平衡原理与机理模型.doc

§3.3 平衡原理与机理模型一. 平衡原理 自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配二. 机理模型 在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述三. 连续模型连续模型组建的微元法 在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系 , 再利用微分学的 思想进一步处理它,得到以微分方程的形式描述的数学模型例 1. 人口的自然增长. 建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量 变化的过程假设1.人群个体同质令N(t)表示t时刻的人口数假设 2. 群体规模大 N(t) 连续可微.假设 3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响平衡关系：人口数在区间［t, t+ At ］内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之 差令B(t, At, N), D(t, At , N)分别表示在时间区间［t, t+ At ］内生育数和死亡数， 则有N(t+At)-N(t)=B(t, A t,N)-D(t, A t,N)假设 4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响生育率和死亡率) 生育率 b(t, At, N) = B(t, At, N)/N, 死亡率 d(t, At, N) = D(t, At, N)/N 记增长率为 R(t,A t,N)= b(t,A t,N)-d(t, A t,N) 则有 N(t+At)-N(t)=R(t, A t,N)NdRR(t,At,")=dA将R(t, At,N)关于At展开.由于R(t, h, N)lh_0=Q,所以At + o(At) = r (t, N )At + o(At)At=QN(t+At ) - N(t)=r(t,N)N At +o(At).两边除以At, 并令At fQ,得到 dN/dt=r(t, N)N假设5.群体增长恒定。

r与t无关) dN/dt=r(N) N假设6.个体增长独立r与N无关)dN/dt=r N给定初值N(Q)=Nq,可得人口增长的指数模型(Maithus模型)N(t)=NQert在离散时间点 k=0, 1, 2,...,上有 N(k+1) = erN(k)Maithus: “若我的两个假设是成立的 ,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自 然界为人类提供资料的能量的人口如果不受控制，它会以几何比率增长而生活 资料只能以算术比率增长只要稍微看一下数字，就将明确第一种能量比之第二种 能量是无比巨大的 《论人口原理》总结对人口指数增长模型的假设,1. 人群个体同质2. 群体规模大3. 群体封闭,只考虑生育和死亡对人口的 影响4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响生育率和死亡率)5. 群体增长恒定6. 个体增长独立由这些假设可分析这个模型的作用.例 2 池水含盐 池中有一定体积的盐水，从池的上部向池中注入一定浓度的盐水混合后的盐水将从池的 下部流出建模描述池中盐水浓度的动态假设： 盐水注入池中后迅速混合, 使得盐水浓度均匀 变量、参量：池中盐水体积 V(t), 池中盐水浓度 p(t); 池中原有盐水体积 V0, 原有盐水浓度 p0; 流入盐水速度 rI(t), 流入盐水浓度 pI(t); 流出盐水速度 rO(t), 流出盐水浓度 p(t).平衡关系在时间段[t+ △ t]内， 池中(纯)盐的改变量=这段时间内流入的(纯)盐的量与流出的(纯)盐的量之差。

p(t+At)V(t+ △ t)-p(t)V(t)流出盐量：ft+Atp(T )r (T)dT, O池中盐的改变量： 流入盐量：ft+Atp (T)r (T )dTt i ip(t + At)V(t + At) - p(t)V(t) = F+At[p(T)r (T) - p(T)r (T)]dTt 1 1 O利用积分中值定理可得p(T + At)V(t + At) — p(t)V(t) = [p (t + cxAt)r (t + cxAt) — p(t + cxAt)r (t + cxAt)]AtI I O在时间段[t+ △ t]内， 池中盐水体积的改变量=这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积之差；V(t + At) — V(t) = F+At [r (T )dT — r (t )]dTt 1 O令△ t tO得d dV—[p(t)V(t)]二 p (t)r (t) — p(t)r (t) 二 r (t) — r (t)dt 11 O -t i o模型 dp (t)V(t) — = r (t)[p (t) — p(t)]dt i ip (0) = p0V(t) = V +ft[r (t)dt — r (t)]dt0 o i O进一步问题：池中有水2000 m3,含盐2 kg,以6m3/分 的速率向池中注入浓度为0.5 kg / m3 的盐水，又以 4 m3/ 分的速率从池中流出混合后的盐水。

问欲使池中盐水浓度达到 0.2 kg / m3， 需要多长时间？此时 V(t)=2000+2*t. dp/dt=3/V(t)-6*p(t)/V(t)， p(0)=0.001.用 MATLAB 求 p(t) 求表达式(符号运算)S=dsolve('Dx=(3-6*x)/(2000+2*t)');求数值解建立 M 文件 fun . M, function y=fun(t,x) y=(3-6*x)/(2000+2*t);tO=O; tf=200; x0=2; [t,x]=ode23('fUn',tO,tf,xO);plot(t,x);四. 离散模型离散模型的组建利用平衡原理，找出每一步对前一步或前几步的依赖关系，得到以差分方程的 形式描述的数学模型例 1. 买房贷款：银行可以向购房人提供个人住房贷款的业务偿还贷款时要求借款人在借款期 间内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息试组建计算月均还款额的数学模型 假设：1. 逐月偿还贷款；2. 每月还款金额相等；3. 按月计算利息；4. 每月月底还款 参量、变量贷款额：A(万元)，贷款期限：N年(n=12N月),月利率：r,月均还款额：X令 Ck 表示第 k 月月底还款后的欠款余额， 记 C0=A. k0第n月的月底欠款应全部偿还完毕，则有C=0n平衡关系: 本月月底还款后的欠款余额=上月欠款 余额的本利和扣除本月还款后的金额。

