一对一家教教案二次函数.doc

11 对 1 教案 学生 学 校 年 级 九年级教师 授课日期 12 月 1 日 授课时段9:00~11:00课题 二次函数重点难点重点： ⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 难点：⑴二次函数图象的平移；⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.教学步骤及教学内容一. 教学内容： 二次函数小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 2. 难点：⑴二次函数图象的平移；⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 三. 知识梳理：1. 二次函数的概念及图象特征二次函数：如果 ，那么 y 叫做 x 的二次函数．通过配方 可写成 ，它的图象是以直线为对称轴，以 为顶点的一条抛物线．2. 二次函数的性质函数的图象及性质12值＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当 x＝ 时，函数有最小值；当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大．＜0⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当 x＝ 时，函数有最大值；当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小．3. 二次函数图象的平移规律 抛物线 可由抛物线 平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式 来讨论．4. 、 、 及 的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：a、b 同号，对称轴（ ＜0＝在 y 轴的左侧；a、b 异号，对称轴（ ＞0）在 y 轴的右侧. ⑶c→决定抛物线与 y 轴的交点（此时点的横坐标 x＝0）的位置：c＞0，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上．1⑷b 2－4ac→决定抛物线与 x 轴交点的个数：①当 b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有两个交点；②当 b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；③当 b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式： （a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；⑶设交点式： （a≠0）. 6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景. 【典型例题】例 1. 二次函数 y=－ x2+2x－1 通过向 （左、右）平移 个单位，再向___________（上、下）平移 个单位，便可得到二次函数 y=－ x2的图象. 分析：y=－ x2+2x－1 的顶点为（3，2），y=－ x2的顶点为（0，0），因此可以根据顶点坐标确定平移的方向和距离. 解：y=－ x2+2x－1=－ （x－3） 2+2，∴把二次函数 y=－ x2+2x－1 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，便得到 y=－ x2的图象．例 2. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下图所示，则下列 5 个代数式：ab，ac，a－b+c，b 2－4ac，2a+b 中，值大于 0 的个数有（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0. ∵对称轴在 y 轴左侧，∴a，b 同号. 1又 a＞0，∴b＞0. ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，∴c﹤O. ∴ab＞0，ac﹤0. ∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴b 2－4ac＞0. ∵对称轴 x=－ =－1，∴b=2a. ∴2a+b﹥0当 x=－1 时，y=a－b+c﹤0. ∴选 C. 例 3. 如图，抛物线 y=－x 2+2（m+1）x+m+3 与 x 轴交于 A、B 两点，且 OA：OB=3：1，则m 的值为（ ）A. － B. 0 C. － 或 0 D. 1分析：二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点 A 在原点右侧时，x A=OA；当点 A 在原点左侧时，x A+OA=0（注：点 A 在 x 轴上）. 解：设 OB=x，则 OA=3x（x﹥0），则 B（－x，0），A（3x，0）. ∵－x，3x 是方程－x 2+2（m+1）x+m+3=0 的根，∴－x+3x=2（m+1），－x·3x=－m－3. 解得 m1=0，m 2=－ . 又∵x﹥0，∴m=－ 不合题意. ∴m=0，因此选 B. 例 4. 已知二次函数 y=mx2+（m－1）x+m－1 有最小值为 0，求 m 的值. 分析：二次函数 y=ax2+bx+c 有最大（小）值 a﹤0（a＞0）. 解：∵二次函数 y=mx2+（m－1）x+m+1 有最小值为 0，∴1即解得 m=1. 例 5. 已知关于 x 的二次函数 y=（m+6）x 2+2（m－1）x+（m+1）的图象与 x 轴总有交点，求 m 的取值范围. 分析：这个函数是二次函数，应注意 m+6≠0 这个条件. 解：∵二次函数 y=（m+6）x 2+2（m－l）x+（m+1）的图象与 x 轴总有交点，∴ ∴m≤－ 且 m≠－6. 例 6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形 ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为 4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为 4m，宽为 2m 的装有集装箱的汽车要通过隧道. 