大学物理课件：3-3~4刚体的转动.ppt

上节知识回顾上节知识回顾转动定律转动定律转动惯量转动惯量            离散物体：离散物体：                                       连续物体：连续物体：力对力对O点的力矩点的力矩力对力对O点的力矩在通过点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩点的轴上的投影称为力对转轴的力矩力对轴的力矩力对轴的力矩质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布几几种种常常见见形形状状的的刚刚体体的的转转动动惯惯量量影响刚体转动惯量影响刚体转动惯量的因素的因素Ê 刚体的质量刚体的质量：：同同形状的刚体形状的刚体，，ρρ越大越大，，J就越大 质量的分布质量的分布：：质量质量相同相同，，dm分布在分布在r越越大的地方大的地方，，则则J J 越越大 刚体的转轴位置刚体的转轴位置：：同一刚体依不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的转轴而有不同的 J.如何计算（如何计算（4）的）的J.四、平行轴定理四、平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行等于对通过质心的平行转轴的转轴的转动惯量转动惯量Jc加上刚体质量加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离乘以两平行转轴间距离d的平方的平方OO’JcJdΔmri’ri过质心过质心C 的轴与平面的交点为坐标原点的轴与平面的交点为坐标原点O。

计算过计算过O’点轴的转动惯量点轴的转动惯量*垂直轴定理垂直轴定理(仅适用于薄平面情况仅适用于薄平面情况)  对于薄板刚体对于薄板刚体，若建立坐标系，若建立坐标系Oxyz，其中，其中z轴与薄板垂直，轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚平面在薄板内，则薄板刚体对体对z 轴的转动惯量等于对轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对轴的转动惯量和对y 轴的转动轴的转动惯量之和惯量之和  yx z 圆盘圆盘 R C mdm求质量为求质量为m、半径为、半径为r的均质薄圆盘对通过盘心的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的以盘的直径为轴的转动惯量并处于盘面内的以盘的直径为轴的转动惯量 *垂直轴定理垂直轴定理(仅适用于薄平面情况仅适用于薄平面情况)  对于薄板刚体对于薄板刚体，若建立坐标系，若建立坐标系Oxyz，其中，其中z轴轴与薄板垂直，与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚体平面在薄板内，则薄板刚体对对z 轴的转动惯量等于对轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对轴的转动惯量和对y 轴的转动惯量之和轴的转动惯量之和 dmr(x,y,z)oxyzdm到到z轴的距离为轴的距离为       到到x轴的距离为轴的距离为     到到y轴的距离为轴的距离为（（2））+（（3）得）得刚体对三个刚体对三个 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为当当z足够小时（足够小时（z=0）） •转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为J= mir2i　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式•　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 •在工程中，常将转动惯量表示为在工程中，常将转动惯量表示为•　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　式中式中 m为刚体的质量，为刚体的质量， rG称为回转半径，单位为称为回转半径，单位为m或或cm。

　　　　•回转半径的物理意义为：回转半径的物理意义为：　　若将物体的质量集中在以　　若将物体的质量集中在以 rG为半径、为半径、Oz 为对称轴的细为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变圆环上，则转动惯量不变回转半径回转半径 五五））、、几几种种常常见见形形状状的的刚刚体体的的转转动动惯惯量量影响刚体转动惯量影响刚体转动惯量的因素的因素Ê 刚体的质量刚体的质量：：同同形状的刚体形状的刚体，，ρρ越大越大，，J就越大 质量的分布质量的分布：：质量质量相同相同，，dm分布在分布在r越越大的地方大的地方，，则则J J 越越大 刚体的转轴位置刚体的转轴位置：：同一刚体依不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的转轴而有不同的 J.如何计算（如何计算（4）的）的J.六六)、刚体定轴转动的转动定律的应用、刚体定轴转动的转动定律的应用题目类型题目类型已知两个物理量，求另一个：已知两个物理量，求另一个：1.已知已知J和和M，求，求 2.已知已知J和和  ，求，求M3.已知已知M和和 ，求，求J解题步骤解题步骤1.确定研究对象；确定研究对象；2.受力分析；受力分析；3.选择参考系与坐标系；选择参考系与坐标系；4.列运动方程；列运动方程；5.解方程；解方程；6.必要时进行讨论。

