1、二次函数(最全的中考二次函数知识点总结).pdf

Happy happy O(_)Op!第一部分 二次函数基础知识相关概念及定义b， c是常数，a 0）二次函数的概念：一般地，形如y ax2bxc（a，的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项c可以为零二次函数的定义域是全体实数系数a 0，而b，二次函数y ax2bxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2b， c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项a，二次函数各种形式之间的变换2二次函数y ax2bxc用配方法可化成：y ax h k的形式，其b4ac b2中h ，k .2a4a二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2；y ax2 k； y ax h； y ax h k； y ax2bxc.二次函数解析式的表示方法一般式：y ax2bx c（a，b，c为常数，a 0） ；顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a 0） ；两根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数y ax2bx c图象的画法五 点 绘 图 法： 利 用配 方 法 将 二次 函 数y ax2bx c化 为 顶 点 式y a(x h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点c、以及0， c关于对称轴对称的点2h， c、与x轴的交点x1， 0，0，22x2， 0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.二次函数y ax2的性质a的符号开口方向向上顶点坐标00，对称轴y轴性质x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，a 0y随x的增大而减小；x 0时，y有最小a 0向下00，y轴值0 x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值0二次函数y ax2c的性质1Happy happy O(_)Op!a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，a 0向上c0，y轴y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值cx 0时，y随x的增大而减小；x 0时，a 0向下c0，y轴y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c二次函数y axh的性质：2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x h时，y随x的增大而增大；x h时，a 0向上0h，X=hy随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 x h时，y随x的增大而减小；x h时，a 0向下0h，X=hy随x的增大而增大；x h时，y有最大值0二次函数y axhk的性质2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x h时，y随x的增大而增大；x h时，a 0向上h， kX=hy随x的增大而减小；x h时，y有最小值kx h时，y随x的增大而减小；x h时，a 0向下h， kX=hy随x的增大而增大；x h时，y有最大值k抛物线y ax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.2Happy happy O(_)Op!对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x 直线x 0.b.特别地，y轴记作2ab4ac b2（，）顶点坐标：2a4a顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线y ax2bxc中，a,b,c与函数图像的关系二次项系数a二次函数y ax2bxc中，a作为二次项系数，显然a 0 当a 0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a 0的前提下，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab当b 0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b 0时，0，即抛物线对称轴在y轴的右侧2a当b 0时， 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab当b 0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b 0时，0，即抛物线对称轴在y轴的左侧2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置当b 0时，总结：常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的总之，只要a，求抛物线的顶点、对称轴的方法3Happy happy O(_)Op!b 4ac b2公 式 法 ：y ax bx c ax ， 顶 点 是2a4abb4ac b2（，），对称轴是直线x .2a2a4a2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴， 对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点， 再用公式法或对称性进行验证， 才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y ax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.直线与抛物线的交点y轴与抛物线y ax2bxc得交点为(0,c).与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bh c).抛物线与x轴的交点:二次函数y ax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上） 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根.一次函数y kxnk 0的图像l与二次函数y ax2bx ca 0的y kxn图像G的交点，由方程组的解的数目来确定：方程2y ax bxc组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.抛物线与x轴两交点之间的距离： 若抛物线y ax2bxc与x轴两交点为Ax1， 0，Bx2， 0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故bcx1 x2 ,x1 x2aa22b24acb4cAB x1 x2x1 x2x1 x24x1x2 aaaa二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况， 可以用一般式或2224Happy happy O(_)Op!顶点式表达关于x轴对称y a2x b x 关于cx轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y axhk关于x轴对称后，得到的解析式是y axhk；22关于y轴对称y a2x b x 关于cy轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；22y axhk关于y轴对称后，得到的解析式是y axhk；关于原点对称y a2x b x 关于原点对称后，得到的解析式是cy ax2bxc；y axh 关于原点对称后，得到的解析式是ky axhk；关于顶点对称b2y a x b x 关于顶点对称后，得到的解析式是cy ax bxc；2a22y axhk关于顶点对称后，得到的解析式是y axhk2222关于点m， n对称y axhk22关 于 点m， n对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是y axh2m2nk总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤：2k； 将抛物线解析式转化成顶点式y axhk，确定其顶点坐标h，k处， 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，具体平移方法如下：y=ax2向上(k0)【或向下 (k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+kHappy happy O(_)Op!1，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（2 3，0） ，C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=a(x-1)+4 ， 经过点 A（2，3） ，求抛物线的解析式1，已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1） ，求抛物线的解析式2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a的顶点为（3，1） ，求抛物线的解析式1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式12，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0） ， （1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)2的解析式15 ax 2a 2经过 x 轴1， 在直角坐标系中， 不论 a 取何值， 抛物线y x222上一定点 Q，直线y (a 2)x 2经过点 Q,求抛物线的解析式2，抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4，求抛物线的解析式3，抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式1，把抛物线 y= -2x2向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式2，抛物线y x2 x 3向上平移,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式.距离式。

距离式1，抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式2，已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 轴交于 C 点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式对称轴式对称轴式1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式2、已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交 y 轴于3点 C,且 OB-OA=OC，求此抛物线的解析式4对称式1，平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上，且 A（-10，0） ，AC=16，D（2，6） AD 交 y 轴于 E，将三角形ABC 沿 x 轴折叠，点B 到 B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式2，求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式1，已知直线 y=ax-a2(a0) 与抛物线 y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式22， 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax +k 的。