高中数学 2.2 抛物线第1课时同步精练 北师大版选修1-1.doc

1高中数学高中数学 2.22.2 抛物线第抛物线第 1 1 课时同步精练课时同步精练 北师大版选修北师大版选修 1-11-11．抛物线y2＝4x的焦点坐标为( )A．(0,1) B．(1,0) C．(0,2) D．(2,0)2．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶 6 m 时，水面宽 10 m，则抛物线的方程可能是( )A．x2＝－y B．x2＝－yC．x2＝－y D．x2＝－y25 625 1236 525 243．抛物线x2＝y上的一点M到焦点的距离为 1，则点M到x轴的距离是( )1 4A. B. C．1 D.17 167 815 164．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为( )A．y2＝8x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x5．抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是焦点，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )A．x1，x2，x3成等差数列 B．x1，x3，x2成等差数列C．y1，y2，y3成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列6．设斜率为 2 的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝__________.8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．9．若点P到点(1,0)的距离比到直线x＋2＝0 的距离小 1，则点P的轨迹方程是________．10.如图，AB 为抛物线 y=x2上的动弦，且|AB|=a(a 为常数，且 a≥1)，求弦 AB 的中点M 与 x 轴的最近距离．211．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在直线 3x＋4y－12＝0 上；(2)焦点是(－2,0)；(3)准线是y＝－ ；3 2(4)焦点到准线的距离是 2；(5)焦点到直线x＝－5 的距离是 8.12．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶 5 m 时，水面宽 8 m，一木船宽 4 m，高2 m，载货后此船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始3 4不能通航？3参考答案参考答案1. 解析：解析：(直接计算法)因为p＝2，所以抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，应选 B.答案：答案：B2. 答案：答案：A3. 解析：解析：由准线方程为y＝－，可知M到准线的距离为 1，∴点M到x轴的距离等1 16于 1－＝.1 1615 16答案：答案：D4. 解析：解析：由题意知，3＋6a＝5，∴a＝ ，∴抛物线方程为y2＝8x.1 3答案：答案：A5. 解析：解析：由定义，知|AF|＝x1＋ ，|BF|＝x2＋ ，|CF|＝x3＋ .p 2p 2p 2∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，∴2＝＋，(x2＋p 2) (x1＋p 2) (x3＋p 2)即 2x2＝x1＋x3.故选 A.答案：答案：A6. 解析：解析：由已知可得抛物线y2＝ax的焦点F的坐标为.过焦点且斜率为 2 的直(a 4，0)线方程为y＝2，令x＝0 得y＝－ ，故点A的坐标为.由题意可得 ××(x－a 4)a 2(0，－a 2)1 2|a| 4＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.|a| 2答案：答案：B7. 解析：解析：设点A的坐标为(x，y)．因为|AF|＝2，所以x－(－1)＝2，所以x＝1.所以A(1，±2)．又点F的坐标为(1,0)，所以|BF|＝|AF|＝2.答案：答案：28. 解析：解析：OA的垂直平分线交x轴于点，此为抛物线的焦点，故准线方程为(5 4，0)x＝－ .5 4答案：答案：x＝－5 449. 解析：解析：(方法 1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得＋1＝|x＋2|，(x－1)2＋y2∴＝|x＋2|－1＝x＋1.(x－1)2＋y2两边平方得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2，∴x2－2x＋1＋y2＝x2＋2x＋1，∴y2＝4x，∴点P的轨迹方程为y2＝4x.(方法 2)由题意可知，点P到点(1,0)的距离比到直线x＋2＝0 的距离小 1，∴点P到点(1,0)与到x＋1＝0 的距离相等．故点P的轨迹是以(1,0)为焦点，x＋1＝0 为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.答案：答案：y2＝4x10. 解：解：设点 A，M，B 的纵坐标分别为 y1，y2，y3.A，M，B 三点在抛物线准线上的射影分别为 A′，M′，B′(如图)．由抛物线的定义，得|AF|＝|AA′|＝y1＋ ＝y1＋ ，p 21 4|BF|＝|BB′|＝y3＋ ＝y3＋ ，p 21 4∴y1＝|AF|－ ，y3＝|BF|－ .1 41 4又M是线段AB的中点，∴y2＝ (y1＋y3)＝≥＝.等号在AB过焦点F时成立，1 21 2(|AF|＋|BF|－1 2)1 2(|AB|－1 2)1 2(a－1 2)即当定长为a的弦AB过焦点F时，M点与x轴的距离最小，最小值为.1 2(a－1 2)11. 解：解：(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3)，故抛物线有两种情况：焦点为(4,0)时， ＝4，∴p＝8，∴方程为y2＝16x；p 2焦点为(0,3)时， ＝3，∴p＝6，∴方程为x2＝12y.p 2故所求方程为y2＝16x或x2＝12y.(2)焦点为(－2,0)，∴ ＝2，∴p＝4，∴方程为y2＝－8x.p 25(3)准线为y＝－ ，∴ ＝ ，∴p＝3，开口向上，∴方程为x2＝6y.3 2p 23 2(4)由于p＝2，开口方向不确定，故有四种情况．∴方程为y2＝4x或y2＝－4x或x2＝4y或x2＝－4y.(5)焦点在x轴上，设为(x0,0)，∴|x0＋5|＝8，∴x0＝3 或x0＝－13，∴焦点为(3,0)或(－13,0)，∴ ＝3 或－13，∴p＝6 或－26.p 2∴方程为y2＝12x或y2＝－52x.12. 解：解：以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意知，点A(4，－5)在抛物线上(设AA′为水面宽，且AA′＝8 m)，所以 16＝－2p×(－5),2p＝，所以抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4)，设水面上16 516 5涨到船面两侧与拱桥接触于B，B′(B′与B关于y轴对称)时，船开始不能通航，设B点坐标为(2，y)，由 22＝－y，得y＝－ ，此时水面与抛物线拱顶相距16 55 4|y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)．3 45 43 4故水面上涨到与拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．。