必要时进行讨论注意注意以下几点：以下几点：1.力矩与转动惯量必须对力矩与转动惯量必须对同一转轴同一转轴而言的；而言的；2.要选定转动的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角要选定转动的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；速度的正负；3. 系统中有转动和平动，系统中有转动和平动，转动物体转动物体——转动定律转动定律平动物体平动物体——牛顿定律牛顿定律例１、例１、一个质量为一个质量为M’、半径为、半径为R 的定滑轮的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为另一端挂一质量为m 的物体而下垂细绳的物体而下垂细绳不打滑，忽略轴处摩擦，求物体不打滑，忽略轴处摩擦，求物体m由静止下由静止下落高度落高度h时的速度和此时滑轮的角速度时的速度和此时滑轮的角速度解：解：定轴定轴O·Rthmv0=0绳绳M’    例例2:一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，，滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘，，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的物物体体1和和2，，m1< m2 如如图图所所示示设设滑滑轮轮的的质质量量为为m ，，半半径径为为r，，所所受受的的摩摩擦擦阻阻力力矩矩为为Mr 。

绳绳与与滑滑轮轮之之间间无无相相对对滑滑动动且绳不能伸长试求物体的加速度和绳的张力且绳不能伸长试求物体的加速度和绳的张力    解解:滑滑轮轮具具有有一一定定的的转转动动惯惯量量在在转转动动中中受受到到阻阻力力矩矩的的作作用用，，两两边的张力不再相等，设物体边的张力不再相等，设物体1绳的张力为绳的张力为T1、、 T1’(T1’= T1) ，， m1m2T2 T1 T1T2m2gm1gaaam1m2am1m2T2 T1 T1T2m2gm1gaaam1m2物体物体2的张力为的张力为T2’T2、、 T2’(T2’= T2)因因m2>m1，物体，物体1向上运动，向上运动，物体物体2向下运动，滑轮以顺时向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，针方向旋转，Mr的指向如图所的指向如图所示可列出下列方程示可列出下列方程式式中中 是是滑滑轮轮的的角角加加速速度度，，a是是物物体体的的加加速速度度滑滑轮轮边边缘缘上上的的切向加速度和物体的加速度相等，即切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得    当当不不计计滑滑轮轮质质量量及及摩摩擦擦阻阻力力矩矩即即令令m=0、、M =0时，有时，有    上上题题中中的的装装置置叫叫阿阿特特伍伍德德机机，，是是一一种种可可用用来来测测量量重重力力加加速速度度g的的简简单单装装置置。

因因为为在在已已知知m1、、 m2 、、r和和J的的情情况况下下，，能能通通过过实实验验测测出出物物体体1和和2的的加加速速度度a，，再再通通过过加加速速度度把把g算算出出来来在在实实验验中中可可使使两两物物体体的的m1和和m2相相近近，，从从而而使使它它们们的的加加速速度度a和和速速度度v都都较较小小，，这这样样就就能能精精确确地测出地测出a来例例3、、一根长为一根长为l、、质量为质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动最初棒静止在水平位置，求它由此下摆而可以在竖直平面内转动最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加角时的角加速度和角速度速度和角速度及细棒摆到竖直位置时其中点及细棒摆到竖直位置时其中点C和端点和端点A的速度的速度解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O O 的力矩 棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，，重力矩为：重力矩为： XOdmg               dm=m/ldrx据质心定义据质心定义rdr再求角速度再求角速度 XOdmgdmx代入上式得代入上式得所所以以细细棒棒在在竖竖直直位位置置时时，，端端点点A A和和中中心心点点C C的的速速度度分别为分别为  XOdmgdmxCA也可以利用机械能守恒定律。