模型： Ck= (1+r)Ck-1-X求解：递推可得 Ck = (1+r)kA-》k(i+r)ix = (1+r)kA-{[(1+r)k-1]/r}xk i=0于是 0=(1+r)nA-x[(1+r)n-1]/r， 所以 x=A r (1+r)n/[(1+r)n-1]例 2. 兔子的繁殖 I 由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少对兔子？假设兔子的生殖力是这样的：一对兔子每 一个月可以生一对兔子，并且兔子在出生两个月以后就具有繁殖后代的能力n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12a(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144a(n+1) = a(n) + a(n-1) 斐波那契数列(黄金数)假设：1. 每对兔子每一个月定生一对兔子2. 兔子出生两个月后都具有繁殖能力3. 兔子每经过一个月底就增加一个月令变量、参量：月份：n,幼兔：a0(n)，成兔：a1(n)平衡关系 本月初(一月令)的幼兔是上月成兔繁殖的后代 本月的成兔是上月的成兔和上个月(一月令)的幼兔发育结果的总和模型 I a0(n) = a1(n-1) a1(n) = a0(n-1) + a1(n-1)令 a(n) = (a0(n), a1(n)),?贝I」 a(n) = A a(n-1)(0 1)A =11 1丿分析1. 模拟. a0(1)=1，a1(1)=0n12345a0(n) 10112a1(n) 01123a(n) 112352. 证明 a(n+1) = a(n) + a(n-1)67891011123581321345558132134558981321345589144a1(n+1)=a(n)=a0 (n)+a1 (n)因为 a0(n+1)=a1(n)所以 a(n+1)= a0 (n+1)+a1 (n+1) = a1(n)+a(n) = a(n-1)+a(n)3.模型的作用机理:all幼兔的繁殖能力， a22成兔存活的比例。

aa12 成兔的繁殖能力a21幼兔的发育为成兔的比例,'01「'aa、1112.11,、aa ,A 二21224. 群体的渐近性质A 有主特征值 =1.618 相应的左特征向量 L=(0.382 0.618，)于是，当 n T a时， a(n)/a(n)T L数据：I. 读数与时间(秒)t 1 2345 10152025n 9 18283747 97151211280数据： II.读数与转数k24101418 22263135 41n 1 2579 11131517 20例 3. 录音机的运行建模分析磁带录音机的运行规律(计数器的读数与运行时间的关系)30 31362 382 3856029时间与读数关系的散点图读数与转速的散点图背景1. 磁带盒内有二个磁带轮：送带轮和收带轮放音时送带轮上的磁带减少，缠于收带轮上2. 计数器只记录某个磁带轮转动的转动情况计数器的读数不刚好是磁带轮的转数3 磁带轮在放音时转动不是匀速的，送带轮加速，收带轮减速4 通过磁头时，磁带匀速运行 假设1. 计数器记录了送带轮的转数k2. 计数器的读数 n 与送带轮的转数 k 成正比3. 磁带运行的线速度定常4. 磁带厚度均匀，缠绕松紧一致，无空隙。

5. 磁带缠绕一圈的周长等于缠绕的圆周长参量、变量：计数器读数：n带轮转数：k (=从外向里第k圈)，运行时间：t(k),磁带厚度:d,带芯轮半径：r,磁带速度：v，从外向里第k圈磁带的半径：Rk，从外向里第k圈磁带长k度： L(k) , 磁带最多圈数： N平衡关系：运行k圈磁带的时间等于磁带的长度与运行速度之商分析:t=0时n=0，送带轮缠满磁带并开始转动由假设5, Lk=2冗Rk 由假设4, Rk=r+(N-k+l)d,最外 k 圈磁带总长度L(k)=Zi=1k 2 冗[r+(N-i+1)d]= 2 冗[kr +kNd-(1+2+...+(k-1))d]= 2 冗[kr +kNd-k(k-1)d/2]=冗(2r +2Nd+d)k-k2d 冗又由假设 2, k = c n.则有 t(n)=冗c(2r+2Nd+d)n/v-冗c2n2d/v 模型： t(n) = a n + b n2,其中 a=冗c(2r+2Nd+d)/v, b=-冗c2d/v参数 a, b, c 的估计：1.用最。