问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC 为壁）分析：由已知条件知，抛物线经过原点 O（0，0）、C（10，0），顶点的纵坐标为（4. 9－2. 4）=2. 5. 由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看y=4－2. 4=1. 6 时，求出 x 的值. 解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为 =5，纵坐标为 4. 9－2. 4=2. 5，C 点坐标为（0，0），∴设抛物线的函数关系式为 y=a（x－5） 2+2. 5. 把（0，0）或（10，0）代入上式，得 0=25a+2. 5. 解得 a=－ . ∴y=－ （x－5） 2+2. 5. 当 y=4－2. 4=1. 6 时，1. 6=－ （x－5） 2+2. 5. 解得 x1=8，x 2=2（不合题意，舍去）. 1∴x=8，∴OC－x=10－8=2（米）. 故汽车离开右壁至少 2 米，才不会碰到顶部. 点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意（1）顶点纵坐标是（4. 9－2. 4）而不是 4. 9；（2）求出的 x=2 是汽车的右侧离开隧道右壁的距离（因为该隧道是双向的，因此会出现两种情况），若改为“汽车离开隧道壁多少米才不至于碰隧道顶部 ”，则 x1=2，x 2=8都合题意. 例 7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。

已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口 A 处，如图. ⑴如果空投物资离开 A 处后下落的垂直高度 AB=160 米时，它到 A 处的水平距离为BC=200 米，那么要使飞机在垂直高度 AO=1000 米的高空进行空投，物资恰好准确落在 P 处，飞机距 P 处的水平距离 OP 为多少米？⑵如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开 A 处的垂直距离为 160 米时，它到 A 处的水平距离为 400 米，要使飞机仍在⑴中 O 点的正上方空投，且使空投物资准确地落在 P 处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？分析：⑴中由题意可知抛物线的顶点坐标为（0，1000），点 C 的坐标为（200，840），因此可设抛物线关系式为 y=ax2+1000，再把点 C 的坐标代入即可； ⑵由题意知C（400，h－160），再由 P 点坐标即可求出关系式. 解：⑴由题意知，A（0，1000），C（200，840）. 设抛物线的关系式为 y=ax2+1000，把 x=200，y=840 代入上式，得840=a·40000+1000. 解得 a=－ . ∴y=－ x2+1000. 当 y=0 时，－ x2+1000=0. 解得 x1=500，x 2=－500（舍去）. ∴飞机应在距 P 处的水平距离 OP=500 米的上空空投物资. ⑵设飞机空投时离地面的高度应调整为 h 米，则设抛物线的关系式为 y=ax2+h. 把点C（400，h－160）代入上式，得 h－160=a·400 2+h. 解得 a=－ . ∴y=－ x2+h. 把 x=500，y=0 代入上式，得 0=－ ×5002+h. 1∴h＝250. ∴飞机空投时离地面的高度应调整为 250 米. 点拨：已知抛物线的顶点时，可先列出二次函数的顶点式，然后根据条件用待定系数法求函数关系式. 例 8. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线 x=4；乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式 . 分析：本题主要考查二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想及抛物线与 x 轴、y轴交点坐标、分类讨论思想. 解：如图，设抛物线与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 C，则 AB·OC=3. ∴AB·OC=6. 分类讨论：⑴若 AB＝2，则 OC＝3. ∴A（3，0），B（5，0），C（0，3）或（0，－3）. ⑵若 AB=4，则 OC=1. 5. ∴A、B、C 三点的坐标都为整数，故不合题意. ⑶若 AB=6，则 OC=1. ∴A（1，0），B（7，0），C（0，1）或（0，－1）. 用待定系数法求得 y= x2－ x+1 或 y=－ x2+ x－1 或 y= x2－ x+3 或 y=－ x2+x－3. 点拨：只需填写一个答案即可. 例 9. 阅读下面材料，再回答问题. 一般地，如果函数 y=f（x）对于自变量取值范围内的任意 x，都有 f（－x）=－f（x），那么 y=f（x）就叫做奇函数；如果函数 f（x）对于自变量取值范围内的任意 x，都有f（－x）=f（x），那么 f（x）就叫偶函数. 例如 f（x）=x 3+x，当 x 取任意实数时，f（－x）=（－x） 3+（－x）=－x 3－x=－（x 3+x），即 f（－x）=－f（x），所以 f（x）=x 3+x 是奇函数. 1又如 f（x）=|x|，当 x 取任意实数时，f（－x）=|－x|=|x|，即 f（－x）=f（x），所以 f（x）=|x|是偶函数. 问题：⑴下列函数中：①y=x 4；②y=x 2+1；③y= ；④y= ；⑤y=x+ . 所有奇函数是 ，所有偶函数是 . ⑵请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数. 分析：本题综合运用函数及一次函数、二次函数等知识，通过阅读理解奇函数、偶函数的定义，分析理解所给例子，灵活解决问题，因此要认真理解奇函数，偶函数定义，仔细比较所给的两个例子. 解：⑴∵（－x） 4=x4，∴y=x 4是偶函数. 。