动量定理密舍尔斯基方程.pdf

§§2.4 动量定理 动量守恒定律一、 质点的动量、动量定理动量定理 动量守恒定律一、 质点的动量、动量定理力对时间的积累效应：力对时间的积累效应：vmP PddtF   tt0dtFI 力的冲量力的冲量质点动量定理质点动量定理0PPIdtamdtF )(vmdvmddtdtvdm 0 00PPPddtFPPtt代替变力的冲量：常用平均力冲量表达式难以确定，这时在某些情况下，代替变力的冲量：常用平均力冲量表达式难以确定，这时在某些情况下，)( tF，平均冲力，末速度求，，力的方向不变到的力为的小球，初始静止，受质量为例，平均冲力，末速度求，，力的方向不变到的力为的小球，初始静止，受质量为例IttF  s 0.07t0.02 )07. 0(102s 0.02t0 t 105 . 2)( )(Kg 0.3 6254解：解：tIFImv    07. 00)( dttFI 02. 0007. 002. 0)()(dttFdttF＋＋sN    3 .13N 19007. 0/3 .13  mIv  0PPtFsm/ 3 .443 . 0/3 .13  二、 质点组的动量定理二、 质点组的动量定理或简称系统。

统叫质点组或质点系，由若干个质点组成的系或简称系统统叫质点组或质点系，由若干个质点组成的系为例：以两个质点组成的系统为例：以两个质点组成的系统22121121 )()(PddtfFPddtfF）＋（）＋（2121)(PPddtFF，为系统的动量＋，为系统所受合外力；定义，为系统的动量＋，为系统所受合外力；定义2121PPPFFFPddtF  则则12f系统内的质点的作用力外力：系统外的物体对的相互作用内力：系统内质点之间系统内的质点的作用力外力：系统外的物体对的相互作用内力：系统内质点之间PPttPPPddtF000样可以证明：个质点组成的系统，同对样可以证明：个质点组成的系统，同对n为系统初动量，为系统末动量；，；为合外力，其中，为系统初动量，为系统末动量；，；为合外力，其中，外外外外外外外外niinniinniinttPPPPPPPPPPFFFFFPPdtF100020101211210...... ...... ......0量的增量。

动合外力的冲量等于系统动量定理框中的内容就是质点组量的增量动合外力的冲量等于系统动量定理框中的内容就是质点组 : 三、 动量守恒定律三、 动量守恒定律 niiniiniiPPF10 110 0，，时，，时外外动量可视为守恒外力（如爆炸），系统放宽条件：内力 动量可视为守恒外力（如爆炸），系统放宽条件：内力 守恒向上的分量力为零，则动量在此方如果仅在某个方向合外守恒向上的分量力为零，则动量在此方如果仅在某个方向合外 律都只适用于惯性系动量定理和动量守恒定守恒即系统动量（总动量）律都只适用于惯性系动量定理和动量守恒定守恒即系统动量（总动量）顿第二定律导出的）（因为是由牛顿第二定律导出的）（因为是由牛 2.15.,76 7例书上例例书上例ptxtlRdtvlVdt00    txtlRmdtmvMlMVdt00)(0)( 0 txMllRmdtMVmv）（）（MmmRl两式相加两式相加解：解：0   MVmvx。

和分量分别为面速度的设小物和滑槽相对于地和分量分别为面速度的设小物和滑槽相对于地Vvxx方向的动量守恒，因此方向的动量守恒，因此x方向动量不守恒注：本题 方向动量不守恒注：本题 y)(为负为正，为负为正，Vvx§§2.5 质心运动定理质心运动定理点位置为量看成集中在一点，该一、质心：把质点组质点位置为量看成集中在一点，该一、质心：把质点组质在直角坐标系中，在直角坐标系中，体，对于质量连续分布的物 体，对于质量连续分布的物)(    iiiiicmmmrm r其中其中 )( dmmmdmrrc其中其中mzmydmmxdmxccc ,y ,mzm zmymmxm xiiiciiiciiic     ,y ,已知）求质心位置（匀质圆盘上有一小孔，例已知）求质心位置（匀质圆盘上有一小孔，例drR,, 9解：解：设想将圆盘补全，则设想将圆盘补全，则0 Cx)0( ' , xx设离原点距离为轴上质心在设离原点距离为轴上质心在drRrx222 '的质心位置。

的匀质薄球壳（半个）求半径为例的质心位置的匀质薄球壳（半个）求半径为例R 8解：解：取如图的质量元取如图的质量元22c2sin2yRdyRmydmdRRdRdsdmsin2)sin(22 2/02sincos RdR,轴上在质心轴上在质心yc为质量面密度）（ 为质量面密度）（ dr' x)rR(222二、质心运动定理二、质心运动定理mmmrmdtd dtrdiii iii c c   v v)(vvPmmiiic 根据质点组动量定理，根据质点组动量定理，dtPdFFii )(外外点组总质量为质为系统所受合外力，叫质心运动定理，其中点组总质量为质为系统所受合外力，叫质心运动定理，其中mFamFc mamdtdaiii c c  v量心速度等于质点组的动即质点组总质量乘以质量心速度等于质点组的动即质点组总质量乘以质dtdmcv  cam 的另一种解法。

