高等数学ch12第六节课件.ppt

第六节第六节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、函数的幂级数展开式的应用高等数学ch12第六节一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题: 1.如果能展开, 是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?高等数学ch12第六节证明高等数学ch12第六节泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数高等数学ch12第六节问题定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定.高等数学ch12第六节可见在x=0点任意可导,高等数学ch12第六节证明必要性高等数学ch12第六节充分性高等数学ch12第六节证明高等数学ch12第六节二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:高等数学ch12第六节例1解由于M的任意性,即得高等数学ch12第六节例2解高等数学ch12第六节例3解高等数学ch12第六节高等数学ch12第六节两边积分得高等数学ch12第六节即牛顿二项式展开式注意:高等数学ch12第六节双阶乘高等数学ch12第六节2.间接法根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.例如高等数学ch12第六节高等数学ch12第六节例4解高等数学ch12第六节高等数学ch12第六节三、函数的幂级数展开式的应用两类问题:1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.1、近似计算高等数学ch12第六节常用方法:1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.例1解高等数学ch12第六节余和:高等数学ch12第六节例2解其误差不超过 .高等数学ch12第六节2、计算定积分解法逐项积分展开成幂级数定积分的近似值被积函数高等数学ch12第六节第四项取前三项作为积分的近似值,得例3解收敛的交错级数高等数学ch12第六节3、求数项级数的和1.利用级数和的定义求和:(1)直接法;(2)拆项法;(3)递推法.例4解高等数学ch12第六节高等数学ch12第六节2.阿贝尔法(构造幂级数法):(逐项积分、逐项求导)例4解高等数学ch12第六节高等数学ch12第六节例5解高等数学ch12第六节3、欧拉公式复数项级数:高等数学ch12第六节复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式高等数学ch12第六节高等数学ch12第六节 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.欧拉公式高等数学ch12第六节三、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.高等数学ch12第六节小结、近似计算,求不可积类函数的定积分，、微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍)求数项级数的和，欧拉公式的证明；高等数学ch12第六节思考题什么叫幂级数的间接展开法？高等数学ch12第六节思考题解答 从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.高等数学ch12第六节思考题利用幂级数展开式, 求极限高等数学ch12第六节思考题解答将上两式代入高等数学ch12第六节原式=高等数学ch12第六节练 习 题高等数学ch12第六节练习题答案高等数学ch12第六节高等数学ch12第六节。