统计物理与热力学课程（陈培锋）第六讲.ppt

第六讲 麦克斯韦速度分布律 及应用,一、麦克斯韦速度分布律,麦克斯韦速度分布律就是气体系统处于平衡态时分子数按速度的分布规律，它最早由麦克斯韦于1859年导出，更严格的推导由玻尔兹曼于1877年利用玻尔兹曼能量分布律得到,Z1配分函数,速度分布函数,气体中分子总数为N,速度体元dvxdvydvz内包含分子代表点的个数为 ,则分子代表点出现在此体元里的概率为dN/N可以认为dN正比于体元的“体积”,即,,f(vx,vy,vz)代表速度空间单位体元内的概率,又称为气体分子的速度分布函数,MB应用于平动运动,位置在r+dr(x～x+dx, y～y+dy, z～z+dz)、动量在p～p+dp(px～px+dpx, py～py+dpy, pz～pz+dpz)范围的分子数dar,p,求：速度在v ～ v+dv，而不问位置如何的分子数dav,,Z1,ωj,,隐含了能级连续,对空间积分,且,,,φ与速度无关,不考虑相对论条件对速度的限制,定积分和结果-麦克斯韦速度分布律,,,平衡态时近独立的气体系统内速度分量在v+dv(vx～vx+dvx, vy～vy+dvy, vz～vz+dvz)区间的分子数,p.364附录C定积分公式C.1,分子速度为v(vx，vy，vz)的概率密度,N是气体系统总分子数，m是每个分子的质量，T是系统温度 f(vx,vy,vz)称为麦克斯韦速度分布函数,,单位速度空间的粒子数比例,速度x分量处于vx—vx+dvx区间的分子数,对vy和vz积分 利用定积分式可得,,,,类似可得,,,分子速度x分量在vx—vx+dvx的概率,符合独立事件同时出现时的概率相乘法则。

分子速度vx、vy、vz三分量的分布规律是独立的,,,分子速度在vx, vy, vz,—vx+dvx, vy+dvy, vz+dvz的概率,气体速度分布独立性,,应用例：讨论多普勒增宽与温度的关系．----气体荧光线宽的依据,解 忽略自然宽度,认为静止原子发射的一条光谱线是单一频率的,频率记作ν0,当辐射原子和观测者之间有相对运动时,观测者测得的谱线频率偏离ν0,这就是多普勒效应,由于辐射光波的大量原子做不规则热运动,这使光谱线不是单一频率,而有一定的宽度,这称为多普勒增宽(Doppler broadening),多普勒效应（Doppler effect）,纵向多普勒效应：当辐射原子S相对于观测者O在SO连线方向以速度分量vx接近观测者时,观测者测得的频率近似为 横向多普勒效应：当辐射原子S和观测者O间的相对速度垂直于连线SO时有横向多普勒效应,原子热运动引起的横向多普勒效应很弱可忽略,,气体发射光谱展宽,频率ν~ν+dν之间的光强I(ν)dν与速度分量在vx~vx+dvx之间的原子数dNvx成正比，即,,多普勒线宽,I(ν)降到I(ν0)一半处的频率,,,He-Ne激光器谱线,Ne原子3S2-2P46328埃谱线, ΔνN 107Hz,M为原子量,Ne的原子量为20,T=400K, ΔνD1.5×109Hz， ΔνD ΔνN,1、估计该谱线的相干时间和相干长度 τ=1/Δν,L=c/Δν 2、如何测量ΔνN？,Ar离子激光器和He-Cd金属蒸气激光器 工作温度很高(500-1500K) Ar离子: ΔνD6×109Hz He-Cd金属蒸气: ΔνD1.8-4×109Hz 固体材料的荧光展宽主要由晶格热运动和晶格缺陷引起,一般要更宽 室温下的红宝石6943埃, ΔνD2.4×1011Hz 激光器的谱线宽度可小于1000Hz 小于ΔνN 107Hz,反推星体温度,此式可用于测量星体的温度,,,多普勒效应,奥地利物理学克里斯琴·约翰·多普勒(Christian Johann Doppler)1842年提出 爱德文·哈勃(Edwin Hubble)根据远离银河系的天体发射的光线频率红移现象得出宇宙正在膨胀的结论 激光陷阱(Laser Trapping)光学粘胶(Optical Molass),,,,,,,,,,,,,宇宙学红移与宇宙膨胀,遥远的星系在可见光波段的光谱,航空安全,速度空间球坐标系的体元,直角坐标系与球坐标系,vx，vy，vz为轴的直角坐标系→以v、θ、φ为“坐标”的球坐标系,坐标和体元的变换,,,二、麦克斯韦速率分布律,从速度分布律推导速率分布律,,,球坐标中速度在v～v+dv，θ～θ+dθ，φ～φ+dφ的分子数,麦克斯韦速率分布律,对θ和φ积分,,,速率在v～v+dv方向任意的分子数,分子速率处于v概率密度,F(v)称为麦克斯韦速率分布函数,,,注意比较,麦克斯韦速度与速率分布,,FM(v)的含义是速度空间单位厚度球壳内的概率，从而在厚度为dv的球壳内的概率为FM(v)dv,不同温度下分子速率分布,速率分布函数与热力学温度T有关,与分子质量m有关 温度低时,大多数分子速率较小 只是气体分子质量m愈小,曲线的峰值位置愈在v大处,F(v),分子速率的三个统计值,(1)最概然速率(the most probable speed) vp---- F(v) 极大值 极值条件,,,(2)平均速率,v的平均值,,3)方均根速率(the root-mean-square speed),与下式完全一致,,,,分子速率的三个统计值,很接近 室温时，它们的量级一般为每秒几百米 分子速率为这些值的概率密度都较大 平均速率用于计算与分子碰撞有关的量；方均根速率与平均平动动能直接有关；最概然速率可用来约化分子速率,计算0ºC(T=273K)下N2,O2,H2的vrms,0ºC(T=273K)下空气中声速为332m/s,气体速率分布,,例,(a)计算地球表面处氢气和氮气的方均根速率，将它们和地球表面处物体的逃逸速度比较。

