高中数学第2章5从力做功到向量的数量积(1)导学案北师大版必修4.pdf

用心爱心专心- 1 - 高中数学第 2 章 5 从力做功到向量的数量积（1）导学案北师大版必修4 5 从力做功到向量的数量积(1) 【学习目标】（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用. （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 . 【学习重点 】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 【学习难点 】运算律的理解【知识衔接 】1. 已知a(x1, y1) b(x2, y2) 求a+b，ab的坐标；2. 已知a(x, y)和实数 , 求a的坐标；3. 已知),(),(2211yxByxA，求AB的坐标；4. 向量a、b共线的两种判定方法：ab(0b) 、学习过程】1. 由力做的功： W = |F| ?|s|cos，是F与s的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，a?b = |a|b|cos，并规定0与任何向量的数量积为02. 向量夹角的概念：范围 0 180 由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。

两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分在实数中，若a0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a 0，且a?b=0，不能推出b=0因为其中cos 有可能为0. 这就得性质2. 已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c. 但是a?b = b?ca = c如右图：a?b = |a|b|cos = |b|OA| b?c = |b|c|cos = |b|OA| a?b=b?c但ac在实数中，有(a?b)c = a(b?c) ，但是 (a?b)ca(b?c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 . 3. 问题 (1). 射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题. 定义： |b|cos叫做向量b在a方向上的射影注意：射影也是一个数量，不是向量当为锐角时射影为正值；当 为钝角时射影为负值；当 为直角时射影为0；当 = 0时射影为 |b| ；当 = 180时射影为|b|. 问题 (2).如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质. 几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影 |b|cos的乘积。

性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量e?a = a?e =|a|cosa ba?b = 0 当a与b同向时，a?b = |a|b| ；当a与b反向时，a?b = |a|b| 特别的a?a = |a|2或aaa |强调： a+b=；cos =|baba ?（|a|b| 0） |a b| |a|b| 4. 向量数量积的运算满足：1. 交换律：a?b = b?a2. 数乘结合律： (a) ?b =(a?b) = a? (b) 3. 分配律： (a + b) ?c = a?c + b?cO a A c b A OO BO B1O a b A OO BO B1O a b A OO BO (B1)O a b 用心爱心专心- 2 - 例 1. 已知：.)2.()1(,120,3,2220babababa求的夹角为与【巩固练习】3.判断下列各题正确与否：若a = 0，则对任一向量b，有a?b = 0. ( ) 若a0，则对任一非零向量b，有a?b 0. ( ) 若a0，a?b = 0 ，则b = 0. ( ) 若a?b = 0 ，则a、b至少有一个为零. ( ) 若a0，a?b = a?c，则b = c. ( ) 若a?b = a?c，则b = c当且仅当a0时成立 . ( ) 对任意向量a、b、c，有 (a?b) ?ca? (b?c). ( ) 对任意向量a，有a2 = |a|2. ( ) 【学习反思】【作业布置】用心爱心专心- 3 - 。