椭圆常结论及其结论.doc

2 椭圆常用结论、椭圆的第二定义 :（0,1） 内常数 e ，那么这个点的轨一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 e 就是离心率 （点与线成对出现，左对左，右对右 ）2对于 x22 y b21 ，左准线 l1:x2a；c右准线l 2 : x2 a ca对于2 y22 x21 ，下准线 l1:y2a；上准线l2:y2 aab2cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称2 2 2 a c b（焦参数） cc2焦点到准线的距离 p a c c、焦半径上任意一点 M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径椭圆的焦半径公式：焦点在 x 轴（左焦半径） r1 a ex0 ,（右焦半径） r2 a ex0 ,其中 e 是离心率焦点在 y轴 MF1 a ey0, MF2 a ey0 其中 F1 ,F2分别是椭圆的下上焦点可以记为： 左焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关加右减，上减下加 PF1 a c, PF2 a c推导：以焦点 在 x 轴为例如上图，设椭圆上一点 P x0, y0 ，在 y轴左边 .根据椭圆第二定义，PF1PMe，则 PF1 e PMe x0c22a e x0cx02aa ex0c同理可得 PF2ex0三、通径：曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例，弦 AB坐标：A c,b2ab2c,a弦 AB 长度：AB2b2四、若 P 是椭圆：x2 y 2ax2 by2 1上的点 .F1,F2为焦点，若 F1PF2 ，则 PF1F2的面积为推导：如图 S PF F1PF1 PF2 sin2b2tan2.根据余弦定理，得cosPF2PF2F1F222PF1PF2PF1PF22PF1PF24c22PF1PF24a2 2PF1PF24c22PF1PF24b2 2PF1PF22PF1PF22b2得 PF1 PF21 cosS PF1F21 1 2b22 sin=b21 cos=b2 tan2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则它的弦长AB 1 k2 x1 x2 (1 k 2) (x1 x2)2 4x1x2 1 k12 y1 y2注 :实质上是由两点间距离公式推导出来的 ,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已 (因为 y1 y2 k(x1 x2 ) ，运用 韦达定理 来进行计算 .当直线斜率不存在是 ,则 AB y1 y2六、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：2设M (x0,y0)为椭圆 2a2y2 1 弦 AB ( AB 不平行 y 轴)的中点，则有： bkABb22 a证明：设 A(x1, y1)， B(x2,y2)，则有kABy1 y2x1x22x12a2x222ay1b2y2b21两式相减12 2 2 2得： x1 2x2 y1 2y2 0 整理得：ab2y12y2ba2 ，即a(y1 y2)( y1 y2)(x1 x2 )(x1 x2 )b2b2 ，因为 M(x0,y0)是弦 AB 的中点，所以 a2x12x2y0x02x02y0b22 ay1 y 2 ，所以 kAB kOMx1 x2(2)遇到中点弦问题常用韦达定理”或“点差法”求解。

22在椭圆 x2 y2 1中，以 M(x0, y0 )为中点的弦所在直线的斜率 abk=－b2x0a2y0由( 1)得 kAB kOMb22 ak b2 1 b2 x0k AB 2 2a kOM a y0七、椭圆的参数方程x a cosy bsin ( 为参数 )八、共离心率的椭圆系的方程：x2椭圆 x 2a22 y b2x21(a b 0)的离心率是 e c(c a2 b2) ，方程 x2aay2b2 t(t是大于 0的参数， a0 的离心率也是 e c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 a2例 1、已知椭圆 x252y 1上一点 P 到椭圆左焦点的距离为163，则点 P 到右准线的距离为2例 2、如果椭圆 x361弦被点 A(4， 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是例 3、已知直线 y2xx 1 与椭圆 2a22y2 1(a b 0) 相交于 A、B两点，且线段 AB 的 b2中点在直线 l ： x 2 y0 上，则此椭圆的离心率为 例 4、x2F 是椭圆 42y 1 的右焦点， A 1,1 为椭圆内一定点，31) PA PF 的最小值为yPHAF0Fx（2） PA 2PF 的最小值为分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 PF 或准线作出来考虑问题。

解：（1） 设另一焦点为 F ，则 F （-1,0）连 A F ,P FPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时, PA PF 取得最小值为 4- 5 2）作出右准线 l，作 PHl交于 H ，因a2 4，b2 3，c2 1， 所以 a 2，c 1， e∴ PF1PH ,即2PF PH2∴ PA 2PF PA PH当 A、P、 H 三点共线时，其和最小，最小值为a2xA 4 1 32例 5、求椭圆 x y2 1上的点到直线 x y 6 0 的距离的最小值．F 到直线 AB 的3例 6、椭圆 顶点 A（ a，0）， B（0， b），若右焦点距离等于，则椭圆的离心率 e=（ ）A．B．C．D．例 7、在椭圆 中， F1，F2分别是其左右焦点，若 |PF1|=2|PF 2| ，则 该椭圆离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．。