也可以利用机械能守恒定律在在棒棒的的转转动动过过程程中中只只有有重重力力做做功功，，因因此此机机械械能能守守恒恒设设水水平平时时棒棒的的重重力力势势能能为为零零，，则：则：例例4匀质圆盘的质量为匀质圆盘的质量为m，半径为，半径为R，在水平桌，在水平桌面上绕其中心旋转，如图所示设圆盘与桌面面上绕其中心旋转，如图所示设圆盘与桌面之间的摩擦系数为之间的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速度，求圆盘从以角速度ω0旋转旋转到静止需要多少时间？到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零 在圆盘上任取一个细圆环，半径为在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，厚度为，厚度为e，宽度为，宽度为dr，整个圆，整个圆环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和由于圆环上环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和由于圆环上各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取ω0的方向为正方向，则整个圆环所受的力矩为的方向为正方向，则整个圆环所受的力矩为 整个圆盘所受的力矩为整个圆盘所受的力矩为 根据转动定律，得根据转动定律，得 角加速度为常量，且与角加速度为常量，且与ω0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动的方向相反，表明圆盘作匀减速转动当圆盘停止转动时，当圆盘停止转动时，ω=0，则得，则得 § 3－－3  定轴转动的功能关系定轴转动的功能关系一、力矩作功一、力矩作功刚体在外力刚体在外力F 的作用下，绕转轴转过的角的作用下，绕转轴转过的角位移为位移为dθ，这时力，这时力F的作用点位移的大小为的作用点位移的大小为ds=rdθ。

力力F在这段位移内所作的功为在这段位移内所作的功为说明：说明：力矩作功的实质仍然是力作功只是力矩作功的实质仍然是力作功只是对于刚体转动的情况，这个功不是用力的位对于刚体转动的情况，这个功不是用力的位移来表示，而是用力矩的角位移来表示移来表示，而是用力矩的角位移来表示力的空间累积效应力的空间累积效应           力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应           力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.4））力矩的功与力的功实质相同，表达式不同力矩的功与力的功实质相同，表达式不同2) 几个力矩同时作用时几个力矩同时作用时3) 内力矩做功为零内力矩做功为零1) M恒定时恒定时说明说明:与质点的功比较：与质点的功比较：外力作的功等于合力矩对角位移的积分，外力作的功等于合力矩对角位移的积分，叫做力矩的功叫做力矩的功力矩的功率力矩的功率1、定义：、定义：单位时间内力矩对刚体所作的功单位时间内力矩对刚体所作的功2、公式、公式3、意义、意义表示力矩对刚体作功的快慢表示力矩对刚体作功的快慢功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。

功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大4、、与质点功率的比较与质点功率的比较n转速：为每分钟转的圈数转速：为每分钟转的圈数二、刚体的转动动能二、刚体的转动动能 The Kinetic Energy of Rolling刚体以角速度刚体以角速度ω作定轴转动，取一质元作定轴转动，取一质元Δmi，距转轴，距转轴 ri，则，则此质元的速度为此质元的速度为vi=riω，动能为，动能为整个刚体的动能就是各个质元的动能之和整个刚体的动能就是各个质元的动能之和用转动惯量表示用转动惯量表示刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半度的平方的乘积的一半 miri刚体一般运动的动能：刚体一般运动的动能：三、刚体绕定轴转动的动能定理三、刚体绕定轴转动的动能定理设在合外力矩设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为，合外力矩对刚体所作的元功为 刚体绕定轴转动的动能定刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对绕定轴转理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚动的刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量。

体的转动动能的增量表表明明：：一一个个不不太太大大的的刚刚体体的的重重力力势势能能与与它它的的质质量量集集中中在在质质心心时时所所具具有有的的势势能能一一样样刚刚体体重重力力势势能能决决定定于于刚刚体体质质心心距距势势能能零零点点的高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关的高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关 即：即：质心高度为：质心高度为：以地面为势能零点，刚体和地球系统的重以地面为势能零点，刚体和地球系统的重力势能：力势能： 对于一个不太大的质量为对于一个不太大的质量为m 的物的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和点的重力势能之和y hihcxOmC mi四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能机械能机械能 = = 势能势能 + + 平动动能平动动能 + + 转动动能转动动能刚体与质点刚体与质点组成的系统，机械能包括：组成的系统，机械能包括：机械能守恒条件：机械能守恒条件：机械能机械能 = = 势能势能+ +平动动能平动动能+ +转动动能转动动能 = = 恒量恒量刚体与刚体与质点组质点组成系统成系统的机械的机械能守恒能守恒定律定律五、机械能与机械能守恒五、机械能与机械能守恒2r12r2d例例题题5. 如如图图，，冲冲床床上上配配置置一一质质量量为为5000kg的的飞飞轮轮，， r1=0.3m, r2=0.2m.今今用用转转速速为为900r/min的的电电动动机机借借皮皮带带传传动动来来驱驱动动飞飞轮轮，，已已知知电电动动机机的的传传动动轴轴直直径径为为d=10cm。

