数学分析中的典型问题和方法第一章课后习题答案裴礼文.pdf

裴礼文第一章习题解答1.1.1 求复合函数表达式 : (1) 已 知,求;(南京邮电大学等 ) (2) 设,试证明,并求(华中理工大学 ) 1.1.2 是否存在这样的函数,它在区间上每点取有限值 ,在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学 ) 1.1.3 试说明能有无穷多个函数,其中每个函数皆使为上的恒等函数 . 1.1.4 设为上的奇函数 , . 1) 试用表达和; 2)为何值时 ,是以为周期的周期函数 . (清华大学 ) 1.1.5 设(即的小数部分 ),说明这时为何不是周期函数 .类似地也如此 .从而周期函数的和与差未必是周期函数. 1.1.6 设是上的实函数 , 的图像以直线和直线分别作为其对称轴 , 试证必是周期函数 , 且周期为. 1.1.7 设是上的奇函数 , 并且以直线作为对称轴 ,试证必为周期函数并求其周期. 1.1.8 设是上以为周期的周期函数, 且在上严格单调 , 试证不可能是周期函数1.1.9 证明确界的关系式 : 1) 叙述数集的上确界定义 , 并证明 : 对于任意有界数列,总有(北京科技大学 ) 2) 设是两个由非负数组成的任意数集, 试证1.1.10 试证:若,则必达到下确界 (即使得). (武汉大学 ) 1.1.11 设是上的实函数 , 且在上不恒等于零，但有界，试证: 、1.1.12 设是闭区间上的增函数，如果, 试证，使得(山东大学 ) 1.1.13 设在, 试证，使得. (福建师范大学 ) 1.2.1 1) 已知, 求证: (武汉大学 , 哈尔滨工业大学 ) 2) 用语言证明(清华大学 ) 1.2.2 用方法证明 : 1) 2) 3) 1.2.3 设, 试用方法证明：若, 则1.2.4 设,试证收敛. 1.2.5 为一数列 .试证: 若(为有限数 ) 则(首都师范大学 ) 1.2.6 设且时有.已知中存在子序列.试证(武汉大学 ) 1.2.7 设, 求证发散. 1.2.8 判断题 :设是一个数列 , 若在任一子序列中均存在收敛子列则必为收敛数列 . (北京大学 ) 1.2.9 设为单调递增数列，为其一子列，若,试证(华中师范大学 ) 1.2.10 设是一个无界数列 ,但非无穷大量 ,证明: 存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学 ) 1.2.11 设函数在 0 的某个邻域有定义，,;且当时，即, ,时,对于一切, 有;另设.试证当右端极限存在时成立1.2.12 证明.并求1.3.1 求极限(北京航空航天大学 ,中国科技大学 ) 1.3.2 证明公式: 1.3.3 求1.3.4 求1.3.5 求1.3.6 求(华中师范大学 ) 1.3.7 求(湖 北 大学) 1.3.8 设在上连续,求1.3.9 设极限存在,试求1)2)1.3.10 设,求( 陕西师范大学 )1.3.11 求.(内蒙古大学 ) 1.3.12 求.(中国科学院 ) 1.3.13 计算(中国科学院 ) 1.3.14 若求.(上海工业大学 ) 1.3.15 求(华中师范大学 ) 1.3.16 证明: 当时, 1.3.17 求(浙江大学 ) 1.3.18 已知,求(国防科技大学 ) 1.3.19 求(华中师范大学 ) 1.3.20 求(武汉大学 ) 1.3.21 设是上的可微函数 ,试证1.3.22 设是上 的 可 微 函 数 , 试 证1.3.23 ,试证: 1) 2) (南开大学 ) 1.3.24 对, , ,令试先证明 : 然后求解1.4.1 求,其中1) 设2) 设1.4.2 求(华中师范大学 ) 1.4.3 已 知 数 列满 足 条 件证 明 : (四川大学 , 国防科技大学 ) 1.4.4 设. 1) 若为有限数 , 证明:2) 若为, 证明 : (南京大学) 1.4.5 证明:若数列收敛于,且,则(东北师范大学 ) 1.4.6 已 知存 在 ,为 单 调 增 加 的 正 数 列 , 且,求证: (北京师范大学 )1.4.7 若且,试证: 1.4.8 求极限1)2)1.5.1 已知试证:存在并求其值 .(中国科技大学 ,北京大学 ,哈尔滨工业大学 ,北京邮电大学等 ) 1.5.2 设,证明:收敛,并求.(哈尔滨工业大学 ,华中理工大学等 ) 1.5.3 设,证明 :收敛并求其极限.(武汉大学 ,华中师范大学 ) 1.5.4 设证明收敛并求其极限 (华东师范大学 ) 1.5.5 设,试证收敛 ,并求其极限.(华中理工大学 ,厦门大学 ,工程兵学院 ) 1.5.6 求证:1.5.7 证明:1)存在唯一的使得;2)任给定义,则有(中国人民大学 ) 1.5.8 设证明数列.收敛.(北京师范大学) 1.5.9 设,求. (武汉大学 ) 1.5.10 设,数列由如下递推公式定义 : 求(浙江大学 ) 1.5.11 设如果数列收敛,计算其极限 ,并证明数列收敛于上述极限 .（武汉大学）1.5.12 设,其中:,试证 :存在且为克普勒方程的唯一根 . 1.5.13 设(),试证:收敛. 1.5.14 设是 二 正 数 , 令. 试证:和均收敛且极限相等 . (大连理工大学 ) 1.5.15 设和是任意两个整数 ,并且,还设求证 : 和均收敛且极限相等 .(中国科学院 ,安徽大学）1.5.16 讨论由所定义的数列的收敛性(南京大学 ) 1.5.17 设中数列满足其中,证明: 当有界时,有界. (清华大学 ) 1.5.18 设,求极限. 1.5.19 设则1)2)(中国科学院 ) 1.5.20 设 连 续 函数在上 是 正的 ,单调 递 减的 ,且. 证明 :数列收敛(清华大学 ) 1.5.21 已知证明 :及存在且相等 ,并求出该极限 . (内蒙古大学 ) 1.5.22 证明:数列的极限存在 ,并求其极限 . (国外赛题 ) 1.5.23 设是如此数列 : 证明收敛并求其极限 . (国外赛题 ) 1.5.24 设, 求1.5.25 设证明且1.5.26 设试计算 : (国外赛题 ) 1.5.27 设正项级数收敛,数列()由下式确定 : 证明是递增的收敛数列(福建师范大学 ) 1.6 与 1.7 习题机动跳过1.8.1 设函数在有限区间上有定义 ,满足:,存在的某个开邻域,使得在上有界 . (1).证明:当时,在上有界 ; (2).当时,在上一定有界吗 ? (厦门大学 ) 1.8.2 设在上有定义且在每一点处函数的极限存在,求证:在上有界. (哈尔滨工业大学 ) 1.8.3 设在内 有 定 义 ,当时,有1.8.4 用有限覆盖定理证明 :任何有界数列必有收敛子列.(西北大学 ) 1.8.5 试用区间套定理重新证明练习1.1.13:“上, ” (福建师范大学) 。