2019年北师大版精品数学资料讲一讲1．某海滨浴场的海浪高度y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝Acos(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像．(1)根据上表数据，求y＝Acos(ωt＋φ)＋b的解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午到晚上(8：00～20：00)，开放冲浪场所的具体时间段，有多长时间可供冲浪者进行活动？[尝试解答] (1)由表中的数据，知最小正周期T＝12小时，ω＝＝，φ＝0，故函数解析式为y＝Acos t＋b.由t＝0时，y＝1.5得A＋b＝1.5，由t＝3时，y＝1.0得b＝1，∴A＝0.5，故函数解析式为y＝0.5cos t＋1.(2)由题意可知，当y>1时才对冲浪者开放，即0.5cos t＋1>1，cos t>0，则2kπ－0，ω>0)．(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?解：(1)依题意知T＝＝12，故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin(t＋φ)＋12.2；又因为t＝4时，d＝16，所以sin(＋φ)＝1，所以φ＝－，所以d＝3.8sin(t－)＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin(－)＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin(t－)＋12.2＜10.3，有sin(t－)＜－，因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，所以12k＋8＜t＜12k＋12.令k＝0，得t∈(8，12)；令k＝1，得t∈(20，24)．故这一天共有8小时水深低于10.3 m.讲一讲2．如图所示的为一个观览车示意图，该观览车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h.(1)求h与θ之间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式；(3)求缆车首次到达最高点所用的时间．[尝试解答] (1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故点B的坐标为(4.8cos(θ－)，4.8sin(θ－))，∴h＝5.6＋4.8sin(θ－)＝5.6－4.8cos θ(θ≥0)．(2)点A在圆上转动的角速度是 rad/s，故t秒转过的弧度数为t，∴h＝5.6－4.8cos ，t∈[0，＋∞)．(3)到达最高点时，h＝10.4 m.由cos t＝－1，得×t＝π，∴t＝30.∴缆车首次到达最高点所用的时间为30 s.解答三角函数应用题的一般步骤：练一练2．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为 m，圆环的圆心距离地面的高度为1 m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处．(1)试确定在时刻t(单位：s)时蚂蚁距离地面的高度h(单位：m)；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过 m?解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设t s时蚂蚁到达点P，则蚂蚁转过的角的弧度数为t＝t，于是点P的纵坐标y＝sin(t－)＝－cos t.∴h＝1＋y＝1－cos t(t≥0)．(2)由1－cos t>得cos t<，又由0≤t≤60，得0≤t≤2π，∴15.9，得sin>，∴0)，则A＝4，T＝0.8，ω＝＝＝，将(0，－4)代入函数解析式中，有sin φ＝－1，得到φ＝－，故函数解析式为y＝4sin＝－4cos t.答案：y＝－4cos t 6. 如果某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.如图所示． (1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察题图可知，从8～14时的图像是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.∵×＝14－8，∴ω＝.∴y＝10sin＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14]．一、选择题1．为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A．98π B.πC.π D．100π解析：选B 由49T≤1，得T≤，即≤，ω≥π.2. 如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5解析：选A 依题意A＝3，且水轮每15 s转一圈，故周期T＝15，ω＝＝.3．一简谐运动的图像如图，则下列判断正确的是( )A．该质点的振动周期为0.7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大D．该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大解析：选B 周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A错；由题中图像可知，振幅为5 cm，故B正确；在最高点时，速度为零，加速度最大，故C，D错．4．下表是某城市2011年月平均气温(单位：°F).月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.171.964.753.539.827.7若用x表示月份，y表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是( )A．y＝26cos x B．y＝26cos ＋46C．y＝－26cos ＋46 D．y＝26cos x＋46解析：选C 由数据得到，从1月到7月是上升的趋势，只有C满足要求．二、填空题5．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．解析：因为周期T＝，所以＝＝2π，则l＝.答案：6.。