1）求飞轮的转动动能求飞轮的转动动能2）若冲床冲断）若冲床冲断0.5mm厚厚的薄钢片需用冲力的薄钢片需用冲力9.80 104N，所消耗的能量全部由飞，所消耗的能量全部由飞轮提供，问冲断钢片后飞轮轮提供，问冲断钢片后飞轮的转速变为多大？的转速变为多大？解解 （（1 1））为为了了求求飞飞轮轮的的转转动动动动能能，，需需先先求求出出它它的的转转动动惯惯量量和和转转速速因因飞飞轮轮质质量量大大部部分分分分布布在在轮轮缘缘上上，，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得        皮皮带带传传动动机机构构中中，，电电动动机机的的传传动动轴轴是是主主动动轮轮，，飞飞轮轮是是从从动动轮轮两两轮轮的的转转速速与与轮轮的的直直径径成成反反比比，，即即飞飞轮轮的的转转速速为为（（在在相相同同的的时时间间间间隔隔内内两两个个轮轮上上某某一一点点转转过过的距离相等）的距离相等）由此得飞轮的角速度由此得飞轮的角速度这样飞轮的转动动能是这样飞轮的转动动能是（（2 2）在冲断钢片过程中，冲力）在冲断钢片过程中，冲力F F所作的功为所作的功为根据动能定理根据动能定理所以所以求得此时间的角速度求得此时间的角速度 2 2为为而飞轮的转速变为而飞轮的转速变为 刚体刚体以角速度以角速度  绕绕z 轴轴转动。

转动刚体上刚体上任任一质元绕一质元绕z 轴轴作作圆周运动圆周运动的的角动量为角动量为：：一、刚体一、刚体定轴定轴转动的角动量转动的角动量 由于由于每每个个质元质元对对z 轴轴的角动量的角动量方向相同方向相同, ,刚体对刚体对z 轴轴的角动量的角动量为为: :角动量角动量是是描述刚体转动状态的物理量描述刚体转动状态的物理量二、刚体的角动量定理二、刚体的角动量定理由转动定律由转动定律:§ 3-4、定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律、定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律冲量矩冲量矩 冲量矩冲量矩 表示合外力矩在表示合外力矩在t0 t 时间内的累积时间内的累积作用单位：牛顿单位：牛顿·米米·秒秒角动量定理角动量定理: :作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的改变量作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的改变量三、三、刚体的刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律刚体刚体角动量守恒定律角动量守恒定律: :当物体所受的合外力矩为零时当物体所受的合外力矩为零时, ,物体物体的角动量保持不变的角动量保持不变定轴定轴说明：说明：1. 若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对　　　　若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对　　　　 同一转轴的角动量；同一转轴的角动量；　　　　　　2. 对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定　　　　对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定　　　　律之一。

律之一圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计下列三种情况下动量、角动量和机械能是否守恒下列三种情况下动量、角动量和机械能是否守恒角动量守恒定律的两种应用：角动量守恒定律的两种应用：1. 转动惯量保持不变的单个刚体转动惯量保持不变的单个刚体2. 转转动惯量可变的物体动惯量可变的物体 花样滑冰运动员通过改变身花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变体姿态即改变转动惯量来改变转速转速. .跳水运跳水运动员动员茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳角动量守恒的应用角动量守恒的应用直直8重型直升机重型直升机(China) CH—47支努干人支努干人     超级武装直升机超级武装直升机"阿帕奇阿帕奇" (USA)Mi-28“浩劫浩劫”武装直升机武装直升机(Russia) “虎虎”式武装直升机式武装直升机(Germany) 直直8大型多用途直升机大型多用途直升机(China) Ec135(France) 四川地震中使用的国产四川地震中使用的国产米米26直升机直升机作业：作业：3－－123－－153－－193－－23例例1 一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。

