A P F D O C B E A 第12题图 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 形 ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图 3、图 4 用于探究) 应用探究： 1. 如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，若22.5DBC°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ） A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 2. 如图，正方形ABCD的面积为 1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（ ） A．310 B．13 C．25 D．49 3. 已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1与2一定不相等的是（ ） A． B． C． D． 4. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成 60°角重叠在一起（如图） ，则重叠四边形的面积为_______2.cm 5. 如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH＝3 厘米，EF＝4 厘米，则边 AD 的长是___________厘米. 6. 如图，已知AOBOAOB，，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB的平分线（请保留画图痕迹） ． 7. 如图：矩形纸片 ABCD，AB=2，点 E 在 BC 上，且 AE=EC．若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上，则 AC 的长是 ． A B F E O A B E C D C 22.5 D A C B M B A 1 D C 2 1 1 2 B A D C B A C 1 2 D 1 2 B A D C B F C A H D E G A B C D E 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 第二章 一元二次方程 一、一元二次方程 （一）一元二次方程定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

（二）一元二次方程的一般形式 ) 0( 02acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项 例 方程22(2)(3)20mmxm x  是一元二次方程，则____m . 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程 当0b时，bax，bax；当 b<0 时，方程没有实数根 例 第二象限内一点 A （x—1， x2—2） ， 关于 x 轴的对称点为 B， 且 AB=6， 则 x=_________． 2、配方法 一般步骤： （1） 方程) 0( 02acbxax两边同时除以a,将二次项系数化为 1. （2） 将所得方程的常数项移到方程的右边 （3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 （4） 配方，化成bax2)( （5）开方，当0b时，bax；当 b<0 时，方程没有实数根 例 若方程 ax24有解，则a的取值范围是（ ） ． A．0a B．0a C．0a D．无法确定 A B C P D E 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程) 0( 02acbxax的求根公式： ) 04(2422acbaacbbx 例 已知 x2＋4x－2=0，那么 3x2＋12x＋2012 的值为 4、因式分解法 一元二次方程的一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法 例 已知一个三角形的两边长是方程 x2-8x+15=0的两根， 则第三边 y 的取值范围是 （ ） ． A．y<8 B．3

第三章 概率的进一步认识 一、知识概括 1、频率 （1）在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．； （2）每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．； 即：实验次数频数数据总数频数频率 （3）在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于 1因此，各个小长方形的面积的和等于1 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 2、概率的求法： （1）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）=nm （2）表格法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法 （3）树状图法 通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法 （当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

） 例 在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（ ） （A） “抛掷一枚普通骰子出现1 点朝上”的机会 （B） “抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会 （C） “抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会 （D） “抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会 例 如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形，每 个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指 针都落在奇数上的概率是（ ） （A） 25 （B） 310 （C）320 （D）15 例 如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左 或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H 点的概率是（ ） （A）21 （B）41 （C）61 （D）81 例 如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、4 和方块 1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张， 那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5 的概率是（ ） （A） 21 （B） 31 （C） 41 （D） 53 例 在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字 的机会是均等的. 当同时转动两个转盘，停止后指针所指 的两个数字表示两条线段的长，如果第三条线段的长为5， 那么这三条线段不能．．构成三角形的概率是（ ） 123453489 1 2 3 4 5 甲 2 6 3 7 4 乙 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 （A）625 （B）925 （C）1225 （D）1625 三、典型例题 例 1. 袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次任取一个，又放回抽取两次。

求下列事件的概率 （1）全红 （2）颜色全同 （3）无白 解： 红 黄 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） P()全红19 P()颜色全同 13 P()无白 49 说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白色球 例 2. 一个密码保险柜的密码由 6 个数字组成，每个数字都是由 0～9 这十个数字中的一个，王叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是多少？ 解：他前面的 4 个数字都已知道只有最后两个数字忘记了，而最后两个数字每个数字出现的可能结果都有 10 种情况，那么组成两个数字的可能结果就有 100 种，因此正好是密码上的最后两个数字的概率是1001 例 3. 袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放入 5 个黑球后，小颖通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为 25％，30％，30％，10％，5％，试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个？ 解：小刚放入 5 个黑球后摸到的黑色球的频率为 5％，则可以由此估计出袋中共有球551001005％＝个 。

