复数的减法及其几何意义.doc

复数的减法及其几何意义      教学目标　　1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．　　2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．　　3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．教学重点和难点　　重点：复数减法法则．　　难点：对复数减法几何意义理解和应用．教学过程设计（一）引入新课　　上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法　　复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，1．复数减法法则　　（1）规定：复数减法是加法逆运算；　　（2）法则：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）．　　把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推导这个法则．（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i．　　推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．　　推导：设（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）．即复数 + i为复数 + i减去复数 + i的差．由规定，得（ + i）+（ + i）= + i，依据加法法则，得（ + ）+（ + ）i= + i，依据复数相等定义，得 　　故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i．这样推导每一步都有合理依据．　　我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．　　复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i．（三）复数减法几何意义　　我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？　　设z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），对应向量分别为 ， 如图 　　由于复数减法是加法的逆运算，设z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（ - ）+（ - ）i对应，如图．　　在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量 2吗？  　　还有 ． 因为OZ2 Z1Z，所以向量 ，也与z-z1差对应．向量 是以Z1为起点，Z为终点的向量．　　能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．（四）应用举例　　 　　 　　在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量 1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量 2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．　　例2　根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．　　解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|．　　例3  在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．　　（1）|z-1-i|=|z+2+i|；　　方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．　　几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．　　（2）|z+i|+|z-i|=4；　　方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．　　（3）|z+2|-|z-2|=1．　　这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．　　由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．　　例4  设动点Z与复数z= + i对应，定点P与复数p= + i对应．求　　（1）复平面内圆的方程；　　解：设定点P为圆心，r为半径，如图　　由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．　　（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点Z的集合是什么图形？　　解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结　　我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．。