开的均质细杆可绕一水平轴自由转动开始时杆子处于铅垂状态现有一质量为始时杆子处于铅垂状态现有一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起试求杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起试求: : 1. 碰撞后系统的角速度；碰撞后系统的角速度；2. 碰撞后杆子能上摆的最大角度碰撞后杆子能上摆的最大角度 ））θLmM解：碰撞过程角动量守恒解：碰撞过程角动量守恒上摆过程机械能守恒，得：上摆过程机械能守恒，得：注意：橡皮注意：橡皮泥和杆子的泥和杆子的零势点均为零势点均为转轴的位置转轴的位置例例2   匀质细棒：匀质细棒：l 、、m，可绕通过端点，可绕通过端点O的水平轴转动的水平轴转动棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面的棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面的物体物体m相撞该物体与地面的摩擦因数为相撞该物体与地面的摩擦因数为  ，撞后物，撞后物体沿地面滑行一距离体沿地面滑行一距离 s 而停止求撞后棒的质心而停止求撞后棒的质心C 离离地面的最大高度地面的最大高度 h ，并说明棒在碰撞后将向左摆或向，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。

右摆的条件分三个阶段进行分析分三个阶段进行分析解：解：第一阶段：第一阶段：棒自由摆落的过程，棒自由摆落的过程，机械能守恒机械能守恒第二阶段：第二阶段：碰撞过程系统对碰撞过程系统对O轴的角动量守恒轴的角动量守恒第三阶段：第三阶段：碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程物体做匀减速直线运动物体做匀减速直线运动联合求解，即得碰撞后棒的角速度：联合求解，即得碰撞后棒的角速度：(2)(3)(4) '取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆棒向左摆的条件为棒向左摆的条件为 棒向右摆的条件为棒向右摆的条件为 棒的质心棒的质心C上升的最大高度，也可由机械能守恒定律上升的最大高度，也可由机械能守恒定律求得：求得：计算转动惯量的方法：计算转动惯量的方法：(1)已知质量分布，由定义式求转动惯量：已知质量分布，由定义式求转动惯量：(2)已知两轴间距离，用平行轴定理求解：已知两轴间距离，用平行轴定理求解：(3)已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量，由叠加已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量，由叠加法求解：法求解：四、刚体力学中的功和能四、刚体力学中的功和能(1) 力矩的功：力矩的功：(2) 刚体转动动能定理：刚体转动动能定理：(3) 机械能守恒定律：只有保机械能守恒定律：只有保守内力作功时，系统动能与势守内力作功时，系统动能与势能之和为常量。

能之和为常量五、刚体角动量和角动量守五、刚体角动量和角动量守恒定律恒定律(1) 角动量角动量: :(2) 角动量定理角动量定理: :(3) 角动量守恒定律角动量守恒定律: :当刚体当刚体( (系统系统) )所受外力矩所受外力矩为零时，则刚体为零时，则刚体( (系统系统) )对对此轴的总角动量为恒量此轴的总角动量为恒量解：由角动量守恒解：由角动量守恒摩擦力矩作负摩擦力矩作负功，有机械能功，有机械能损失例例３３ 两摩擦轮对接若对接前两轮的角速度分别为两摩擦轮对接若对接前两轮的角速度分别为 1、、 2  ，，求：求：1) 对接后共同的角速度对接后共同的角速度  ; ; 2) 对接过程中的机对接过程中的机械能损失械能损失J2J1ω1ω2ω例例４４ 人和转盘的转动惯量为人和转盘的转动惯量为J0 ,哑铃的质量为哑铃的质量为m , 初始转速为初始转速为ωω1 求：双臂收缩由求：双臂收缩由r1变为变为r2时的角速度及机械能增量时的角速度及机械能增量r2r1mmJ0ωω1 1解：由角动量守恒解：由角动量守恒非保守内力作正功非保守内力作正功 ，机械能增加机械能增加例例５５一转台绕其中心的竖直轴以角速度一转台绕其中心的竖直轴以角速度ωω0 =πs-1 转动，转台对转动，转台对转轴的转动惯量为转轴的转动惯量为J0 = 4.0×10-3 kg·m2 。