说明此时袋中可能有个球（包括 个黑球），则有红色球()100 ×25％＝25 个，黄色球 100×30％＝30 个，蓝色球 100×30％＝30 个，白色球 100×10％＝10 个 例 4. 甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各 1 次 （1）若两次数字之差的绝对值为 0，1 或 2，则甲胜，否则乙胜这个游戏对双方公平吗？为什么？ （2）若两次数字和是 2 的倍数，则甲胜，而若和是 3 的倍数或 5 的倍数，则乙胜这个游戏对双方公平吗？为什么？ 8 1 1 2 3 4 4 5 5 6 6 解： （1）用列表的方法可看出所有可能的结果： 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 1 3 4 5 6 8 1 0 2 3 4 5 7 2 1 1 2 3 4 6 4 3 1 0 1 2 4 5 4 2 1 0 1 3 6 5 3 2 1 0 2 从上表中可以看出两个数字之差的绝对值，为 0 的有 4 种可能结果，1 的有 7 种可能结果， 的有 种可能结果，所以甲胜的概率为，而乙胜的概率为，因此2617301330甲 胜 的可能性比乙大，所以不公平。

（2）通过列表可知： 1 3 4 5 6 8 1 2 4 5 6 7 9 2 3 5 6 7 8 10 4 5 7 8 9 10 12 5 6 8 9 10 11 13 6 7 9 10 11 12 14 出现的两个数字之和是 2 的倍数有 15 种，出现的两个数字之和是 3 的倍数有 10 种，5 的倍数有 种，所以甲胜的概率为，而乙胜的概率为，因此甲胜的可能性615301630比 乙小，所以不公平 例 5. 小明与同学一起想知道每 6 个人中有两个人生肖相同的概率， 他们想设计一个模拟实验来估计 6 个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？ 分析：可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法注意“一次实验”的设计 解：用 12 个完全相同的小球分别编上号码 1～12，代表 12 个生肖，放入一个不透明的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码……连续取出 6 个球为一次实验，重复上述实验过程多次，统计每次实验中出现相同号码的次数除以总的实验次数，得到的实验频率可估计每 6 个人中有两个人生肖相同的概率。

第四章 图形相似与相似三角形知识点解读 知识点 1.．相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形 （即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读： （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同． （3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 例 1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形因为它们的形状相同，大小不一定相同． 例 2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角 80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是 100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)． 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为 100°的等腰三角形的形状不唯一，用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点 2．比例线段 对于四条线段 a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即acbd（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 解读： （1）四条线段 a,b,c,d 成比例，记作acbd（或 a:b=c:d） ，不能写成其他形式，即比例线段有顺序性． （2）在比例式acbd（或 a:b=c:d）中，比例的项为 a,b,c,d，其中 a,d 为比例外项，b,c 为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即abbc或 a:b=b:c，那么线段 b 叫做线段和的比例中项。

(4)通常四条线段 a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和 b 统一为一个单位，c 和 d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例 3．已知线段 a=2cm, b=6mm, 求ab． 分析：求ab即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比． 例 4．已知 a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d=32dm，求 c 的长度． 分析：由 a,b,c,d 成比例，写出比例式 a:b=c:d，再把所给各线段 a,b,,d 统一单位后代入求 c． 知识点 3．相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 解读： （1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例 5．若四边形 ABCD 的四边长分别是 4，6，8，10，与四边形 ABCD 相似的四边形 A1B1C1D1的最大边长为 30，则四边形 A1B1C1D1的最小边长是多少？ 分析：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为13，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长． 知识点 4．相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 解读： （1）相似三角形是相似多边形中的一种； （2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； （4）相似用“∽”表示，读作“相似于” ； （5）相似三角形的对应边之比叫做相似比． 注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为 k,若△A1B1C1∽△ABC，则相似比为1k。