设地球表面温度为290K；(b)讨论方均根速率和逃逸速度对行星大气的影响解 (a),地球表面处T＝290K,,,,逃逸速度,物体速度等于逃逸速度时,物体恰能运动到无穷远处,因而动能和重力势能之和等于零,,,,,,,,地球质量,比较,(b)一个物体能脱离地球的必要条件是其速度大于、等于逃逸速度,,,对于气体,分子的热运动使气体有脱离地球的倾向,重力场的作用阻碍气体从地球逃逸 比值小时,有不可忽视比率的分子速率大于Ve(E),不断有气体分子从地球逃逸,长时间的积累,会使这种气体在大气中的分压减小,甚至降为零 原始地球大气的主要成分为氢,而现在地面附近大气中氢的体积百分比仅为5×10-5％,可见K=5.9不足以保留这种气体对地球大气中氮气的来源目前不很清楚,但现在地球大气的主要成分为氮气这一点说明,K=22足以使这种气体长期保留在大气中,,行星大气中逃逸速率与方均根速率之比,月球和水星根本没有大气，火星有0.008atm的稀薄大气，其中主要是CO2(95.6％)，其余是N2(2.7％)、Ar(1.6％)等金星的大气达90atm之多，其中主要是CO2(96.4％)，其余是N2(3.4％)、水汽(0.14％)等。

地球大气中有大量的N2(78％)、O2(21％)、Ar(1％)和数量不定的水汽木星和土星基本上是气体星球，主要成分是H2和He我们大体上可以在图中K≈9-10处画一条横线，以它作为行星大气成分逃逸与否的界限还是比较符合实际的,月球和行星的有关数据,作业,7.8，7.10，7.12 固体的原子和气体分子之间有力的作用,所以在真空系统中的固体表面会形成厚度为一个分子直径的单分子层,设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动,近似形成二维理想气体,如果这些分子为单原子分子,吸附层温度为T,试求分子速率处在v到v+dv之间的概率,。