今有沙粒以今有沙粒以Q = 2t g·s-1的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为径为r = 0.10m，求沙粒下落，求沙粒下落t = 10 s 时，转台的角速度时，转台的角速度 解：在解：在0 t s内落至台面的沙粒质量为：内落至台面的沙粒质量为：沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与轴平行）轴平行）, ,则任意时刻系统角动量守恒：则任意时刻系统角动量守恒：t = 10 s 时转台的角速度：时转台的角速度：Or*§3-5  进进 动动一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心旋转，这种现象称为进动旋转，这种现象称为进动只改变方向而不改变大小，只改变方向而不改变大小，从而产生旋进运动从而产生旋进运动Lrr当其自转轴的轴线不再呈铅直当其自转轴的轴线不再呈铅直时，会发现自转轴会沿着铅直时，会发现自转轴会沿着铅直线作旋转，此即线作旋转，此即“旋进旋进”现象，现象，这种这种“旋进旋进”现象称为进动现象称为进动 陀螺受重力矩陀螺受重力矩 dt 时间内角动量增量时间内角动量增量 用角动量定理研究进动用角动量定理研究进动 由角动量定理由角动量定理 所以所以 进动角速度进动角速度 2. 进动轴通过定点且与外力平行。

进动轴通过定点且与外力平行1. ωp 与与ω 有关，与有关，与θ无关3. 进动方向决定于外力矩和进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向自转角速度的方向4.   较小时，较小时，  有周期性有周期性变化，称为变化，称为章动章动说明说明 回转效应的应用：炮筒内的旋转式来复线等回转效应的应用：炮筒内的旋转式来复线等 进动角速度进动角速度  d O50陀螺仪陀螺仪刚体进动的应用刚体进动的应用51自由陀螺保持自身对称轴自由陀螺保持自身对称轴在惯性参考系中的方位不变在惯性参考系中的方位不变图中的陀螺，由固定圆环中的两图中的陀螺，由固定圆环中的两个可动圆环支持，以保持其质心个可动圆环支持，以保持其质心 O不动不计摩擦，外力对其质不动不计摩擦，外力对其质心心 O的力矩为零，称这种陀螺为的力矩为零，称这种陀螺为自由陀螺由于自由陀螺由于 得得故有故有52刚体的章动刚体的章动•刚体在进动的过程中还伴有上，下的周期性运动，称为章动刚体在进动的过程中还伴有上，下的周期性运动，称为章动•先固定杠杆刚体的旋转轴，让它自转后，再释放之轴端将沿一摆先固定杠杆刚体的旋转轴，让它自转后，再释放之。

轴端将沿一摆线运动这就是章动这就是章动章动（章动（nutation），拉丁语中是），拉丁语中是“点头点头”的意思              地球除进动外，也有章动地球除进动外，也有章动地轴的章动是英国天文学家布拉地轴的章动是英国天文学家布拉得雷（得雷（J.Bradley）于是）于是1748年年分析了分析了20年的观测资料后发现的年的观测资料后发现的地球章动的周期为地球章动的周期为18.6年，近似年，近似地说，就是地说，就是19年在我国古代历年在我国古代历法中把法中把19年称为一年称为一“章章”，这便，这便是中译名是中译名“章动章动”的来源本本 章章 小小 结结一、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式一、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式1. 物理量物理量角速度角速度角加速度角加速度2. 线量和角量的关系线量和角量的关系3.匀角加速转动公式匀角加速转动公式二、转动定律二、转动定律注意注意: J和和M必须是一个刚体对同一转轴的转动惯量和力矩若必须是一个刚体对同一转轴的转动惯量和力矩若同时存在几个刚体，原则上应对每个刚体列出同时存在几个刚体，原则上应对每个刚体列出 。

三、转动惯量三、转动惯量刚体的转动惯量与刚体的质量、刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、质量的分布以及转轴的位形状、质量的分布以及转轴的位置有关作业：作业：3－－18，，3－－20，，3－－21,3－－22。