小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享.pdf

小 学 奥 数 - 几 何 五 大 模型 ( 等 高 模 型 )模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大 (小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大 (小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3 倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图12:SSa bbaS2S1DCBA夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS；反之，如果ACDBCDSS，则可知直线AB平行于CD等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：3个面积相等的三角形；4 个面积相等的三角形； 6 个面积相等的三角形。

解析】 如下图， D、E是 BC 的三等分点， F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFCDBAGDCBA 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】如图， BD 长 12厘米， DC 长 4 厘米， B、C 和 D 在同一条直线上 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？【解析】因为三角形 ABD、三角形 ABC和三角形 ADC 在分别以 BD、BC和 DC 为底时，它们的高都是从A 点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等于是：三角形 ABD 的面积12高26高三角形 ABC 的面积124（）高28高三角形 ADC 的面积4高22高所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的43倍；三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍例 3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米ABCDEF【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326( 平方厘米 ) 。

CDBA【巩固】 ( 2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是 20，宽是 12，则它内部阴影部分的面积是FEDCBA【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202例 4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用连接BH、CHAEEB，AEHBEHSS同理，BFHCFHSS，S=SCGHDGHVV，11562822ABCDSS阴影长方形( 平方厘米 ) 【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是EDGCFBA654321HABFCGDE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。

把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48例 5】长方形ABCD的面积为 362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：HGFEDCBA可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影解法二：特殊点法。

找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：GABCDEF(H)这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS阴影例 6】长方形ABCD的面积为 36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA(H)GFEDCBAHGFEDCBA【解析】（法 1）特殊点法由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的113848，为33613.58法 2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS，即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影。

巩固】在边长为6 厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接 ,求阴影部分面积PDCBAABCD(P)PDCBA【解析】（法 1）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米法 2）连接PA、PC由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米例 7】如右图， E 在 AD 上，AD 垂直 BC，12AD厘米，3DE厘米求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？EDCBA【解析】因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC为三角形 ABC和三角形 EBC的底时， AD 是三角形ABC 的高， ED 是三角形 EBC的高，于是：三角形 ABC 的面积1226BCBC三角形 EBC 的面积321.5BCBC所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍【例 8】如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与VBEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？FDECBA【解析】 VAEC、VAFC、VABF【巩固】如图，在VABC 中，D 是 BC中点， E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与VABE等积的三角形一共有哪几个三角形？EDCBA【解析】3 个，VAEC、VBED、VDEC【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODCBA【解析】 VABD 与VACD，VABC与VDBC，VABO 与VDCO【例 9】( 第四届”迎春杯”试题 )如图，三角形ABC的面积为 1，其中3AEAB，2BDBC，三角形BDE的面积是多少？ABECDDCEBA【解析】连接CE，3AEAB，2BEAB，2BCEACBSSVV又2BDBC，244BDEBCEABCSSSVVV【例 10】( 2008年四中考题 )如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是平方厘米FEDCBAFEDCBA【解析】连接CD根据题意可知，DEF的面积为DAC面积的13，DAC的面积为ABC面积的12，所以DEF的面积为ABC面积的111236而DEF的面积为 5 平方厘米，所以ABC的面积为15306( 平方厘米 ) 【巩固】图中三角形ABC的面积是 180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的 3 倍，EF的长是BF长的 3倍那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？FEDCBA【解析】ABDV，ABCV等高，所以面积的比为底的比，有12ABDABCSBDSBCVV, 所以ABDSV=111809022ABCSV(平方厘米 )同理有190303ABEABDAESSADVV(平方厘米)，34AFEABEFESSBEVV3022.5 (平方厘米 )即三角形AEF的面积是 22.5平方厘米【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果24AB厘米，8BC厘米，求三角形ZCY的面积ABCDZY【解析】Y是BD的中点，Z是DY的中点，1122ZYDB，14ZCYDCBSSVV，又ABCD是长方形，11124442ZCYDCBABCDSSSVVY( 平方厘米 )【巩固】如图，三角形ABC 的面积是 24，D、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的中点求三角形DEF 的面积FEDCBA【解析】三角形 ADC的面积是三角形ABC 面积的一半24212，三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半1226三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC厘米，高是 6厘米， E、F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？FECBA【解析】F是AC的中点2ABCABFSSVV同理2ABFBEFSSVV486246BEFABCSSVV( 平方厘米 ) 【例 11】如图 ABCD 是一个长方形，点E、F 和 G 分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是 36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位FEGDCBAFEGDCBA【解析】如右图分割后可得，243649EFGDEFCABCDSSSV矩形矩形（平方单位）【巩固】 ( 97迎春杯决赛 )如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，阴影部分的面积是多少？ANBMDCCDMBNA【解析】连接BM，因为M是中点所以ABM的面积为14又因为2ANBN，所以BDC的面积为1114312，又因为BDC面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212. 【例 12】如图，大长方形由面积是12 平方厘米、 24平方厘米、 36 平方厘米、 48平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积48cm224cm236cm212cm2MNDCBA12cm236cm224cm248cm2。