2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题（全国II）精校版（贵州、云南、新疆、内蒙古、青海、西藏、甘肃）.doc

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径一．选择题（1）复数（A） （B） （C） （D）（2）函数的反函数是（A） （B）（C） （D）（3）若变量满足约束条件则的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）如果等差数列中，，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35（5）不等式的解集为（A） （B）（C） （D）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位（8）中，点在上，平方．若，，，，则（A） （B） （C） （D）（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则（A）64 （B）32 （C）16 （D）8（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（A）1 （B） （C） （D）2第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2．本卷共10小题，共90分二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知是第二象限的角，，则 ．（14）若的展开式中的系数是，则 ．（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，，，，求．（18）（本小题满分12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小．（20）（本小题满分12分） 如图，由M到N的电路中有4个组件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各组件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p； （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率； （Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的组件个数，求的期望．（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为． （Ⅰ）求C的离心率； （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．（22）（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．参考答案（18）解：（Ⅰ），，所以.（Ⅱ）当时，；当时，（19）解法一：（Ⅰ）连接，记与的交点为F.因为面为正方形，故，且.又，所以，又D为的中点，故，.作，G为垂足，由知，G为AB中点.又由底面面，得面.连接DG，则，故，由三垂线定理，得.所以DE为异面直线与CD的公垂线. （Ⅱ）因为，故为异面直线与CD的夹角，.设，则.作，H为垂足.因为底面面，故面，又作，K为垂足，连接，由三垂线定理，得，因此为二面角的平面角.，，，，（Ⅱ）因为等于异面直线与CD的夹角，故，即，解得，故.又，所以.设平面的法向量为，则，即且.令，则，故.设平面的法向量为，则，即.令，则，故.所以.由于等于二面角的平面角，所以二面角的大小为.（Ⅲ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，故，.（21）解：（Ⅰ）由题设知，的方程为：.代入C的方程，并化简，得.设、，则，①由为BD的中点知，故，即，②故，所以C的离心率.（Ⅱ）由①、②知，C的方程为：，，故不妨设.，，.又，故，解得或（舍去）.故.连接MA，则由知，从而，且轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点Ａ处于轴相切．所以过A、B、D三点的圆与轴相切. 于是在处达到最小值，因而当时，，即.所以当时，.（Ⅱ）由题设，此时.当时，若，则，不成立； 。