双休作业三1作平行线构造相似三角形的四种常用技巧.ppt

方法方法技巧技巧训练训练1 作平行线构造相似三角形的四种常用技巧作平行线构造相似三角形的四种常用技巧第二十七章第二十七章 相似相似12345巧连线段的中点构造相似三角形1．．如如图图，，在在△ △ABC中中，，E，，F是是边边BC的的两两个个三三等等分分点点，，D是是AC的中点，的中点，BD分别交分别交AE，，AF于点于点P，，Q.求求BP∶∶PQ∶∶QD.　　1技巧解：连接解：连接DF.∵∵E，，F是边是边BC的两个三等分点，的两个三等分点，∴∴BE＝＝EF＝＝FC.∵∵D是是AC的中点，的中点，∴∴AD＝＝CD，，DF是是△ △ACE的中位线．的中位线．∴∴DF∥∥AE，且，且DF＝＝ AE.∴∴DF∥∥PE.∴∠∴∠BEP＝＝∠∠BFD，，∠∠BPE＝＝∠∠BDF.∴△∴△BEP∽△∽△BFD.∴∴ .∵∵BE＝＝EF，，∴∴BF＝＝2BE.∴∴BD＝＝2BP，，DF＝＝2PE.∴∴BP＝＝PD.∵∵DF∥∥AE，，∴∠∴∠APQ＝＝∠∠FDQ，，∠∠PAQ＝＝∠∠DFQ.∴△∴△APQ∽△∽△FDQ.∴∴ .设设PE＝＝a，则，则DF＝＝2a，，AP＝＝3a.∴∴PQ∶∶QD＝＝AP∶∶DF＝＝3∶∶2.∴∴BP∶∶PQ∶∶QD＝＝5∶∶3∶∶2.返回返回2．．如如图图，，在在△ △ABC中中，，AC＝＝BC，，F为为底底边边AB上上一一点点，，BF∶∶AF＝＝3∶∶2，，取取CF的的中中点点D，，连连接接AD并并延延长长交交BC于于点点E.求求 的的值．值．2技巧过顶点作平行线构造相似三角形解：过点解：过点C作作CG∥∥AB交交AE的延长线于点的延长线于点G.∵∵CG∥∥AB，，∴∠∴∠DAF＝＝∠∠G.∵∵D为为CF的中点，的中点，∴∴CD＝＝DF.在在△ △ADF和和△ △GDC中，中，∴△∴△ADF≌△≌△GDC(AAS)．．∴∴AF＝＝CG.∵∵BF∶∶AF＝＝3∶∶2，，∴∴AB∶∶AF＝＝5∶∶2.∵∵AB∥∥CG，，∴∠∴∠B＝＝∠∠ECG，，∠∠BAE＝＝∠∠G.∴△∴△ABE∽△∽△GCE.∴∴ .返回返回3．．如如图图，，过过△ △ABC的的顶顶点点C任任作作一一直直线线，，与与边边AB及及中中线线AD分别交于点分别交于点F，，E.求证求证AE∶∶ED＝＝2AF∶∶FB.证明：过点证明：过点B作作BN∥∥CF交交AD的延长线于点的延长线于点N，，则则 ，，∠∠FCD＝＝∠∠NBD.∵∠∵∠CDE＝＝∠∠BDN，，∴△∴△EDC∽△∽△NDB.∴∴ .∵∵BD＝＝CD，，∴∴ED＝＝DN＝＝ EN.∴∴ .∴∴AE∶∶ED＝＝2AF∶∶FB.返回返回4．．如如图图，，在在△ △ABC中中，，AB＞＞AC，，在在边边AB上上取取一一点点D，，在在AC上上取取一一点点E，，使使AD＝＝AE，，直直线线DE和和BC的的延延长长线线交交于点于点P.求证求证 .3技巧过一边上的点作平行线构造相似三角形证明：过点证明：过点C作作CF∥∥AB交交DP于点于点F，，则则∠∠PFC＝＝∠∠PDB，，∠∠PCF＝＝∠∠B.∴△∴△PCF∽△∽△PBD.∴∴ .∵∵AD∥∥CF，，∴∠∴∠ADE＝＝∠∠EFC.∵∵AD＝＝AE，，∴∠∴∠ADE＝＝∠∠AED.∵∠∵∠AED＝＝∠∠CEP，，∴∠∴∠EFC＝＝∠∠CEP.∴∴EC＝＝CF.∴∴ .返回返回5．．如如图图，，在在△ △ABC中中，，点点M为为AC边边的的中中点点，，点点E为为AB上上一一点点，，且且AE＝＝ AB，，连连接接EM并并延延长长交交BC的的延延长长线线于于点点D.求证求证BC＝＝2CD.4技巧过一点作平行线构造相似三角形(1)作辅助线的方法一：作辅助线的方法一：证明：证明：(1)过点过点C作作CF∥∥AB，交，交DE于点于点F，则，则∠∠FCD＝＝∠∠B.∵∠∵∠D为公共角，为公共角，∴△∴△CDF∽△∽△BDE.∴∴ .∵∵点点M为为AC边的中点，边的中点，∴∴AM＝＝CM.∵∵CF∥∥AB，，∴∠∴∠BAC＝＝∠∠FCM.又又∵∠∵∠AME＝＝∠∠CMF，，∴△∴△AME≌△≌△CMF.∴∴AE＝＝CF.∵∵AE＝＝ AB，，BE＝＝AB－－AE，，∴∴BE＝＝3AE，，∴∴ .∴∴ ，即，即BD＝＝3CD.又又∵∵BD＝＝BC＋＋CD，，∴∴BC＝＝2CD.(2)作辅助线的方法二：作辅助线的方法二：(2)过点过点C作作CF∥∥DE，交，交AB于点于点F，，则则 .∵∵点点M为为AC边的中点，边的中点，∴∴AC＝＝2AM.∴∴2AE＝＝AF.∴∴AE＝＝EF.∵∵AE＝＝ AB，，∴∴ ＝＝2.∵∵CF∥∥DE，，∴∴ ＝＝2.∴∴BC＝＝2CD.(3)作辅助线的方法三：作辅助线的方法三：(3)过点过点E作作EF∥∥BC，交，交AC于点于点F，，则则∠∠AEF＝＝∠∠B.∵∠∵∠A为公共角，为公共角，∴△∴△AEF∽△∽△ABC.由由AE＝＝ AB，知，知 ，，∴∴EF＝＝ BC，，AF＝＝ AC.∵∵EF∥∥CD，，∴∠∴∠MEF＝＝∠∠D，，∠∠EFM＝＝∠∠MCD.∴△∴△EFM∽△∽△DCM，，∴∴ .又又∵∵AM＝＝MC，，∴∴MF＝＝ MC.∴∴EF＝＝ CD.∴∴BC＝＝2CD.(4)作辅助线的方法四：作辅助线的方法四：(4)过过点点A作作AF∥∥BD，，交交DE的的延延长长线线于于点点F，，则则∠∠F＝＝∠∠D，，∠∠FAE＝＝∠∠B.∴△∴△AEF∽△∽△BED.∴∴ .∵∵AE＝＝ AB，，∴∴AE＝＝ BE.∴∴AF＝＝ BD.由由AF∥∥CD，易证得，易证得△ △AFM∽△∽△CDM.又又∵∵AM＝＝MC，，∴∴AF＝＝CD.∴∴CD＝＝ BD.∴∴BC＝＝2CD.返回返回。