例书上的另一种解法例书上2.15,76p，则和时两者坐标分别为，小物滑到槽底和坐标分别为设开始时小物和滑槽的，则和时两者坐标分别为，小物滑到槽底和坐标分别为设开始时小物和滑槽的212010xxxxx置不变不受外力，所以质心位小物和滑槽构成的系统解：置不变不受外力，所以质心位小物和滑槽构成的系统解： MmMxmxMmMxmx  212010l x-x l-R x-x 220101   mMmRl  0)()(202101    xxMxxm三、质心参照系三、质心参照系为质心参照系的参照系，称与惯性系只有相对平动质点选在质心上，并且为质心参照系的参照系，称与惯性系只有相对平动质点选在质心上，并且 ,在质心参照系中在质心参照系中0'', 0'cc vmPv §§2.4，§，§2.5小结：这两节内容是对牛（二）定律只是瞬时关系、只适用于一个小结：这两节内容是对牛（二）定律只是瞬时关系、只适用于一个 质点质点的的“突破突破”动量定理是由牛顿第二定律导出的，在研究动量定理是由牛顿第二定律导出的，在研究“过程过程”时用动量 定理比较方便。

质点组动量定理和质心运动定理可用来描述质点组运动的总 体特征这对于研究由大量运动状态不同的质点构成的系统是必 不可少的理论工具（如果用牛顿第二定律，需解时用动量 定理比较方便质点组动量定理和质心运动定理可用来描述质点组运动的总 体特征这对于研究由大量运动状态不同的质点构成的系统是必 不可少的理论工具（如果用牛顿第二定律，需解“巨量巨量”的联立方 程）下一节§的联立方 程）下一节§2.6还将给出它们在变质量问题中的应用还将给出它们在变质量问题中的应用§§2.6 密舍尔斯基方程火箭运动一、密舍尔斯基方程变质量问题（火箭、雨滴、提绳子等）密舍尔斯基方程火箭运动一、密舍尔斯基方程变质量问题（火箭、雨滴、提绳子等）)( 各速度相对同一参照系时刻 各速度相对同一参照系时刻t时刻 tt形式是什么？这类问题中的正确不能，牛顿第二定律在能不能简单套用？如果牛顿第二定律体的质量在不断变化，这里的科学问题是，物形式是什么？这类问题中的正确不能，牛顿第二定律在能不能简单套用？如果牛顿第二定律体的质量在不断变化，这里的科学问题是，物 )())(()(dmuvmvdvdmmdtfF理：，运用质点组动量定和力分别为设主体和流动物所受外理：，运用质点组动量定和力分别为设主体和流动物所受外fF动物构成质点组。

主体和即将加上去的流 动物构成质点组主体和即将加上去的流dtvdmdtdmvuF)(dtvdmdtdm' vF度流动物相对于主体的速为为主体速度，为主体质量，为主体所受合外力，式中度流动物相对于主体的速为为主体速度，为主体质量，为主体所受合外力，式中' vvmF负数为，只是加而是减少，上式不变如果主体的质量不是增负数为，只是加而是减少，上式不变如果主体的质量不是增dtdm力通常叫做推进力或反冲力通常叫做推进力或反冲dtdm' v小量，得到，可略去，再略去二级远小于通常小量，得到，可略去，再略去二级远小于通常Ff)())(()(dmuvmvdvdmmdtfFdmuvmvdmvdvmdtF)()(密舍尔斯基方程密舍尔斯基方程力长一段时，地面所受压落体，求已落下若让它由静止开始自由刚好触及水平地面的软绳竖直下垂，下端、线密度为长为例力长一段时，地面所受压落体，求已落下若让它由静止开始自由刚好触及水平地面的软绳竖直下垂，下端、线密度为长为例xl  10解法一：解法一：的支持力为地上绳子对的支持力为地上绳子对 dx' N  vdmdtNgdm)(0')(    由质点动量定理：由质点动量定理：gx2dtdx'NgdxgxgdxgxvgdxN22'＋＋＋＋究对象再以地面上的绳子为研 究对象再以地面上的绳子为研'NmgN  长一段为研究对象。

以即将落到地面上的长一段为研究对象以即将落到地面上的dxgx 2 xggxxg   32   段作为质点组段和即将落到地面的以地面上的解法二：段作为质点组段和即将落到地面的以地面上的解法二：dxx ,根据质点组动量定理根据质点组动量定理xgNgxdxdtNgdxx3 20])([主体以地面上的绳子为解法三：密舍尔斯基方主体以地面上的绳子为解法三：密舍尔斯基方0'dtvdmdtdmvF02。