②若两个三角形的相似比为 1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等． 例 6．如图，已知△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点 D，E 分别是 AB，AC 的中点吗？ 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 ABCDE 注意：解决此类问题应注意两方面： （1）相似比的顺序性， （2）图形的识别． 解：因为△ADE∽△ABC，所以DEADAEBCABAC，因为2142DEBC ， 所以12ADAEABAC，所以 D，E 分别是 AB，AC 的中点． 知识点 5．相似三角的判定方法 （1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似； （2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似． （3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． （4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． （5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型 常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC AABCBCDEDE ② 相交线型 常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A 得，△ADE∽△ABC 11ABCDABCEED 如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A 得，△ADC∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2 得，△ADE∽△ABC 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 A211BCACBEDD ③ 旋转型 已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下图为常见的基本图形． BCADE ④ 母子型 已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD∽△ABC∽△ACD． ABCD 解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形． 例 7．如图，点 D 在△ABC 的边 AB 上，满足怎样的条件时，△ACD 与△ABC 相似？试分别加以列举． 12BCAD 分析： 此题属于探索性问题， 由相似三角形的判别方法可知， △ACD 与△ABC 已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可． 解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC 条件一：∠1=∠B；条件二：∠2=∠ACB；条件三：ADACACAB，即 AC2=AD·AB． 知识点 6．相似三角形的性质 （1） 对应角相等，对应边的比相等； （2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 例 8．如图，已知△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 （1） 求 DE、AE 的长； （2） 你还能发现哪些线段成比例． 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 BCADE 分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即DEADAEBCABAC． 解： （1）∵△ADE∽△ABC， ∴DEADAEBCABAC ∵，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 设 DE=x，则81215x， ∴12x=8×15, x=10; 设 AE=a,则8712aa, ∴a=14. (2) ADAEBDEC 例 9．已知△ABC∽△A1B1C1，，11ABAB=23，△ABC 的周长为 20cm，面积为 40cm2． 求（1）△A1B1C1的周长； （2）△A1B1C1的面积． 分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解． 易求出△A1B1C1的周长为 30cm; △A1B1C1的面积 90cm2 五、视图与投影 1、视图 三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线 例 如图，一几何体的三视图如右： 那么这个几何体是 . 主视图 左视图 俯视图 例 如果用□表示 1 个立方体，用 表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由 7 个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ） 2、投影 （1）投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象 （2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投ABCD用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 影 （3）中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影 （4）区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子 （5）从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。

①点在一个平面上的投影仍是一个点； ②线段在一个面上的投影可分为三种情况： 线段垂直于投影面时，投影为一点； 线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度； 线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度 ③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况： 平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状； 平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段； 平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状 例 小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定 例 小明希望测量出电线杆 AB 的高度，于是在 阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点 D 处立一标杆 CD， 使标杆的影子 DE 与电线杆的影子 BE 部分重叠（即点 E、C、A 在一直线上） ，量得 ED＝2 米，DB＝4 米，CD＝1.5 米，则电线杆 AB 长＝ . 3、视点、视线、盲区 眼睛的位置称为视点．．；由视点发出的线称为视线．．；眼睛看不到的地方称为盲区．． 例 当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了，这是因为（ ） A 汽车开的很快 B 盲区减小 C 盲区增大 D 无法确定 第六章 反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，如果两个变量 x，y 之间的关系可以表示为xky （k 是常数，k0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

（反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数 2、反比例函数的图象 A E D C B 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称由于反比例函数中自变量 x0，函数 y0，所以，它的图象与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴 3、反比例函数的性质 反比例函数 ) 0(kxky k 的符号 k>0 k<0 图象 y O x y O x 性质 ①x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； ②当 k>0 时， 函数图象的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y随 x 的增大而减小 ①x 的取值范围是x0， y 的取值范围是 y0； ②当 k<0 时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 例 在同一坐标系中，函数xky 和3kxy的图像大致是 （ ） A B C D 例 反比例函数xmy23，当_______m时，其图象的两个分支在第一、三象限内 例 反比例函数xy1的对称轴有（ ）条 （A）0 （B）1 （C）2 （D） 无数 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对名师总结 优秀知识点 例 对于反比例函数xky2(0k)，下列说法不正确．．．的是（ ） （A）它的图象分布在第一、三象限 （B）点（k，k）在它的图象上 （C）它的图象是中心对称图形 （D）y随x的增大而增大 例 已知反比例函数kyx（k＜0）的图象上有两点 A（11xy，） ，B（22xy，） ，且12xx，则12yy的值是（ ） （A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）不能确定 4、反比例函数解析式的确定 确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数xky 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 过反比例函数) 0(kxky图像上任一点 P（x,y）作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，垂足分别是 M、N，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PMPN=xyxy kSkxyxky,, 例 如图，A为反比例函数xky 图象上一点，AB垂直x轴于 B点， 若 S△AOB＝3，则k的值为（ ） A、6 B、3 C、23 D、不能确定 A B O x y 用数学思想方法解决问题的能力内容主要包括矩形菱形正方形的性质与方形的性质和判定通过定理的证明和应用的教学使学生逐步学会分别从方形对边平行四边相等性质角四个角都是直角对角线互相平分且相等对。