分段函数的常见题型及解法(广东用).doc

　ﻩ分段函数的常用题型及解法分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值；　解析式; 图像; 奇偶性; 方程; 不等式. 1.求分段函数的定义域和值域2．求分段函数的函数值3.求分段函数的最值4.求分段函数的解析式5.作分段函数的图像7.判断分段函数的奇偶性8．判断分段函数的单调性9．解分段函数的方程10.解分段函数的不等式1．求分段函数的定义域和值域例１.求函数的定义域、值域． 【解析】作图, 运用“数形结合”易知的定义域为,　 值域为.　_2_x3yxO..练习.已知f(x） 是定义在∪上的奇函数,当时，f（x）　的图象如右图所示，那么f（x) 的值域是　　 　 .２．求分段函数的函数值1、设,则的值为（ 　 ）A. 　　 　 　 　 B． 　 　 　 　　 　 　 　 C. 　　 Ｄ．2、给出函数，则( 　 ）A. 　 　　 　B． 　　 　 C. 　 　 　 　 　D.　3．求分段函数的最值例4　求函数的最大值措施1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。

当≤０时,==2+3,此时显然有mａX= =3;当0＜≤1时，==+3,此时maｘ＝=4当＞1时,＝=－+５,此时无最大值．比较可得当=1时,mａx＝4.措施2　 运用函数的单调性Y4321 0 1 2 3 4 5 x由函数解析式可知,在∈(∞,0)上是单调递增的,在∈(０,1)上也是递增的,而在∈(1,+∞）上是递减的，由的持续性可知当＝1时有最大值4措施3　运用图像，数形结合求得作函数=的图像(图１），显然当=１时maｘ＝４.阐明:分段函数的最值常用以上三种措施求得.例3.求函数的最大值． 【解析】当时, 　，　 当时, , 　当时, , 综上有. 4．求分段函数的解析式例 已知奇函数f（x）　(ｘ∈R）,当x>０时，f（x）=　x(5-x)+1．求f(x）在R上的体现式解　∵f(x)是定义域在Ｒ上的奇函数， 　 ∴f(0)＝0.又当＜0时,－>０,故有f（-ｘ）=-ｘ [５-(-ｘ)]+1＝-x　(5+x)＋1再由f（ｘ)是奇函数,f(x)=-f(－ｘ）=(5+)－1.∴练习1某市居民自来水收费原则如下:每户每月用水不超过4吨时，每吨为１．80元，当居民用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元。

若某月某顾客用水量为x吨,交水费为y元1)求ｙ有关x的函数关系（２）若某顾客某月交水费为3１.2元,求该顾客该月的用水量２如图,动点从单位正方形顶点开始,顺次经、绕边界一周,当表达点的行程，表达之长时，求有关的解析式,并求的值．3等腰梯形的两底分别为,，，作直线交 于，交折线于，记,试将梯形位于直线左侧的面积表达为的函数,并写出函数的定义域．5．作分段函数的图像１．已知函数(1)在图5给定的直角坐标系内画出的图象;(2)写出的单调递增区间.图56．求分段函数得反函数例６已知是定义在上的奇函数， 且当时, ，　 设得反函数为, 求的体现式. 【解析】设, 则, 因此, 又由于是定义在上的奇函数, 因此， 且, 因此,　 因此, 　从而可得.　7.判断分段函数的奇偶性例1.判断函数的奇偶性. 【解析】当时， ， 　, 当时,　 , 当, ,　 因此, 对于任意均有， 所觉得偶函数． 练习.已知函数．(1）判断并证明函数的奇偶性；(2）判断函数在上的单调性并加以证明．8．判断分段函数的单调性例.写出函数的单调减区间. 【解析】, 　画图易知单调减区间为． 练习．已知函数若在上单调递增,则实数的取值范畴为A. 　　 B．　 ﻩ　 　 Ｃ. ﻩﻩ D. ９.解分段函数的方程例10．（上海)设函数, 　则满足方程的的值为 　　 【解析】若, 则，　 得， 　因此(舍去）, 若, 　则, 　解得, 因此即为所求.　练习1已知,若，则 　 　　 ．２.已知函数若，则实数的值等于A.1 　 　 　 B．2　　 　 　 　C．3 　 D．43.已知函数 则函数的零点个数为A.１ 　 　 　　 B．2 　 　 　　 ﻩC.3 D．41０．解分段函数的不等式例.设函数， 若, 则得取值范畴是（ ) 【解析1】由于, 当时,　　, 　解得, 当时,　　， 解得, 综上的取值范畴是．　故选D. 【解析２】一方面画出和的大体图像,　　易知时,　 所相应的的取值范畴是.　例1２．设函数,　　则使得的自变量的取值范畴为（ )A.　 　 　 Ｂ. 　C. 　 　 　 D.　【解析】当时, , 　因此, 当时, 　, 因此,　 综上所述, 或, 故选A项. 【点评:】 以上分段函数性质的考察中, 　不难得到一种解题的重要途径,　 若能画出其大体图像, 　定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显. 7、设函数，若,则有关的方程 的解的个数为（ 　）A．１　 　 　 　 　 B．2 　 　 C．3 　　 　　D．4例8．判断函数的单调性. 【解析】显然持续． 当时, 恒成立, 　因此是单调递增函数， 当时， 　恒成立, 也是单调递增函数,　 因此在上是单调递增函数; 　或画图易知在上是单调递增函数. 。